Математика общей теории относительности

При изучении и формулировании общей теории относительности Альберта Эйнштейна используются различные математические структуры и методы. Основными инструментами, используемыми в этой геометрической теории гравитации , являются тензорные поля, определенные на лоренцевом многообразии, представляющем пространство-время . Эта статья представляет собой общее описание математики общей теории относительности.

Примечание: в статьях по общей теории относительности, где используются тензоры, будет использоваться абстрактная индексная нотация .

Тензоры

Принцип общей ковариантности был одним из центральных принципов в развитии общей теории относительности. Он гласит, что законы физики должны иметь одинаковую математическую форму во всех системах отсчета . Термин «общая ковариантность» использовался в ранней формулировке общей теории относительности, но сейчас этот принцип часто называют « диффеоморфной ковариантностью ».

Ковариантность диффеоморфизма не является определяющей чертой общей теории относительности[1], и споры по-прежнему касаются ее нынешнего статуса в общей теории относительности. Однако свойство инвариантности физических законов, подразумеваемое в принципе, в сочетании с тем фактом, что теория по сути является геометрической по своей природе (использует неевклидовы геометрии ), предполагает, что общая теория относительности может быть сформулирована с использованием языка тензоров . Это будет обсуждаться ниже.

Пространство-время как многообразие

Большинство современных подходов к математической общей теории относительности начинаются с концепции многообразия . Точнее, базовая физическая конструкция, представляющая гравитацию  —  искривленное пространство-время  —  моделируется четырехмерным, гладким, связным лоренцевым многообразием . Другие физические дескрипторы представлены различными тензорами, обсуждаемыми ниже.

Обоснованием выбора многообразия в качестве фундаментальной математической структуры является отражение желаемых физических свойств. Например, в теории многообразий каждая точка содержится в (ни в коем случае не уникальной) координатной карте , и эту карту можно рассматривать как представляющую «локальное пространство-время» вокруг наблюдателя (представленного точкой). Принцип локальной лоренц-ковариантности , который гласит, что законы специальной теории относительности выполняются локально относительно каждой точки пространства-времени, дополнительно подтверждает выбор структуры многообразия для представления пространства-времени, поскольку локально вокруг точки на общем многообразии область «выглядит как» или очень близко приближается к пространству Минковского (плоскому пространству-времени).

Идея координатных карт как «локальных наблюдателей, которые могут выполнять измерения в своей окрестности» также имеет хороший физический смысл, поскольку именно так фактически собираются физические данные — локально. Для космологических задач координатная карта может быть довольно большой.

Локальная и глобальная структура

Важным различием в физике является различие между локальной и глобальной структурами. Измерения в физике проводятся в относительно небольшой области пространства-времени, и это одна из причин изучения локальной структуры пространства-времени в общей теории относительности, тогда как определение глобальной структуры пространства-времени важно, особенно в космологических задачах.

Важной проблемой в общей теории относительности является определение того, когда два пространства-времени являются «одинаковыми», по крайней мере локально. Эта проблема имеет свои корни в теории многообразий, где определяется, являются ли два римановых многообразия одинаковой размерности локально изометричными («локально одинаковыми»). Эта последняя проблема была решена, и ее адаптация для общей теории относительности называется алгоритмом Картана–Карлхеде .

Тензоры в общей теории относительности

Одним из глубоких последствий теории относительности стала отмена привилегированных систем отсчета . Описание физических явлений не должно зависеть от того, кто проводит измерения — одна система отсчета должна быть столь же хороша, как и любая другая. Специальная теория относительности продемонстрировала, что ни одна инерциальная система отсчета не является предпочтительной по сравнению с любой другой инерциальной системой отсчета, но предпочитала инерциальные системы отсчета неинерциальным. Общая теория относительности устранила предпочтение инерциальным системам отсчета, показав, что не существует предпочтительной системы отсчета (инерциальной или нет) для описания природы.

Любой наблюдатель может проводить измерения, и полученные точные числовые величины зависят только от используемой системы координат. Это предложило способ формулировки относительности с использованием «инвариантных структур», которые не зависят от используемой системы координат (представленной наблюдателем), но все же имеют независимое существование. Наиболее подходящей математической структурой, по-видимому, был тензор. Например, при измерении электрических и магнитных полей, создаваемых ускоряющимся зарядом, значения полей будут зависеть от используемой системы координат, но поля рассматриваются как имеющие независимое существование, эта независимость представлена ​​электромагнитным тензором .

