Жидкий раствор

Класс точных решений уравнений поля Эйнштейна

В общей теории относительности жидкое решение представляет собой точное решение уравнения поля Эйнштейна , в котором гравитационное поле создается исключительно массой, импульсом и плотностью напряжений жидкости .

В астрофизике жидкие растворы часто используются в качестве звездных моделей , поскольку идеальный газ можно рассматривать как частный случай идеальной жидкости. В космологии жидкие растворы часто используются в качестве космологических моделей .

Математическое определение

Тензор энергии-импульса релятивистской жидкости можно записать в виде ^[1]

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b}+p\,h^{ab}+\left(u^{a}\,q^{b}+q^{a}\,u^{b}\right)+\pi ^{ab}}$

Здесь

• мировые линии элементов жидкости являются интегральными кривыми вектора скорости , ${\displaystyle u^{a}}$
• тензор проекции проецирует другие тензоры на элементы гиперплоскости, ортогональные , ${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+u_{a}\,u_{b}}$ ${\displaystyle u^{a}}$
• Плотность материи определяется скалярной функцией , ${\displaystyle \mu }$
• давление задается скалярной функцией , ${\displaystyle p}$
• Вектор теплового потока определяется выражением , ${\displaystyle q^{a}}$
• тензор вязкого сдвига определяется выражением . ${\displaystyle \pi ^{ab}}$

Вектор теплового потока и тензор вязкого сдвига являются поперечными к мировым линиям в том смысле, что

${\displaystyle q_{a}\,u^{a}=0,\;\;\pi _{ab}\,u^{b}=0}$

Это означает, что они фактически являются трехмерными величинами, и поскольку тензор вязких напряжений симметричен и бесследен , они имеют соответственно три и пять линейно независимых компонентов. Вместе с плотностью и давлением это дает в общей сложности 10 линейно независимых компонентов, что является числом линейно независимых компонентов в четырехмерном симметричном тензоре ранга два.

Особые случаи

Заслуживают внимания несколько особых случаев жидких растворов (здесь скорость света c  = 1):

• Идеальная жидкость имеет исчезающий вязкий сдвиг и исчезающий тепловой поток:

${\displaystyle T^{ab}=(\mu +p)\,u^{a}\,u^{b}+p\,g^{ab},}$

• Пыль — это идеальная жидкость без давления:

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b},}$

• Радиационная жидкость — это идеальная жидкость с : ${\displaystyle \mu =3p}$

${\displaystyle T^{ab}=p\,\left(4\,u^{a}\,u^{b}+\,g^{ab}\right).}$

Последние две часто используются в качестве космологических моделей для (соответственно) эпох с доминированием материи и с доминированием излучения . Обратите внимание, что в то время как в общем случае для определения жидкости требуется десять функций, для идеальной жидкости требуется всего две, а для пыли и радиационной жидкости требуется только одна функция. Гораздо проще найти такие решения, чем найти общее решение для жидкости.

Среди идеальных жидкостей, отличных от пыли или радиационных жидкостей, безусловно, наиболее важным частным случаем является случай статических сферически симметричных идеальных жидких решений. Их всегда можно сопоставить с вакуумом Шварцшильда на сферической поверхности, поэтому их можно использовать в качестве внутренних решений в звездной модели. В таких моделях сфера, где внутренняя часть жидкости сопоставляется с внешней частью вакуума, является поверхностью звезды, и давление должно исчезать в пределе, когда радиус приближается к . Однако плотность может быть ненулевой в пределе снизу, в то время как, конечно, она равна нулю в пределе сверху. В последние годы было дано несколько удивительно простых схем для получения всех этих решений. ${\displaystyle r=r[0]}$ ${\displaystyle r_{0}}$

тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поля системы отсчета, а не координатного базиса, часто называют физическими компонентами , поскольку именно эти компоненты (в принципе) могут быть измерены наблюдателем.

В частном случае идеальной жидкости адаптированная рамка

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

(первое — это времениподобное единичное векторное поле , последние три — пространственноподобные единичные векторные поля) всегда можно найти, в котором тензор Эйнштейна принимает простую форму

${\displaystyle G^{{\widehat {a\,}}{\widehat {b\,}}}=8\pi \,\left[{\begin{matrix}\mu &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right]}$

где — плотность энергии , а — давление жидкости. Здесь времениподобное единичное векторное поле всюду касается мировых линий наблюдателей, которые движутся вместе с элементами жидкости, поэтому только что упомянутые плотность и давление измеряются сопутствующими наблюдателями. Это те же величины, которые появляются в выражении общего базиса координат, приведенном в предыдущем разделе; чтобы увидеть это, просто поставьте . Из вида физических компонентов легко увидеть, что группа изотропии любой идеальной жидкости изоморфна трехмерной группе Ли SO(3), обычной группе вращения. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

Тот факт, что эти результаты для искривленного пространства-времени в точности совпадают с результатами для гидродинамики в плоском пространстве-времени Минковского, является выражением принципа эквивалентности .

