Дельта Кронекера естественным образом появляется во многих областях математики, физики, техники и информатики как средство компактного выражения ее определения, приведенного выше.
Часто используется запись с одним аргументом , что эквивалентно установке :
В линейной алгебре его можно представить как тензор и записать . Иногда дельту Кронекера называют тензором замещения. [1]
Цифровая обработка сигналов
Функция единичной выборки
При изучении цифровой обработки сигналов (DSP) функция единичной выборки представляет собой частный случай двумерной дельта-функции Кронекера, где индексы Кронекера включают число ноль и где один из индексов равен нулю. В этом случае:
Или, в более общем смысле, где:
Однако это лишь частный случай. В тензорном исчислении чаще нумеруют базисные векторы в определенном измерении, начиная с индекса 1, а не с индекса 0. В этом случае связи не существует, и фактически дельта-функция Кронекера и функция единичной выборки имеют вид разные функции, которые перекрываются в конкретном случае, когда индексы включают число 0, количество индексов равно 2, а один из индексов имеет значение ноль.
Хотя функция выборки дискретных единиц и дельта-функция Кронекера используют одну и ту же букву, они различаются следующим образом. Для функции выборки дискретных единиц более привычно помещать один целочисленный индекс в квадратные скобки; напротив, дельта Кронекера может иметь любое количество индексов. Кроме того, назначение функции выборки дискретных единиц отличается от дельта-функции Кронекера. В DSP функция выборки дискретных единиц обычно используется в качестве входной функции дискретной системы для обнаружения системной функции системы, которая будет получена как выходной сигнал системы. Напротив, типичной целью дельта-функции Кронекера является фильтрация членов из соглашения Эйнштейна о суммировании .
Функция дискретной единичной выборки проще определяется как:
Кроме того, дельта-функцию Дирака часто путают как с дельта-функцией Кронекера, так и с функцией единичной выборки. Дельта Дирака определяется как:
В отличие от дельта-функции Кронекера и функции единичной выборки , дельта-функция Дирака не имеет целочисленного индекса, она имеет единственное непрерывное нецелое значение t .
При определенных условиях дельта Кронекера может возникнуть в результате выборки дельта-функции Дирака. Например, если дельта-импульс Дирака возникает точно в точке выборки и в идеале подвергается фильтрованию нижних частот (с отсечкой на критической частоте) в соответствии с теоремой о выборке Найквиста-Шеннона , результирующий сигнал дискретного времени будет дельта-функцией Кронекера.
The Обобщенная дельта Кронекера илимногоиндексная дельта Кронекерапорядка— это тензор типа, полностьюантисимметричныйпо своимверхним индексам, а также понижним индексам.
Используются два определения, которые различаются в несколько раз . Ниже представлена версия, имеющая ненулевые компоненты, масштабированные до . Вторая версия имеет ненулевые компоненты, которые являются , с последующими изменениями масштабных коэффициентов в формулах, таких как исчезновение масштабных коэффициентов в § Свойства обобщенной дельты Кронекера ниже. [4]
Определения обобщенной дельты Кронекера
С точки зрения индексов обобщенная дельта Кронекера определяется как: [5] [6]
Для любого целого числа , используя стандартное вычисление остатка , мы можем записать интегральное представление для дельты Кронекера в виде интеграла ниже, где контур интеграла движется против часовой стрелки вокруг нуля. Это представление также эквивалентно определенному интегралу при вращении в комплексной плоскости.
Гребень Кронекера
Гребенчатая функция Кронекера с периодом определяется (используя обозначение DSP ) как:
Дельтой Кронекера также называют степень отображения одной поверхности в другую. [13] Предположим, что происходит отображение поверхности S uvw на S xyz , которые являются границами областей R uvw и R xyz , которое просто связано взаимно однозначным соответствием. В этой структуре, если s и t являются параметрами для Suvw , и каждый из Suvw к Suvw ориентирован внешней нормалью n :
Пусть x = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z ( u , v , w ) определены и гладки в области, содержащей S uvw , и пусть эти уравнения определяют отображение S uvw на S xyz . Тогда степень δ отображения равна1/4πумноженный на телесный угол изображения S изображения S uvw относительно внутренней точки S xyz , O . Если O является началом области R xyz , то степень δ определяется интегралом:
^ Троубридж, Дж. Х. (1998). «О методике измерения турбулентного напряжения сдвига при наличии поверхностных волн». Журнал атмосферных и океанических технологий . 15 (1): 291. Бибкод : 1998JATOT..15..290T. doi : 10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2 .
^ Агарвал, округ Колумбия (2007). Тензорное исчисление и риманова геометрия (22-е изд.). Кришна Пракашан Медиа.[ ISBN отсутствует ]
^ Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Публикации Courier Dover. ISBN0-486-65840-6.
^ Рекурсивное определение требует первого случая, который можно принять как δ = 1 для p = 0 или, альтернативно, δмкм ν= δмкм νдля p = 1 (обобщенная дельта через стандартную дельту).
^ Хасани, Садри (2008). Математические методы: для студентов-физиков и смежных специальностей (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN978-0-387-09503-5.
^ Пенроуз, Роджер (июнь 1960 г.). «Спинорный подход к общей теории относительности». Анналы физики . 10 (2): 171–201. Бибкод : 1960AnPhy..10..171P. дои : 10.1016/0003-4916(60)90021-X.
^ Эйткен, Александр Крейг (1958). Определители и матрицы . Великобритания: Оливер и Бойд.
^ Роджер Пенроуз , «Применение тензоров отрицательной размерности», в книге « Комбинаторная математика и ее приложения» , Academic Press (1971).
^ Каплан, Уилфред (2003). Продвинутое исчисление. Пирсон Образование. п. 364. ИСБН0-201-79937-5.