Математически тензоры являются обобщенными линейными операторами - полилинейными отображениями . Таким образом, идеи линейной алгебры применяются для изучения тензоров.

В каждой точке многообразия можно построить касательное и кокасательное пространства к многообразию в этой точке. Векторы ( иногда называемые контравариантными векторами ) определяются как элементы касательного пространства, а ковекторы (иногда называемые ковариантными векторами , но чаще дуальными векторами или один-формами ) являются элементами кокасательного пространства. ${\displaystyle p}$

В , эти два векторных пространства могут быть использованы для построения тензоров типа, которые являются вещественнозначными полилинейными отображениями, действующими на прямую сумму копий кокасательного пространства с копиями касательного пространства. Набор всех таких полилинейных отображений образует векторное пространство, называемое пространством тензорного произведения типа в и обозначаемое Если касательное пространство является n-мерным, можно показать, что ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (T_{p})_{s}^{r}M.}$ ${\displaystyle \dim(T_{p})_{s}^{r}M=n^{r+s}.}$

В литературе по общей теории относительности принято использовать компонентный синтаксис для тензоров.

Типовой тензор может быть записан как ${\displaystyle (r,s)}$

$${\displaystyle T={T^{a_{1}\dots a_{r}}}_{{b_{1}}\dots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \dots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \dots \otimes dx^{b_{s}}}$$где — базис для i -го касательного пространства и базис для j -го кокасательного пространства. ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}$ ${\displaystyle dx^{b_{j}}}$

Поскольку пространство-время предполагается четырехмерным, каждый индекс тензора может иметь одно из четырех значений. Следовательно, общее число элементов тензора равно 4 ^R , где R — это число ковариантных и контравариантных индексов тензора (число, называемое рангом тензора). ${\displaystyle (b_{i})}$ ${\displaystyle (a_{i})}$ ${\displaystyle r+s}$

Симметричные и антисимметричные тензоры

Некоторые физические величины представлены тензорами, не все компоненты которых независимы. Важные примеры таких тензоров включают симметричные и антисимметричные тензоры. Антисимметричные тензоры обычно используются для представления вращений (например, тензор вихреобразования ).

Хотя общий тензор ранга R в 4 измерениях имеет 4 компонента ^R , ограничения на тензор, такие как симметрия или антисимметрия, служат для уменьшения количества отдельных компонентов. Например, симметричный тензор ранга два удовлетворяет и обладает 10 независимыми компонентами, тогда как антисимметричный (кососимметричный) тензор ранга два удовлетворяет и обладает 6 независимыми компонентами. Для рангов больше двух симметричные или антисимметричные пары индексов должны быть явно определены. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }}$

Антисимметричные тензоры ранга 2 играют важную роль в теории относительности. Набор всех таких тензоров — часто называемых бивекторами — образует векторное пространство размерности 6, иногда называемое бивекторным пространством.

Метрический тензор

Метрический тензор является центральным объектом в общей теории относительности, который описывает локальную геометрию пространства-времени (как результат решения уравнений поля Эйнштейна ). Используя приближение слабого поля , метрический тензор можно также рассматривать как представляющий «гравитационный потенциал». Метрический тензор часто называют просто «метрикой».

Метрика является симметричным тензором и является важным математическим инструментом. Помимо того, что она используется для повышения и понижения индексов тензора , она также генерирует связи , которые используются для построения геодезических уравнений движения и тензора кривизны Римана .

Удобным средством выражения метрического тензора в сочетании с инкрементными интервалами координатного расстояния, к которым он относится, является линейный элемент : $${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$$

Этот способ выражения метрики использовался пионерами дифференциальной геометрии . Хотя некоторые релятивисты считают эту нотацию несколько старомодной, многие легко переключаются между ней и альтернативной нотацией: ^[1] $${\displaystyle g=g_{ab}\,dx^{a}\otimes dx^{b}}$$

Метрический тензор обычно записывается в виде матрицы 4 × 4. Эта матрица симметрична и, таким образом, имеет 10 независимых компонент.

