Деформации, которые перестают существовать после устранения поля напряжений, называются упругими деформациями . В этом случае континуум полностью восстанавливает свою первоначальную конфигурацию. С другой стороны, необратимые деформации могут сохраняться, причем они существуют даже после снятия напряжений. Одним из типов необратимой деформации является пластическая деформация , которая возникает в материальных телах после того, как напряжения достигли определенного порогового значения, известного как предел упругости или предел текучести , и являются результатом скольжения или дислокационных механизмов на атомном уровне. Другой тип необратимой деформации — вязкая деформация , которая является необратимой частью вязкоупругой деформации. В случае упругих деформаций функцией отклика, связывающей деформацию с деформирующим напряжением, является тензор податливости материала.
Определение и формулировка
Деформация — это изменение метрических свойств непрерывного тела, означающее, что кривая, нарисованная при первоначальном размещении тела, меняет свою длину при смещении на кривую при окончательном размещении. Если ни одна из кривых не меняет длину, говорят, что произошло перемещение твердого тела .
Удобно определить эталонную конфигурацию или начальное геометрическое состояние сплошного тела, от которого отсчитываются все последующие конфигурации. Эталонная конфигурация не обязательно должна быть той, которую тело когда-либо будет занимать. Часто конфигурацию в момент t = 0 считают эталонной конфигурацией κ 0 ( B ) . Конфигурация в текущий момент времени t является текущей конфигурацией .
Для анализа деформации эталонная конфигурация идентифицируется как недеформированная конфигурация , а текущая конфигурация — как деформированная конфигурация . Кроме того, при анализе деформации не учитывается время, поэтому последовательность конфигураций между недеформированной и деформированной конфигурациями не представляет интереса.
Компоненты X i вектора положения X частицы в опорной конфигурации, взятые относительно опорной системы координат, называются материальными или опорными координатами . С другой стороны, компоненты x i вектора положения x частицы в деформированной конфигурации, взятые относительно пространственной системы координат, называются пространственными координатами
Существует два метода анализа деформации сплошной среды. Одно описание выполнено в терминах материальных или референтных координат и называется описанием материала или лагранжевым описанием . Второе описание деформации производится в терминах пространственных координат и называется пространственным описанием или эйлеровым описанием .
Непрерывность при деформации сплошного тела существует в том смысле, что:
Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любой последующий момент времени.
Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любой последующий момент, и материя внутри замкнутой поверхности всегда останется внутри.
Аффинная деформация
Аффинная деформация — это деформация, которую можно полностью описать с помощью аффинного преобразования . Такое преобразование состоит из линейного преобразования (например, вращения, сдвига, растяжения и сжатия) и перемещения твердого тела. Аффинные деформации также называют однородными деформациями . [3]
Поэтому аффинная деформация имеет вид
xXtFc
Вышеуказанная деформация становится неаффинной или неоднородной , если F = F ( X , t ) или c = c ( X , t ) .
Жесткое движение тела
Движение твердого тела — это особая аффинная деформация, не предполагающая сдвига, растяжения или сжатия. Матрица преобразования F является правильной ортогональной , чтобы допускать вращения, но не отражать .
Движение твердого тела можно описать формулой
Предыстория: перемещение
Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещению . Перемещение тела имеет две составляющие: перемещение твердого тела и деформацию. Перемещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы и размера. Деформация подразумевает изменение формы и/или размеров тела от исходной или недеформированной конфигурации κ 0 ( B ) до текущей или деформированной конфигурации κ t ( B ) (рис. 1).
Если после смещения континуума происходит относительное смещение между частицами, произошла деформация. С другой стороны, если после смещения континуума относительное смещение между частицами в текущей конфигурации равно нулю, то деформации нет и говорят, что произошло твердотельное смещение.
Вектор, соединяющий положения частицы P в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации , называется вектором смещения u ( X , t ) = u i ei в лагранжевом описании, или U ( x , t ) = U J E J в лагранжевом описании. Эйлерово описание.
Поле смещений — это векторное поле всех векторов смещений для всех частиц тела, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещений. В общем, поле перемещений выражается через материальные координаты как
α JiE Je i
u iU J
Знаю это
Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, в результате чего b = 0 , а направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера :
Линейные или продольные деформации длинных предметов, например балок и волокон, называются удлинением или укорочением ; производными величинами являются относительное удлинение и степень растяжения .
Плоские деформации также представляют интерес, особенно в экспериментальном контексте.
Объемная деформация — это равномерное масштабирование вследствие изотропного сжатия ; относительная объемная деформация называется объемной деформацией .
Плоская деформация
Плоская деформация, также называемая плоской деформацией , — это деформация, при которой деформация ограничивается одной из плоскостей в базовой конфигурации. Если деформация ограничена плоскостью, описываемой базисными векторами e 1 , e 2 , градиент деформации имеет вид
Если деформация изохорна (с сохранением объема), то det( F ) = 1 и мы имеем
Простой сдвиг
Простая сдвиговая деформация определяется как изохорная плоская деформация, в которой существует набор линейных элементов с заданной базовой ориентацией, которые не меняют длину и ориентацию во время деформации. [3]
Если e 1 является фиксированной базовой ориентацией, при которой линейные элементы не деформируются во время деформации, то λ 1 = 1 и F · e 1 = e 1 . Поэтому,