Пылеулавливающий раствор

Класс точных решений уравнений поля Эйнштейна

В общей теории относительности пылевой раствор — это жидкий раствор , тип точного решения уравнения поля Эйнштейна , в котором гравитационное поле создается исключительно массой, импульсом и плотностью напряжений идеальной жидкости , имеющей положительную плотность массы , но исчезающее давление . Пылевые растворы являются важным частным случаем жидких растворов в общей теории относительности.

Модель пыли

Идеальная и не имеющая давления жидкость может быть интерпретирована как модель конфигурации частиц пыли , которые локально движутся согласованно и взаимодействуют друг с другом только гравитационно, от чего и произошло название. По этой причине модели пыли часто используются в космологии как модели игрушечной вселенной, в которой частицы пыли рассматриваются как сильно идеализированные модели галактик, скоплений или сверхскоплений. В астрофизике модели пыли использовались как модели гравитационного коллапса . Пылевые решения также могут быть использованы для моделирования конечных вращающихся дисков из пылевых частиц; некоторые примеры перечислены ниже. Если их каким-то образом наложить на звездную модель, содержащую шар жидкости, окруженный вакуумом, пылевое решение может быть использовано для моделирования аккреционного диска вокруг массивного объекта; однако такие точные решения, которые моделируют вращающиеся аккреционные диски, пока не известны из-за чрезвычайной математической сложности их построения.

Математическое определение

Тензор энергии-напряжения релятивистской жидкости без давления можно записать в простой форме

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\rho _{0}U^{\mu }U^{\nu }.}$

Здесь мировые линии пылевых частиц являются интегральными кривыми четырехскорости , а плотность вещества в системе покоя пыли задается скалярной функцией . ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

Собственные значения

Поскольку тензор энергии-напряжения является матрицей ранга один, короткий расчет показывает, что характеристический полином

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{4}+a_{3}\,\lambda ^{3}+a_{2}\,\lambda ^{2}+a_{1}\,\lambda +a_{0}}$

тензора Эйнштейна в пылевом растворе будет иметь вид

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\lambda ^{3}}$

Перемножая это произведение, мы находим, что коэффициенты должны удовлетворять следующим трем алгебраически независимым (и инвариантным) условиям:

${\displaystyle a_{0}\,=a_{1}=a_{2}=0}$

Используя тождества Ньютона , в терминах сумм степеней корней (собственных значений), которые также являются следами степеней самого тензора Эйнштейна, эти условия становятся:

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

В нотации индекса тензора это можно записать с использованием скаляра Риччи как:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}}$

Этот критерий собственных значений иногда полезен при поиске пылевых решений, поскольку он показывает, что очень немногие лоренцевы многообразия могут допускать интерпретацию в общей теории относительности как пылевое решение.

Примеры

Решение проблемы нулевой пыли

Нулевое пылевое решение — это пылевое решение, в котором тензор Эйнштейна равен нулю. ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]}

Пыль Бьянки

Пылевая модель Бьянки демонстрирует различные ^{[ какие? ]} типы алгебр Ли векторных полей Киллинга .

Особые случаи включают FLRW и пыль Каснера. ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]}

Пыль Каснера

Пыль Каснера — это простейшая ^{[ по мнению кого? ]} космологическая модель, демонстрирующая анизотропное расширение . ^{[ необходимы дополнительные пояснения ]}

Пыль FLRW

Пыль Фридмана–Лемэтра–Робертсона–Уокера (FLRW) однородна и изотропна . Эти решения часто называют моделями FLRW с доминированием материи .

Вращающаяся пыль

Пыль Ван Штоккума представляет собой цилиндрически симметричную вращающуюся пыль.

Пыль Нейгебауэра–Мейнела моделирует вращающийся диск пыли, согласованный с аксиально-симметричной вакуумной внешней средой. Это решение было названо ^{[ по мнению кого? ]} , самым замечательным точным решением, обнаруженным со времен вакуума Керра .

Другие решения

Среди заслуживающих внимания индивидуальных решений по борьбе с пылью можно выделить:

• Пыль Леметра–Толмена–Бонди (LTB) (одна из простейших неоднородных космологических моделей , часто используемых в качестве моделей гравитационного коллапса)
• Пыль Кантовского-Сакса (космологические модели, демонстрирующие возмущения от моделей FLRW)
• метрика Гёделя

Смотрите также

• группа Лоренца

Ссылки

• Шутц, Бернард Ф. (2009), «4. Идеальные жидкости в специальной теории относительности», Первый курс общей теории относительности (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2
• Стефани, Х.; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс, К.; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46136-7. Приводится множество примеров точных решений для пыли.