Инварианты

Одной из центральных особенностей ОТО является идея инвариантности физических законов. Эта инвариантность может быть описана многими способами, например, в терминах локальной лоренц-ковариантности , общего принципа относительности или диффеоморфизм-ковариантности .

Более явное описание можно дать с помощью тензоров. Важнейшей особенностью тензоров, используемых в этом подходе, является тот факт, что (после того, как задана метрика) операция свертки тензора ранга R по всем индексам R дает число — инвариант , — которое не зависит от координатной карты, используемой для выполнения свертки. Физически это означает, что если инвариант вычисляется любыми двумя наблюдателями, они получат одно и то же число, таким образом предполагая, что инвариант имеет некоторое независимое значение. Некоторые важные инварианты в теории относительности включают:

• Скаляр Риччи : ${\displaystyle R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }}$
• Скаляр Кречмана : ${\displaystyle K=R^{abcd}R_{abcd}}$

Другие примеры инвариантов в теории относительности включают электромагнитные инварианты и различные другие инварианты кривизны , некоторые из которых находят применение в изучении гравитационной энтропии и гипотезы кривизны Вейля .

Тензорные классификации

Классификация тензоров — чисто математическая проблема. Однако в ОТО некоторые тензоры, имеющие физическую интерпретацию, можно классифицировать с помощью различных форм тензора, обычно соответствующих некоторой физике. Примерами тензорных классификаций, полезных в общей теории относительности, являются классификация Сегре тензора энергии -импульса и классификация Петрова тензора Вейля . Существуют различные методы классификации этих тензоров, некоторые из которых используют тензорные инварианты.

Тензорные поля в общей теории относительности

Тензорные поля на многообразии — это отображения, которые прикрепляют тензор к каждой точке многообразия . Это понятие можно уточнить, введя идею расслоения волокон , что в данном контексте означает сбор всех тензоров во всех точках многообразия, таким образом «связывая» их все в один большой объект, называемый тензорным расслоением . Затем тензорное поле определяется как отображение из многообразия в тензорное расслоение, причем каждая точка связана с тензором в . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Понятие тензорного поля имеет большое значение в ОТО. Например, геометрия вокруг звезды описывается метрическим тензором в каждой точке, поэтому в каждой точке пространства-времени должно быть задано значение метрики для решения задач о траекториях материальных частиц. Другим примером являются значения электрического и магнитного полей (задаваемые тензором электромагнитного поля ) и метрики в каждой точке вокруг заряженной черной дыры для определения движения заряженной частицы в таком поле.

Векторные поля являются контравариантными тензорными полями ранга один. Важные векторные поля в теории относительности включают 4-скорость , , которая является координатным расстоянием, пройденным за единицу собственного времени, 4-ускорение и 4-ток, описывающие плотности заряда и тока. Другие физически важные тензорные поля в теории относительности включают следующие: ${\displaystyle U^{a}={\dot {x}}^{a}}$ ${\displaystyle A^{a}={\ddot {x}}^{a}}$ ${\displaystyle J^{a}}$

• Тензор энергии-импульса , симметричный тензор второго ранга. ${\displaystyle T^{ab}}$
• Тензор электромагнитного поля — антисимметричный тензор второго ранга. ${\displaystyle F^{ab}}$

Хотя слово «тензор» относится к объекту в точке, тензорные поля в пространстве-времени (или его области) принято называть просто «тензорами».

В каждой точке пространства-времени, в которой определена метрика, метрику можно привести к форме Минковского, используя закон инерции Сильвестра .

Тензорные производные

До появления общей теории относительности изменения физических процессов обычно описывались частными производными , например, при описании изменений электромагнитных полей (см. уравнения Максвелла ). Даже в специальной теории относительности частная производная все еще достаточна для описания таких изменений. Однако в общей теории относительности обнаружено, что необходимо использовать производные, которые также являются тензорами. Производные имеют некоторые общие черты, включая то, что они являются производными вдоль интегральных кривых векторных полей.

Проблема определения производных на многообразиях , которые не являются плоскими, заключается в том, что нет естественного способа сравнения векторов в разных точках. Для определения производных требуется дополнительная структура на общем многообразии. Ниже описаны две важные производные, которые можно определить, наложив дополнительную структуру на многообразие в каждом случае.

