Многовекторность

Элемент внешней алгебры

В полилинейной алгебре , мультвектор , иногда называемый числом Клиффорда или мультором , ^[1] является элементом внешней алгебры Λ( V ) векторного пространства V . Эта алгебра градуирована , ассоциативна и знакоперемена , и состоит из линейных комбинаций простых k -векторов [ ^2] (также известных как разложимые k -векторы ^[3] или k -лезвия ) вида

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

где находятся в V . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$

Вектор k — это такая линейная комбинация, которая является однородной степени k (все члены являются k -лопастями для одного и того же k ). В зависимости от авторов, «мультивектор» может быть либо k -вектором, либо любым элементом внешней алгебры (любой линейной комбинацией k -лопастей с потенциально различными значениями k ). ^[4]

В дифференциальной геометрии k - вектор — это вектор во внешней алгебре касательного векторного пространства ; то есть это антисимметричный тензор, полученный путем взятия линейных комбинаций внешнего произведения k касательных векторов для некоторого целого числа k ≥ 0. Дифференциальная k - форма — это k - вектор во внешней алгебре двойственного к касательному пространству пространства, которое также является двойственным к внешней алгебре касательного пространства.

Для k = 0, 1, 2 и 3 k - векторы часто называют соответственно скалярами , векторами , бивекторами и тривекторами ; они соответственно дуальны 0-формам, 1-формам, 2-формам и 3-формам . ^{[5] [6]}

Внешний вид продукта

Внешнее произведение (также называемое произведением клина), используемое для построения мультивекторов, является полилинейным (линейным по каждому входу), ассоциативным и знакопеременным. Это означает, что для векторов u , v и w в векторном пространстве V и для скаляров α , β внешнее произведение имеет следующие свойства:

• Линейный на входе: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}$
• Ассоциативный: ${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );}$
• Попеременно: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}$

Внешнее произведение k векторов или сумма таких произведений (для одного k ) называется мультивектором степени k или k -вектором. Максимальная степень мультивектора — это размерность векторного пространства V .

Линейность в любом входе вместе с чередующимся свойством подразумевает линейность в другом входе. Мультилинейность внешнего произведения позволяет выразить мультивектор как линейную комбинацию внешних произведений базисных векторов V . Внешнее произведение k базисных векторов V является стандартным способом построения каждого базисного элемента для пространства k -векторов, которое имеет размерность (^н
_к) во внешней алгебре n -мерного векторного пространства. ^[2]

Площадь и объем

Вектор k , полученный из внешнего произведения k отдельных векторов в n -мерном пространстве, имеет компоненты, которые определяют спроецированные ( k − 1) -объемы k -параллелоэдра , натянутого на векторы. Квадратный корень из суммы квадратов этих компонент определяет объем k -параллелоэдра . ^{[2] [7]}

Следующие примеры показывают, что бивектор в двух измерениях измеряет площадь параллелограмма, а величина бивектора в трех измерениях также измеряет площадь параллелограмма. Аналогично, тривектор в трех измерениях измеряет объем параллелепипеда.

Легко проверить, что величина трехмерного вектора в четырех измерениях измеряет объем параллелепипеда, охватываемого этими векторами.

Мультивекторы в R2

Свойства мультивекторов можно увидеть, рассмотрев двумерное векторное пространство V = R ^2. Пусть базисные векторы будут e ₁ и e ₂ , тогда u и v будут заданы как

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}$

и мультивектор u ∧ v , также называемый бивектором, вычисляется как

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Вертикальные черты обозначают определитель матрицы, который является площадью параллелограмма, натянутого на векторы u и v . Величина u ∧ v является площадью этого параллелограмма. Обратите внимание, что поскольку V имеет размерность два, базисный бивектор e ₁ ∧ e ₂ является единственным мультвектором в Λ V .

Связь между величиной мультивектора и площадью или объемом, охватываемым векторами, является важной особенностью во всех измерениях. Более того, линейная функциональная версия мультивектора, которая вычисляет этот объем, известна как дифференциальная форма.