Собственные значения

Характеристический полином тензора Эйнштейна в идеальной жидкости должен иметь вид

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\left(\lambda -8\pi p\right)^{3}}$

где снова — плотность и давление жидкости, измеренные наблюдателями, движущимися вместе с элементами жидкости. (Обратите внимание, что эти величины могут изменяться внутри жидкости.) Записывая это и применяя базисные методы Грёбнера для упрощения полученных алгебраических соотношений, мы обнаруживаем, что коэффициенты характеристики должны удовлетворять следующим двум алгебраически независимым (и инвариантным) условиям: ${\displaystyle \mu ,\,p}$

${\displaystyle 12a_{4}+a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}=0}$

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}-9a_{3}^{2}-9a_{1}^{2}a_{4}+32a_{2}a_{4}=0}$

Но согласно тождествам Ньютона , следы степеней тензора Эйнштейна связаны с этими коэффициентами следующим образом:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=t_{1}=a_{1}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=t_{3}=a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}+3a_{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=t_{4}=a_{1}^{4}-4a_{1}^{2}a_{2}+4a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}-a_{4}}$

поэтому мы можем полностью переписать две приведенные выше величины в терминах следов степеней. Это, очевидно, скалярные инварианты, и они должны тождественно исчезать в случае идеального жидкого раствора:

${\displaystyle t_{2}^{3}+4t_{3}^{2}+t_{1}^{2}t_{4}-4t_{2}t_{4}-2t_{1}t_{2}t_{3}=0}$

${\displaystyle t_{1}^{4}+7t_{2}^{2}-8t_{1}^{2}t_{2}+12t_{1}t_{3}-12t_{4}=0}$

Обратите внимание, что это ничего не предполагает относительно какого-либо возможного уравнения состояния, связывающего давление и плотность жидкости; мы предполагаем только, что у нас есть одно простое и одно тройное собственное значение.

В случае пылевого раствора (исчезающее давление) эти условия значительно упрощаются:

${\displaystyle a_{2}\,=a_{3}=a_{4}=0}$

или

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

В нотации тензорной гимнастики это можно записать с использованием скаляра Риччи следующим образом:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=-R^{4}}$

В случае радиационной жидкости критерии становятся

${\displaystyle a_{1}=0,\;27\,a_{3}^{2}+8a_{2}^{3}=0,\;12\,a_{4}+a_{2}^{2}=0}$

или

${\displaystyle t_{1}=0,7\,t_{3}^{2}-t_{2}\,t_{4}=0,\;12\,t_{4}-7\,t_{2}^{2}=0}$

При использовании этих критериев необходимо следить за тем, чтобы наибольшее собственное значение принадлежало времениподобному собственному вектору, поскольку существуют лоренцевы многообразия , удовлетворяющие этому критерию собственного значения, в которых наибольшее собственное значение принадлежит пространственноподобному собственному вектору, а они не могут представлять собой радиационные жидкости.

Коэффициенты характеристики часто будут казаться очень сложными, а следы не намного лучше; при поиске решений почти всегда лучше вычислять компоненты тензора Эйнштейна относительно соответствующим образом адаптированной системы отсчета, а затем напрямую убивать соответствующие комбинации компонентов. Однако, когда не очевидна никакая адаптированная система отсчета, эти критерии собственных значений иногда могут быть полезны, особенно при использовании в сочетании с другими соображениями.

Эти критерии часто могут быть полезны для выборочной проверки предполагаемых решений для идеальной жидкости, в этом случае коэффициенты характеристики часто намного проще, чем они были бы для более простой несовершенной жидкости.

Примеры

Примечательные индивидуальные пылевые решения перечислены в статье о пылевых решениях . Примечательные идеальные жидкие решения, которые характеризуются положительным давлением, включают различные модели радиационной жидкости из космологии, включая

• Радиационные жидкости FRW , часто называемые моделями FRW с доминированием излучения .

Помимо семейства статических сферически-симметричных идеальных жидкостей, заслуживают внимания решения вращающихся жидкостей:

• Жидкость Вальквиста , имеющая схожие симметрии с вакуумом Керра , породила первоначальные надежды (ныне не оправдавшиеся) на то, что она может стать внутренним решением для простой модели вращающейся звезды.

Смотрите также

• Физический портал

• Пылевой раствор , для важного особого случая пылевых растворов,
• Точные решения в общей теории относительности , для точных решений в общем случае,
• группа Лоренца
• Идеальная жидкость , для идеальных жидкостей в физике в целом,
• Релятивистские диски , для интерпретации релятивистских дисков в терминах идеальных жидкостей.

Ссылки

1. Эккарт, Карл (1940). "Термодинамика необратимых процессов III. Релятивистская теория простой жидкости". Phys. Rev. 58 ( 10): 919. Bibcode :1940PhRv...58..919E. doi :10.1103/PhysRev.58.919.

• Стефани, Х.; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс, К.; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7. Приводится множество примеров точных идеальных решений для жидкости и пыли.
• Стефани, Ганс (1996). Общая теория относительности (второе изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.. См. Главу 8 для обсуждения релятивистских жидкостей и термодинамики.
• Delgaty, MSR; Lake, Kayll (1998). "Физическая приемлемость изолированных, статических, сферически симметричных, идеальных жидких решений уравнений Эйнштейна". Comput. Phys. Commun . 115 (2–3): 395–415. arXiv : gr-qc/9809013 . Bibcode :1998CoPhC.115..395D. doi :10.1016/S0010-4655(98)00130-1. S2CID  17957408.. В этой обзорной статье рассматриваются статические сферически-симметричные решения для жидкости, известные примерно до 1995 года.
• Лейк, Кайл (2003). "Все статические сферически симметричные идеальные жидкие решения уравнений Эйнштейна". Phys. Rev. D. 67 ( 10): 104015. arXiv : gr-qc/0209104 . Bibcode : 2003PhRvD..67j4015L. doi : 10.1103/PhysRevD.67.104015. S2CID  119447644.. В этой статье описывается одна из нескольких недавно найденных схем для получения всех статических сферически-симметричных решений идеальной жидкости в общей теории относительности.