Алгоритм Картана–Карлхеде — это процедура для полной классификации и сравнения римановых многообразий . Если даны два римановых многообразия одинаковой размерности, не всегда очевидно, являются ли они локально изометричными . [1] Эли Картан , используя свое внешнее исчисление с его методом подвижных фреймов , показал, что всегда возможно сравнить многообразия. Карл Бранс развил метод дальше, [2] и первая практическая реализация была представлена Андерсом Карлхеде в 1980 году. [3]
Основная стратегия алгоритма заключается в том, чтобы брать ковариантные производные тензора Римана . Картан показал, что в n измерениях достаточно не более n ( n +1)/2 дифференцирований. Если тензор Римана и его производные одного многообразия алгебраически совместимы с другим, то два многообразия изометричны. Таким образом, алгоритм Картана–Карлхеде действует как своего рода обобщение классификации Петрова .
Потенциально большое количество производных может быть вычислительно невыгодным. Алгоритм был реализован в раннем символьном вычислительном движке SHEEP , но размер вычислений оказался слишком сложным для обработки ранними компьютерными системами. [4] [5] Для большинства рассматриваемых задач фактически требуется гораздо меньше производных, чем максимум, и алгоритм более управляем на современных компьютерах. С другой стороны, общедоступной версии не существует в более современном программном обеспечении. [6]
Алгоритм Картана–Карлхеде имеет важные приложения в общей теории относительности . Одна из причин этого заключается в том, что более простое понятие инвариантов кривизны не различает пространство-время так же хорошо, как оно различает римановы многообразия . Это различие в поведении в конечном счете обусловлено тем фактом, что пространство-время имеет подгруппы изотропии, которые являются подгруппами группы Лоренца SO + (1,3), которая является некомпактной группой Ли , в то время как четырехмерные римановы многообразия (т. е. с положительно определенным метрическим тензором ) имеют группы изотропии, которые являются подгруппами компактной группы Ли SO(4).
В 4 измерениях улучшение Карлхеде программы Картана уменьшает максимальное число ковариантных производных тензора Римана, необходимых для сравнения метрик, до 7. В худшем случае для этого требуется 3156 независимых компонентов тензора. [7] Известны модели пространства-времени, требующие всех 7 ковариантных производных. [8] Однако для некоторых специальных семейств моделей пространства-времени часто бывает достаточно гораздо меньшего числа. Например, сейчас известно, что