Мультивекторы в R3

Больше особенностей мультивекторов можно увидеть, рассмотрев трехмерное векторное пространство V = R ³ . В этом случае пусть базисные векторы будут e ₁ , e ₂ и e ₃ , так что u , v и w задаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {w} &=w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}$

и бивектор u ∧ v вычисляется как

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right).}$

Компоненты этого бивектора такие же, как компоненты векторного произведения. Величина этого бивектора равна квадратному корню из суммы квадратов его компонентов.

Это показывает, что величина бивектора u ∧ v представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на векторы u и v , поскольку он лежит в трехмерном пространстве V. Компоненты бивектора представляют собой площади проекций параллелограмма на каждую из трех координатных плоскостей.

Обратите внимание, что поскольку V имеет размерность три, в Λ V есть один базисный три-вектор . Вычислите три-вектор

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right).}$

Это показывает, что величина три-вектора u ∧ v ∧ w представляет собой объем параллелепипеда, натянутого на три векторы u , v и w .

В многомерных пространствах составляющие три-векторы являются проекциями объема параллелепипеда на координатные три-пространства, а величина три-вектора является объемом параллелепипеда, находящегося в многомерном пространстве.

Координаты Грассмана

В этом разделе мы рассмотрим мульtiveкторы на проективном пространстве P ⁿ , которые предоставляют удобный набор координат для линий, плоскостей и гиперплоскостей, обладающих свойствами, аналогичными однородным координатам точек, называемым грассмановыми координатами . ^[8]

Точки в действительном проективном пространстве P ⁿ определяются как прямые, проходящие через начало координат векторного пространства R ^{n +1} . Например, проективная плоскость P ² является множеством прямых, проходящих через начало координат R ³ . Таким образом, мультивекторы, определенные на R ^{n +1 ,} можно рассматривать как мультивекторы на P ⁿ .

Удобный способ рассмотреть мультивектор на P ⁿ — это рассмотреть его в аффинной компоненте P n , которая является пересечением прямых, проходящих через начало координат R ^{n +1} , с выбранной гиперплоскостью, например H: x _{n +1} = 1. Прямые ^, проходящие через начало координат R ^{3 ,} пересекают плоскость E: z = 1, определяя аффинную версию проективной плоскости, в которой отсутствуют только точки, для которых z = 0 , называемые точками на бесконечности.

Многовекторы наП2

Точки в аффинной компоненте E: z = 1 проективной плоскости имеют координаты x = ( x , y , 1) . Линейная комбинация двух точек p = ( p ₁ , p ₂ , 1) и q = ( q ₁ , q ₂ , 1) определяет плоскость в R ^{3 ,} которая пересекает E по прямой, соединяющей p и q . Мультивектор p ∧ q определяет параллелограмм в R ^{3 ,} заданный формулой

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Обратите внимание, что замена α p + β q на p умножает этот мультивектор на константу. Поэтому компоненты p ∧ q являются однородными координатами для плоскости, проходящей через начало координат R ³ .

Множество точек x = ( x , y , 1) на прямой, проходящей через p и q, является пересечением плоскости, определяемой p ∧ q, с плоскостью E: z = 1. Эти точки удовлетворяют x ∧ p ∧ q = 0 , то есть,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,}$

что упрощается до уравнения линии

${\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0.}$

Этому уравнению удовлетворяют точки x = α p + β q для действительных значений α и β.

Три компонента p ∧ q , определяющие линию λ, называются грассмановыми координатами линии. Поскольку три однородные координаты определяют как точку, так и линию, говорят, что геометрия точек двойственна геометрии линий в проективной плоскости. Это называется принципом двойственности .