Аффинные связи

Кривизну пространства-времени можно охарактеризовать, взяв вектор в некоторой точке и параллельно перенеся его вдоль кривой на пространстве-времени. Аффинная связь — это правило, описывающее, как законно перемещать вектор вдоль кривой на многообразии, не меняя его направления.

По определению, аффинная связность — это билинейное отображение , где — пространство всех векторных полей в пространстве-времени. Это билинейное отображение можно описать в терминах набора коэффициентов связности (также известных как символы Кристоффеля ), определяющих, что происходит с компонентами базисных векторов при бесконечно малом параллельном переносе: ${\displaystyle \Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\to \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ $${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}}$$

Несмотря на свой внешний вид, коэффициенты связи не являются компонентами тензора .

Вообще говоря, в каждой точке пространства-времени имеются независимые коэффициенты связности. Связь называется симметричной или без кручения , если . Симметричная связь имеет не более уникальных коэффициентов. ${\displaystyle D^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}D^{2}(D+1)}$

Для любой кривой и двух точек и на этой кривой аффинная связность порождает отображение векторов в касательном пространстве в точке в векторы в касательном пространстве в точке : и может быть вычислена покомпонентно путем решения дифференциального уравнения , где — вектор, касательный к кривой в точке . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle A=\gamma (0)}$ ${\displaystyle B=\gamma (t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle X(t)=\Pi _{0,t,\gamma }X(0)}$$ ${\displaystyle X(t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}X^{i}(t)=\nabla _{C(t)}X^{i}(t)=\Gamma _{jk}^{i}X^{j}(t)C^{k}(t)}$$ ${\displaystyle C^{j}(t)}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

Важной аффинной связью в общей теории относительности является связь Леви-Чивиты , которая является симметричной связью, полученной путем параллельного переноса касательного вектора вдоль кривой с сохранением внутреннего произведения этого вектора постоянным вдоль кривой. Результирующие коэффициенты связи ( символы Кристоффеля ) могут быть вычислены непосредственно из метрики . По этой причине этот тип связи часто называют метрической связью .

Ковариантная производная

Пусть будет точкой, вектором, расположенным в , и векторным полем. Идея дифференцирования в вдоль направления физически осмысленным образом может быть реализована путем выбора аффинной связности и параметризованной гладкой кривой такой, что и . Формула для ковариантной производной вдоль , связанной со связностью, оказывается, дает независимые от кривой результаты и может использоваться как «физическое определение» ковариантной производной. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle X=\gamma (0)}$ ${\textstyle {\vec {A}}={\frac {d}{dt}}\gamma (0)}$ $${\displaystyle \nabla _{\vec {A}}{\vec {B}}(X)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\left[\Pi _{(\varepsilon ,0,\gamma )}{\vec {B}}(\gamma [\varepsilon ])-{\vec {B}}(X)\right]}$$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle \Pi }$

Его можно выразить с помощью коэффициентов связи: $${\displaystyle \nabla _{\vec {Y}}{\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c})Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$$

Выражение в скобках, называемое ковариантной производной (по связи) ${\displaystyle X}$ и обозначаемое , чаще используется в расчетах: ${\displaystyle \nabla {\vec {X}}}$ $${\displaystyle \nabla {\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c}){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}}$$

Таким образом, ковариантную производную можно рассматривать как дифференциальный оператор , действующий на векторное поле, отправляя его в тензор типа (1, 1) (увеличивая ковариантный индекс на 1), и можно обобщить для действия на поля тензора типа, отправляя их в поля тензора типа . Понятия параллельного переноса можно тогда определить аналогично случаю векторных полей. По определению, ковариантная производная скалярного поля равна регулярной производной поля. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r,s+1)}$

В литературе распространены три способа обозначения ковариантной дифференциации: $${\displaystyle D_{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=\nabla _{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=T_{d\dots e;a}^{b\dots c}}$$

Многие стандартные свойства обычных частных производных применимы также к ковариантным производным: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{a}(X^{b}+Y^{b})&=\nabla _{a}X^{b}+\nabla _{a}Y^{b}\\\nabla _{a}(cX^{b})&=c\nabla _{a}X^{b}&&c{\text{ a constant}}\\\nabla _{a}(X^{b}Y^{c})&=Y^{c}(\nabla _{a}X^{b})+X^{b}(\nabla _{a}Y^{c})\\\nabla _{a}(f(x)X^{b})&=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}\nabla _{a}f=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}{\partial f \over \partial x^{a}}\\\end{aligned}}}$$

