В дифференциальной геометрии и теоретической физике классификация электромагнитных полей представляет собой поточечную классификацию бивекторов в каждой точке лоренцева многообразия . Она используется при изучении решений уравнений Максвелла и имеет приложения в теории относительности Эйнштейна .
Электромагнитное поле в точке p (т.е. событие) лоренцева пространства-времени представлено действительным бивектором F = F ab, определенным над касательным пространством в точке p .
Касательное пространство в точке p изометрично как действительное пространство внутреннего произведения E 1,3 . То есть, оно имеет то же понятие векторной величины и угла, что и пространство-время Минковского . Для упрощения обозначений мы будем считать, что пространство-время — это пространство-время Минковского. Это имеет тенденцию размывать различие между касательным пространством в точке p и лежащим в его основе многообразием; к счастью, ничего не теряется из-за этой специализации по причинам, которые мы обсудим в конце статьи.
Теорема классификации для электромагнитных полей характеризует бивектор F по отношению к лоренцевой метрике η = η ab , определяя и исследуя так называемые «главные нулевые направления». Поясним это.
Бивектор F ab дает кососимметричный линейный оператор F a b = F ac η cb , определяемый понижением одного индекса с метрикой. Он действует на касательное пространство в точке p с помощью r a → F a b r b . Мы будем использовать символ F для обозначения либо бивектора, либо оператора в зависимости от контекста.
Мы упоминаем дихотомию, взятую из внешней алгебры. Бивектор, который можно записать как F = v ∧ w , где v , w линейно независимы, называется простым . Любой ненулевой бивектор над 4-мерным векторным пространством либо является простым, либо может быть записан как F = v ∧ w + x ∧ y , где v , w , x , и y линейно независимы; эти два случая являются взаимоисключающими. Сформулированная таким образом, дихотомия не ссылается на метрику η , а только на внешнюю алгебру. Но легко видеть, что связанный кососимметричный линейный оператор F a b имеет ранг 2 в первом случае и ранг 4 во втором случае. [1]
Чтобы сформулировать теорему классификации, рассмотрим задачу на собственные значения для F , то есть задачу нахождения собственных значений λ и собственных векторов r , которые удовлетворяют уравнению собственных значений
Кососимметричность F подразумевает, что:
Одномерное подпространство, порожденное нулевым собственным вектором, называется главным нулевым направлением бивектора.
Теорема классификации характеризует возможные главные нулевые направления бивектора. Она утверждает, что для любого ненулевого бивектора должно выполняться одно из следующих условий:
Более того, для любого ненулевого бивектора два собственных значения, связанных с двумя различными главными нулевыми направлениями, имеют одинаковую величину, но противоположный знак, λ = ± ν , поэтому у нас есть три подкласса ненулевых бивекторов:
где ранг относится к рангу линейного оператора F. [ необходимо разъяснение ]
Приведенная выше алгебраическая классификация бивекторов имеет важное применение в релятивистской физике : электромагнитное поле представлено кососимметричным тензорным полем второго ранга ( тензором электромагнитного поля ), поэтому мы немедленно получаем алгебраическую классификацию электромагнитных полей.
В декартовой системе координат на пространстве-времени Минковского тензор электромагнитного поля имеет компоненты
где и обозначают соответственно компоненты электрического и магнитного полей, измеренные инерциальным наблюдателем (покоящимся в наших координатах). Как обычно в релятивистской физике, нам будет удобно работать с геометризированными единицами , в которых . В формализме " Индексной гимнастики " специальной теории относительности метрика Минковского используется для повышения и понижения индексов.
Основными инвариантами электромагнитного поля являются:
(Фундаментальный означает, что любой другой инвариант может быть выражен через эти два.)
Нулевое электромагнитное поле характеризуется . В этом случае инварианты показывают, что электрическое и магнитное поля перпендикулярны и имеют одинаковую величину (в геометрических единицах). Примером нулевого поля является плоская электромагнитная волна в пространстве Минковского .
Ненулевое поле характеризуется . Если , то существует инерциальная система отсчета , в которой либо электрическое, либо магнитное поле обращается в нуль. (Они соответствуют соответственно магнитостатическим и электростатическим полям.) Если , то существует инерциальная система отсчета, в которой электрические и магнитные поля пропорциональны.
До сих пор мы обсуждали только пространство-время Минковского . Согласно (сильному) принципу эквивалентности , если мы просто заменим «инерциальную систему» выше на поле системы отсчета , все будет работать точно так же на искривленных многообразиях.