Многовекторы наП3

Трехмерное проективное пространство P ³ состоит из всех прямых, проходящих через начало координат R ⁴ . Пусть трехмерная гиперплоскость H: w = 1 будет аффинной компонентой проективного пространства, определяемой точками x = ( x , y , z , 1) . Мультивектор p ∧ q ∧ r определяет параллелепипед в R ^{4 ,} заданный формулой

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}.}$

Обратите внимание, что замена α p + β q + γ r на p умножает этот мультивектор на константу. Следовательно, компоненты p ∧ q ∧ r являются однородными координатами для 3-пространства через начало координат R ⁴ .

Плоскость в аффинной компоненте H: w = 1 — это множество точек x = ( x , y , z , 1) в пересечении H с 3-пространством, определяемым p ∧ q ∧ r . Эти точки удовлетворяют x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , то есть,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,}$

что упрощается до уравнения плоскости

${\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Этому уравнению удовлетворяют точки x = α p + β q + γ r для действительных значений α , β и γ .

Четыре компонента p ∧ q ∧ r , определяющие плоскость λ, называются грассмановыми координатами плоскости. Поскольку четыре однородные координаты определяют как точку, так и плоскость в проективном пространстве, геометрия точек двойственна геометрии плоскостей.

Прямая как соединение двух точек: В проективном пространстве прямая λ, проходящая через две точки p и q, может рассматриваться как пересечение аффинного пространства H: w = 1 с плоскостью x = α p + β q в R ⁴ . Мультивектор p ∧ q обеспечивает однородные координаты для прямой

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge (q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4}),\\&={\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

Они известны как координаты Плюккера прямой, хотя они также являются примером координат Грассмана.

Прямая как пересечение двух плоскостей: Прямая μ в проективном пространстве может быть также определена как множество точек x , которые образуют пересечение двух плоскостей π и ρ, определяемых поливекторами третьего уровня, поэтому точки x являются решениями линейных уравнений

${\displaystyle \mu :\mathbf {x} \wedge \pi =0,\mathbf {x} \wedge \rho =0.}$

Чтобы получить координаты Плюккера линии μ , отобразим мультивекторы π и ρ в их двойственные точечные координаты, используя оператор звезды Ходжа , ^[2]

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\star }(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{2}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),\mathbf {e} _{3}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{4}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}),}$

затем

${\displaystyle {\star }\pi =\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\star }\rho =\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}.}$

Итак, координаты Плюккера линии μ определяются выражением

${\displaystyle \mu :({\star }\pi )\wedge ({\star }\rho )={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{3}&\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{1}&\rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{2}&\rho _{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.}$

Поскольку шесть однородных координат линии можно получить из соединения двух точек или пересечения двух плоскостей, говорят, что линия является самодвойственной в проективном пространстве.

продукт Клиффорда

У. К. Клиффорд объединил мульtiveкторы со скалярным произведением, определенным в векторном пространстве, чтобы получить общую конструкцию для гиперкомплексных чисел, которая включает обычные комплексные числа и кватернионы Гамильтона . ^{[9] [10]}

Произведение Клиффорда между двумя векторами u и v является билинейным и ассоциативным, как и внешнее произведение, и обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что поливектор uv связан со внутренним произведением u ⋅ v соотношением Клиффорда:

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathbf {u} =2\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

Соотношение Клиффорда сохраняет антикоммутативное свойство для перпендикулярных векторов. Это можно увидеть из взаимно ортогональных единичных векторов e _i , i = 1, ..., n в R ⁿ : Соотношение Клиффорда дает

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{i,j},}$

что показывает, что базисные векторы взаимно антикоммутируют,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i},\quad i\neq j=1,\ldots ,n.}$

В отличие от внешнего произведения, произведение Клиффорда вектора на себя не равно нулю. Чтобы увидеть это, вычислим произведение

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=2,}$

что дает

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=1,\quad i=1,\ldots ,n.}$

Набор мультивекторов, построенных с использованием произведения Клиффорда, дает ассоциативную алгебру, известную как алгебра Клиффорда . Внутренние произведения с различными свойствами могут быть использованы для построения различных алгебр Клиффорда. ^{[11] [12]}