В общей теории относительности обычно говорят о "ковариантной" производной, которая связана с аффинной связностью Леви-Чивиты. По определению связность Леви-Чивиты сохраняет метрику при параллельном переносе, поэтому ковариантная производная дает ноль при действии на метрический тензор (а также на его обратный). Это означает, что мы можем взять (обратный) метрический тензор в производной и из нее и использовать его для повышения и понижения индексов: $${\displaystyle \nabla _{a}T^{b}=\nabla _{a}(T_{c}g^{bc})=g^{bc}\nabla _{a}T_{c}}$$

Производная Ли

Другой важной тензорной производной является производная Ли. В отличие от ковариантной производной, производная Ли не зависит от метрики, хотя в общей теории относительности обычно используется выражение, которое, по-видимому, зависит от метрики через аффинную связь. В то время как ковариантная производная требовала аффинной связи для сравнения векторов в разных точках, производная Ли использует конгруэнцию из векторного поля для достижения той же цели. Идея Ли, перетаскивающего функцию вдоль конгруэнции, приводит к определению производной Ли, где перетаскиваемая функция сравнивается со значением исходной функции в заданной точке. Производная Ли может быть определена для полей тензора типа и в этом отношении может рассматриваться как отображение, которое отправляет тип в тензор типа . ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r,s)}$

Производную Ли обычно обозначают как , где — векторное поле, вдоль конгруэнции которого берется производная Ли. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Производная Ли любого тензора вдоль векторного поля может быть выражена через ковариантные производные этого тензора и векторного поля. Производная Ли скаляра — это просто производная по направлению: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\phi =X^{a}\nabla _{a}\phi =X^{a}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{a}}}}$$

Более высокоранговые объекты получают дополнительные члены, когда берется производная Ли. Например, производная Ли тензора типа (0, 2) равна $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T_{ab}=X^{c}\nabla _{c}T_{ab}+(\nabla _{a}X^{c})T_{cb}+(\nabla _{b}X^{c})T_{ac}=X^{c}T_{ab,c}+X_{,a}^{c}T_{cb}+X_{,b}^{c}T_{ac}}$$

В более общем плане, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}&T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\dots b_{s}}=X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-\\&\quad (\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\cdots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\dots b_{s}}+\\&\quad (\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{c\dots b_{s}}+\cdots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\dots b_{s-1}c}\end{aligned}}}$$

На самом деле в приведенном выше выражении можно заменить ковариантную производную любой связностью без кручения или локально производной, зависящей от координат , показывая, что производная Ли не зависит от метрики. Однако ковариантная производная удобна, поскольку она коммутирует с повышением и понижением индексов. ${\displaystyle \nabla _{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}_{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}}$

Одно из основных применений производной Ли в общей теории относительности — изучение симметрий пространства-времени, где сохраняются тензоры или другие геометрические объекты. В частности, симметрия Киллинга (симметрия метрического тензора относительно увлечения Ли) очень часто встречается при изучении пространства-времени. Используя приведенную выше формулу, мы можем записать условие, которое должно быть выполнено для того, чтобы векторное поле генерировало симметрию Киллинга: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}g_{ab}=0&\Longleftrightarrow \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0\\&\Longleftrightarrow X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{bc}+X_{,b}^{c}g_{ac}=0\end{aligned}}}$$

Тензор кривизны Римана

Важнейшей особенностью общей теории относительности является концепция искривленного многообразия. Полезным способом измерения кривизны многообразия является использование объекта, называемого тензором Римана (кривизны).

Этот тензор измеряет кривизну с помощью аффинной связи , рассматривая эффект параллельного переноса вектора между двумя точками вдоль двух кривых. Расхождение между результатами этих двух параллельных путей переноса по существу количественно определяется тензором Римана .

Это свойство тензора Римана можно использовать для описания того, как расходятся изначально параллельные геодезические. Это выражается уравнением отклонения геодезических и означает, что приливные силы, испытываемые в гравитационном поле, являются результатом кривизны пространства-времени .