Геометрическая алгебра

Термин k-лезвие был использован в книге Клиффорда «От алгебры к геометрическому исчислению» (1984) ^[13]

Мультивекторы играют центральную роль в математической формулировке физики, известной как геометрическая алгебра. По словам Дэвида Хестена ,

[Нескалярные] k -векторы иногда называют k-лезвиями или просто лезвиями , чтобы подчеркнуть тот факт, что в отличие от 0-векторов (скаляров) они обладают «направленными свойствами». ^[14]

В 2003 году термин «лезвие» для мульвивектора, который может быть записан как внешнее произведение [скаляра и] набора векторов, был использован К. Дораном и А. Ласенби. Здесь, в утверждении «Любой мульвивектор может быть выражен как сумма лезвий», скаляры неявно определяются как 0-лезвия. ^[15]

В геометрической алгебре мультивектор определяется как сумма k -образных лезвий разного порядка , например, суммирование скаляра , вектора и 2-вектора. ^[16] Сумма только k -образных компонентов называется k- вектором, ^[17] или однородным мультивектором. ^[18]

Элемент наивысшего класса в пространстве называется псевдоскаляром .

Если заданный элемент однороден степени k , то он является k -вектором, но не обязательно k -лезвием. Такой элемент является k -лезвием, когда его можно выразить как внешнее произведение k -векторов. Геометрическая алгебра, порожденная 4-мерным векторным пространством, иллюстрирует этот момент примером: сумма любых двух лезвий, одно из которых взято из плоскости XY, а другое — из плоскости ZW, образует 2-вектор, который не является 2-лезвием. В геометрической алгебре, порожденной векторным пространством размерности 2 или 3, все суммы 2-лезвий могут быть записаны как одно 2-лезвие.

Примеры

Геометрическая интерпретация элементов степени n в реальной внешней алгебре для n = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (ориентированный элемент плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешнее произведение n векторов можно визуализировать как любую n -мерную форму (например, n - параллелоэдр , n - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъем ) и ориентацией, определяемой тем, что находится на его ( n − 1) -мерной границе и с какой стороны находится внутренняя часть. ^{[19] [20]}

• 0-векторы являются скалярами;
• 1-векторы — это векторы;
• 2-векторы являются бивекторами ;
• ( n − 1)-векторы являются псевдовекторами ;
• n -векторы являются псевдоскалярами .

При наличии объемной формы (например, заданного скалярного произведения и ориентации) псевдовекторы и псевдоскаляры можно отождествить с векторами и скалярами, что является обычной процедурой в векторном исчислении , но без объемной формы это невозможно сделать, не делая произвольного выбора.

В алгебре физического пространства (геометрической алгебре евклидова 3-мерного пространства, используемой в качестве модели (3+1)-пространства-времени) сумма скаляра и вектора называется паравектором и представляет собой точку в пространстве-времени (вектор — пространство, скаляр — время).

Бивекторы

Бивектор — элемент антисимметричного тензорного произведения касательного пространства на себя.

В геометрической алгебре бивектор также является элементом степени 2 (2-вектором), полученным в результате клинового произведения двух векторов, и поэтому он геометрически является ориентированной областью , таким же образом, как вектор является ориентированным отрезком прямой. Если a и b являются двумя векторами, бивектор a ∧ b имеет

• норма , которая является его площадью, заданной формулой

  ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\,\sin(\phi _{a,b})}$

• направление: плоскость, на которой лежит эта область, т. е. плоскость, определяемая a и b , при условии, что они линейно независимы;
• ориентация (из двух), определяемая порядком, в котором умножаются исходные векторы.

Бивекторы связаны с псевдовекторами и используются для представления вращений в геометрической алгебре.

Поскольку бивекторы являются элементами векторного пространства Λ ² V (где V — конечномерное векторное пространство с dim V = n ), имеет смысл определить скалярное произведение на этом векторном пространстве следующим образом. Сначала запишем любой элемент F ∈ Λ ² V в терминах базиса ( e _i ∧ e _j ) _{1 ≤ i < j ≤ n} пространства Λ ² V как

${\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),}$

где используется правило суммирования Эйнштейна .