Используя вышеприведенную процедуру, тензор Римана определяется как тензор типа (1, 3) и при полной записи явно содержит символы Кристоффеля и их первые частные производные. Тензор Римана имеет 20 независимых компонент. Исчезновение всех этих компонент в области указывает на то, что пространство-время является плоским в этой области. С точки зрения геодезического отклонения это означает, что изначально параллельные геодезические в этой области пространства-времени останутся параллельными.

Тензор Римана обладает рядом свойств, которые иногда называют симметриями тензора Римана . Особое значение для общей теории относительности имеют алгебраические и дифференциальные тождества Бианки.

Связность и кривизна любого риманова многообразия тесно связаны; теория групп голономии , которые образуются путем взятия линейных отображений, определяемых параллельным переносом вокруг кривых на многообразии, дает описание этой связи.

Что позволяет нам делать тензор Римана, так это математически сообщать, является ли пространство плоским или, если оно искривлено, то какая кривизна имеет место в любой заданной области. Чтобы вывести тензор кривизны Римана, мы должны сначала вспомнить определение ковариантной производной тензора с одним и двумя индексами;

1. $${\displaystyle \nabla _{\mu }V_{\nu }=\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }}$$
2. $${\displaystyle \nabla _{\sigma }[V_{\mu \nu }]=\partial _{\sigma }V_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }V_{\rho \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }V_{\mu \rho }}$$

Для образования тензора Римана ковариантная производная берется дважды по тензору ранга один. Уравнение составляется следующим образом; $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\sigma ;\mu }V_{\nu }&=\nabla _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]\\&=\partial _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\nabla _{\rho }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\nabla _{\mu }V_{\rho }]\\&=\partial _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\partial _{\rho }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }]\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\end{aligned}}}$$

Аналогично имеем: $${\displaystyle \nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=\partial _{\mu }\partial _{\sigma }V_{\nu }-\partial _{\mu }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }V_{\alpha }}$$

Вычитая два уравнения, меняя местами фиктивные индексы и используя симметрию символов Кристоффеля, получаем: или $${\displaystyle \nabla _{\sigma ;\mu }V_{\nu }-\nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }}$$ $${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }V_{\alpha }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }b-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }}$$

Наконец, тензор кривизны Римана записывается как $${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }}$$

Вы можете сократить индексы, чтобы сделать тензор ковариантным, просто умножив его на метрику, что будет полезно при работе с уравнениями поля Эйнштейна , и путем дальнейшего разложения, $${\displaystyle g_{\alpha \lambda }R_{\nu \mu \sigma }^{\lambda }=R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$$ $${\displaystyle g^{\alpha \mu }R_{\alpha \nu \mu \sigma }=R_{\nu \sigma }}$$

Этот тензор называется тензором Риччи , который также может быть получен путем установки и в тензоре Римана на тот же индекс и суммирования по ним. Затем скаляр кривизны может быть найден, сделав еще один шаг вперед, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle g^{\nu \sigma }R_{\nu \sigma }=R}$$

Итак, теперь у нас есть 3 разных объекта,

1. тензор кривизны Римана : или ${\displaystyle R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }}$ ${\displaystyle R_{\alpha \nu \mu \sigma }}$
2. тензор Риччи : ${\displaystyle R_{\nu \sigma }}$
3. скалярная кривизна : ${\displaystyle R}$

все они полезны при вычислении решений уравнений поля Эйнштейна.

Тензор энергии-импульса

Источники любого гравитационного поля (материя и энергия) представлены в теории относительности симметричным тензором типа (0, 2), называемым тензором энергии-импульса . Он тесно связан с тензором Риччи . Будучи тензором второго ранга в четырех измерениях, тензор энергии-импульса можно рассматривать как матрицу 4 на 4. Различные допустимые типы матриц, называемые жордановыми формами, не могут все встречаться, поскольку энергетические условия , которым тензор энергии-импульса вынужден удовлетворять, исключают определенные формы.

Энергосбережение

В специальной и общей теории относительности существует локальный закон сохранения энергии-импульса. Его можно кратко выразить тензорным уравнением: $${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$$

Это иллюстрирует практическое правило, согласно которому «частные производные переходят в ковариантные производные».