Теперь определим отображение G : Λ ² V × Λ ² V → R, настаивая на том, что

${\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},}$

где — набор чисел. ${\displaystyle G_{abcd}}$

Приложения

Бивекторы играют важную роль в физике, например, в классификации электромагнитных полей .

Смотрите также

• Лезвие (геометрия)
• Паравектор

Ссылки

1. Джон Снигг (2012), Новый подход к дифференциальной геометрии с использованием геометрической алгебры Клиффорда , Биркхойзер, стр. 5 §2.12
2. Харли Фландерс (1989)[1963] Дифференциальные формы и их применение в физических науках , § 2.1 Пространство p -векторов, страницы 5–7, Dover Books
3. Уэнделл Флеминг (1977) [1965] Функции нескольких переменных , раздел 7.5 Мультивекторы, стр. 295, ISBN  978-1-4684-9461-7
4. Эли Картан, Теория спиноров , стр. 16, рассматривает только однородные векторы, особенно простые, называя их «мультивекторами» (в совокупности) или p -векторами (в частности).
5. Уильям М. Пеццалья-младший (1992). "Вывод алгебры Клиффорда характеристических гиперповерхностей уравнений Максвелла". В Julian Ławrynowicz (ред.). Деформации математических структур II . Springer. стр. 131 и далее . ISBN 0-7923-2576-1. Следовательно, в 3D мы связываем альтернативные термины псевдовектор для бивектора и псевдоскаляр для тривектора
6. Бейлис (1994). Теоретические методы в физических науках: введение в решение проблем с использованием Maple V. Birkhäuser. стр. 234, см. сноску. ISBN 0-8176-3715-X.
7. Г. Е. Шилов, Линейная алгебра , (перевод Р. А. Сильвермана), Dover Publications, 1977.
8. WVD Hodge и D. Pedoe, Методы алгебраической геометрии, т. 1, Cambridge Univ. Press, 1947
9. WK Clifford, "Предварительный набросок бикватернионов", Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395
10. WK Clifford, Mathematical Papers , (ред. R. Tucker), Лондон: Macmillan, 1882.
11. Дж. М. Маккарти, Введение в теоретическую кинематику, стр. 62–5, MIT Press 1990.
12. О. Боттема и Б. Рот, Теоретическая кинематика, North Holland Publ. Co., 1979
13. Дэвид Хестенес и Гаррет Собчик (1984) Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление , стр. 4, Д. Рейдель ISBN 90-277-1673-0 
14. Дэвид Хестенес (1999)[1986] Новые основы классической механики, стр. 34, Д. Рейдель ISBN 90-277-2090-8 
15. C. Doran и A. Lasenby (2003) Геометрическая алгебра для физиков , стр. 87, Cambridge University Press ISBN 9780511807497 
16. Маркос А. Родригес (2000). "§1.2 Геометрическая алгебра: схема". Инварианты для распознавания образов и классификации . World Scientific. стр. 3 и далее . ISBN 981-02-4278-6.
17. R Wareham, J Cameron & J Lasenby (2005). "Применение конформной геометрической алгебры в компьютерном зрении и графике". В Hongbo Li; Peter J. Olver ; Gerald Sommer (ред.). Компьютерная алгебра и геометрическая алгебра с приложениями . Springer. стр. 330. ISBN 3-540-26296-2.
18. Эдуардо Байро-Коррочано (2004). «Геометрическая алгебра Клиффорда: многообещающая основа компьютерного зрения, робототехники и обучения». В Альберто Санфелиу; Хосе Франсиско Мартинес Тринидад; Хесус Ариэль Карраско Очоа (ред.). Прогресс в распознавании образов, анализе изображений и приложениях . Спрингер. п. 25. ISBN 3-540-23527-2.
19. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Старинные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
20. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 83. ISBN 0-7167-0344-0.