Уравнения поля Эйнштейна

Уравнения поля Эйнштейна (EFE) являются ядром общей теории относительности. EFE описывают, как масса и энергия (представленные в тензоре энергии-импульса ) связаны с кривизной пространства-времени (представленной в тензоре Эйнштейна ). В абстрактной индексной нотации EFE читается следующим образом: где — тензор Эйнштейна , — космологическая постоянная , — метрический тензор , — скорость света в вакууме, — гравитационная постоянная , которая вытекает из закона всемирного тяготения Ньютона . $${\displaystyle G_{ab}+\Lambda g_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}}$$ ${\displaystyle G_{ab}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

Решения EFE являются метрическими тензорами. EFE, будучи нелинейными дифференциальными уравнениями для метрики, часто трудно решаются. Существует ряд стратегий, используемых для их решения. Например, одна из стратегий заключается в том, чтобы начать с анзаца ( или обоснованного предположения) окончательной метрики и уточнять ее до тех пор, пока она не станет достаточно конкретной, чтобы поддерживать систему координат, но все еще достаточно общей, чтобы дать набор одновременных дифференциальных уравнений с неизвестными, которые можно решить. Метрические тензоры, полученные в случаях, когда результирующие дифференциальные уравнения могут быть решены точно для физически разумного распределения энергии-импульса, называются точными решениями . Примерами важных точных решений являются решение Шварцшильда и решение Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера .

Приближение EIH и другие ссылки (например, Geroch и Jang, 1975 - «Движение тела в общей теории относительности», JMP, том 16, выпуск 1).

Уравнения геодезических

После того, как EFE решены для получения метрики, остается определить движение инерциальных объектов в пространстве-времени. В общей теории относительности предполагается, что инерциальное движение происходит вдоль времениподобных и нулевых геодезических пространства-времени, параметризованных собственным временем . Геодезические — это кривые, которые параллельно переносят свой собственный касательный вектор ; т. е . . Это условие, уравнение геодезической , можно записать в терминах системы координат с касательным вектором : где обозначает производную по собственному времени, , причем τ параметризует собственное время вдоль кривой и демонстрирует наличие символов Кристоффеля . ${\displaystyle {\vec {U}}}$ ${\displaystyle \nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}}$ $${\displaystyle {\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0}$$ ${\displaystyle {\dot {}}}$ ${\displaystyle d/d\tau }$

Основной особенностью общей теории относительности является определение траекторий частиц и излучения в гравитационных полях. Это достигается путем решения геодезических уравнений .

EFE связывают общее распределение материи (энергии) с кривизной пространства-времени . Их нелинейность приводит к проблеме определения точного движения материи в результирующем пространстве-времени. Например, в системе, состоящей из одной планеты, вращающейся вокруг звезды , движение планеты определяется путем решения уравнений поля с тензором энергии-импульса, равным сумме тензоров для планеты и звезды. Гравитационное поле планеты влияет на общую геометрию пространства-времени и, следовательно, на движение объектов. Поэтому разумно предположить, что уравнения поля могут быть использованы для вывода геодезических уравнений.

Когда тензор энергии-импульса для системы является тензором пыли , можно показать, используя локальный закон сохранения для тензора энергии-импульса, что геодезические уравнения выполняются точно.

Формулировка Лагранжа

Проблема вывода уравнений движения или уравнений поля в любой физической теории многими исследователями рассматривается как привлекательная. Достаточно универсальным способом выполнения этих выводов является использование методов вариационного исчисления , основными объектами которого являются лагранжианы .

Многие считают этот подход элегантным способом построения теории, другие — просто формальным способом выражения теории (обычно лагранжево построение выполняется после того, как теория уже разработана).

Математические методы анализа пространства-времени

Описав основные математические структуры, используемые при формулировании теории, теперь обсудим некоторые важные математические методы, применяемые при исследовании пространства-времени.

Поля кадра

Поле фрейма — это ортонормированный набор из 4 векторных полей (1 времениподобного, 3 пространственноподобных), определенных на пространстве-времени . Каждое поле фрейма можно рассматривать как представление наблюдателя в пространстве-времени, движущегося вдоль интегральных кривых времениподобного векторного поля. Каждая тензорная величина может быть выражена в терминах поля фрейма, в частности, метрический тензор принимает особенно удобную форму. В сочетании с полями кофрейма поля фрейма предоставляют мощный инструмент для анализа пространства-времени и физической интерпретации математических результатов.

Симметрия векторных полей

Некоторые современные методы анализа пространства-времени в значительной степени опираются на использование симметрий пространства-времени, которые бесконечно мало генерируются векторными полями (обычно определяемыми локально) в пространстве-времени, которые сохраняют некоторые особенности пространства-времени. Наиболее распространенный тип таких векторных полей симметрии включает векторные поля Киллинга (которые сохраняют метрическую структуру) и их обобщения, называемые обобщенными векторными полями Киллинга . Векторные поля симметрии находят широкое применение в изучении точных решений в общей теории относительности , и множество всех таких векторных полей обычно образует конечномерную алгебру Ли .

Задача Коши

Задача Коши (иногда называемая задачей начального значения) — это попытка найти решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. В контексте общей теории относительности это означает задачу нахождения решений уравнений поля Эйнштейна — системы гиперболических уравнений в частных производных — при заданных некоторых начальных данных на гиперповерхности. Изучение задачи Коши позволяет сформулировать концепцию причинности в общей теории относительности, а также «параметризовать» решения уравнений поля. В идеале требуются глобальные решения , но обычно локальные решения — это лучшее, на что можно надеяться. Обычно решение этой задачи начального значения требует выбора конкретных координатных условий .

Спинорный формализм

Спиноры находят несколько важных приложений в теории относительности. Их использование в качестве метода анализа пространства-времени с использованием тетрад , в частности, в формализме Ньюмена-Пенроуза, является важным.

Еще одной привлекательной особенностью спиноров в общей теории относительности является сжатый способ, которым некоторые тензорные уравнения могут быть записаны с использованием спинорного формализма. Например, при классификации тензора Вейля определение различных типов Петрова становится намного проще по сравнению с тензорным аналогом.

исчисление Редже

Исчисление Редже — это формализм, который разбивает лоренцево многообразие на дискретные «куски» (четырехмерные симплициальные блоки), а длины ребер блоков берутся в качестве основных переменных. Дискретная версия действия Эйнштейна–Гильберта получается путем рассмотрения так называемых углов дефицита этих блоков, нулевой угол дефицита соответствует отсутствию кривизны. Эта новая идея находит применение в методах приближения в численной теории относительности и квантовой гравитации , причем последняя использует обобщение исчисления Редже.

Теоремы о сингулярности

В общей теории относительности было отмечено, что при довольно общих условиях гравитационный коллапс неизбежно приведет к так называемой сингулярности . Сингулярность — это точка, в которой решения уравнений становятся бесконечными, что указывает на то, что теория была исследована в неподходящих диапазонах.

Числовая относительность

Численная теория относительности — это подраздел общей теории относительности, который стремится решать уравнения Эйнштейна с помощью численных методов. Методы конечных разностей , конечных элементов и псевдоспектральные методы используются для приближенного решения возникающих частных дифференциальных уравнений . Новые методы, разработанные численной теорией относительности, включают метод вырезания и метод прокола для работы с сингулярностями, возникающими в пространстве-времени черных дыр. Общие темы исследований включают черные дыры и нейтронные звезды.

Методы возмущения

Нелинейность уравнений поля Эйнштейна часто приводит к необходимости рассмотрения методов приближения при их решении. Например, важным подходом является линеаризация уравнений поля . Методы теории возмущений находят широкое применение в таких областях.

Смотрите также

• Исчисление Риччи  – обозначение индекса тензора для вычислений на основе тензоров

Примечания

[1] Определяющей чертой (центральной физической идеей) общей теории относительности является то, что материя и энергия вызывают искривление геометрии окружающего пространства-времени.

Ссылки

1. Обратите внимание, что обозначение обычно используется для обозначения определителя ковариантного метрического тензора, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{ab}}$

• Эйнштейн, А. (1961). Относительность: Специальная и общая теория . Нью-Йорк: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
• Мизнер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0.
• Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.
• Петров, АН; Копейкин, СМ; Текин, Б. и Ломпей, Р. (2017). Метрические теории гравитации: возмущения и законы сохранения . Берлин: De Gruyter. doi :10.1515/9783110351781. ISBN 978-3-11-035173-6.