Координаты Плюккера

В геометрии координаты Плюккера , введенные Юлиусом Плюккером в 19 веке, являются способом назначения шести однородных координат каждой линии в проективном 3-пространстве , ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ . Поскольку они удовлетворяют квадратичному ограничению, они устанавливают взаимно -однозначное соответствие между 4-мерным пространством линий в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ и точками на квадрике в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$ (проективное 5-пространство). Предшественник и частный случай координат Грассмана (которые описывают $k$ -мерные линейные подпространства, или плоскости , в $n-$ мерном евклидовом пространстве ), координаты Плюккера естественным образом возникают в геометрической алгебре . Они оказались полезными для компьютерной графики , а также могут быть расширены до координат для винтов и гаечных ключей в теории кинематики, используемых для управления роботом .

Геометрическая интуиция

Прямая $L$ в трехмерном евклидовом пространстве определяется двумя различными точками, которые она содержит, или двумя различными плоскостями, которые ее содержат ( пересечение плоскость-плоскость ). Рассмотрим первый случай с точками и Вектор смещения от $x$ до $y$ не равен нулю, поскольку точки различны, и представляет направление прямой. То есть, каждое смещение между точками на прямой $L$ является скалярным кратным d $=$ $y$ $-$ $x$ . Если бы физическая частица единичной массы переместилась из $x$ в $y$ , она имела бы момент относительно начала системы координат. Геометрическим эквивалентом этого момента является вектор, направление которого перпендикулярно плоскости, содержащей линию $L$ $и$ начало координат, и длина которого равна удвоенной площади треугольника, образованного смещением и началом координат. Рассматривая точки как смещения от начала координат, момент равен $m$ $=$ $x$ $\times$ $y$ , где «×» обозначает векторное векторное произведение . Для фиксированной линии $L$ площадь треугольника пропорциональна длине отрезка между $x$ и $y$ , рассматриваемого как основание треугольника; она не изменяется при скольжении основания вдоль линии параллельно себе. По определению вектор момента перпендикулярен каждому смещению вдоль линии, поэтому $d$ $\cdot$ $m$ $= 0 , где "\cdot" обозначает$ скалярное произведение векторов . $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ $y=(y_{1},y_{2},y_{3}).$

Хотя ни направление $d,$ ни момент $m$ по отдельности недостаточны для определения линии $L$ , вместе эта пара делает это однозначно, с точностью до общего (ненулевого) скалярного множителя, который зависит от расстояния между $x$ и $y$ . То есть координаты

(\mathbf {d} :\mathbf {m} )=(d_{1}:d_{2}:d_{3}\ :\ m_{1}:m_{2}:m_{3})

можно считать однородными координатами для $L$ , в том смысле, что все пары $(λ d : λ m)$ , для $λ \neq 0$ , могут быть получены точками на $L$ и только $L$ , и любая такая пара определяет уникальную линию, пока $d$ не равно нулю и $d \cdot m = 0$ . Более того, этот подход распространяется на точки , линии и плоскость «на бесконечности» , в смысле проективной геометрии . Кроме того, точка лежит на линии $L$ тогда и только тогда . $x$ $x\times d=m$

Пример. Пусть

x = (2, 3, 7)

y = (2, 1, 0)

. Тогда

(d : m) = (0 : -2 : -7 : -7 : 14 : -4)

В качестве альтернативы, пусть уравнения для точек $x$ двух различных плоскостей, содержащих $L,$ будут

{\begin{aligned}0&=a+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ,\\0&=b+\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} .\end{aligned}}

Тогда их соответствующие плоскости перпендикулярны векторам $a$ и $b$ , и направление $L$ должно быть перпендикулярно им обоим. Следовательно, мы можем положить $d = a \times b$ , что не равно нулю, поскольку $a, b$ не равны нулю и не параллельны (плоскости различны и пересекаются). Если точка $x$ удовлетворяет обоим уравнениям плоскости, то она также удовлетворяет линейной комбинации

{\begin{aligned}0&=a(b+\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} )-b(a+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} )\\&=(a\mathbf {b} -b\mathbf {a} )\cdot \mathbf {x} \end{aligned}}

То есть,

\mathbf {m} =a\mathbf {b} -b\mathbf {a}

— вектор, перпендикулярный смещениям точек на $L$ из начала координат; по сути, это момент, согласующийся с $d,$ ранее определенным из $a$ и $b$ .

Алгебраическое определение

Первичные координаты

В трехмерном проективном пространстве пусть L $—$ прямая, проходящая через различные точки $x$ $и$ y $с$ однородными координатами $($ $x$ $0$ $:$ $x$ $1$ $:$ $x$ $2$ $:$ $x$ $3$ $)$ и $($ $y$ $0$ $:$ $y$ $1$ : $\mathbb {P} ^{3}$ $y$ $2$ $:$ $y$ $3$ $)$ .

Координаты Плюккера $p ij$ определяются следующим образом:

p_{ij}={\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}.

(кососимметричная матрица, элементы которой $p ij ,$ также называется матрицей Плюккера )
Это подразумевает $p ii = 0$ и $p ij = - p ji$ , что сокращает возможности до шести (4 выбрать 2) независимых величин. Шестерка

(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})

однозначно определяется $L$ с точностью до общего ненулевого масштабного множителя. Более того, не все шесть компонентов могут быть равны нулю. Таким образом, координаты Плюккера $L$ можно рассматривать как однородные координаты точки в 5-мерном проективном пространстве, как предполагает запись с двоеточием.

Чтобы увидеть эти факты, пусть $M$ будет матрицей 4×2, в которой координаты точек являются столбцами.

M={\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}

Координата Плюккера $p ij$ является определителем строк $i$ и $j$ матрицы $M.$ Поскольку $x$ и $y$ являются различными точками, столбцы матрицы $M$ линейно независимы ; M $имеет$ ранг 2. Пусть $M'$ — вторая матрица со столбцами $x', y' —$ другой парой различных точек на $L.$ Тогда столбцы матрицы $M'$ являются линейными комбинациями столбцов матрицы $M ; поэтому для некоторой$ невырожденной матрицы $Λ$ размером 2×2 ,

M'=M\Lambda .

В частности, строки $i$ и $j$ матриц $M'$ и $M$ связаны соотношением

{\begin{bmatrix}x'_{i}&y'_{i}\\x'_{j}&y'_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}\\\lambda _{10}&\lambda _{11}\end{bmatrix}}.

Следовательно, определитель левой матрицы 2×2 равен произведению определителей правой матрицы 2×2, последний из которых является фиксированным скаляром, $det Λ$ . Более того, все шесть поддетерминантов 2×2 в $M$ не могут быть равны нулю, поскольку ранг $M$ равен 2.

Карта Плюккера

Обозначим множество всех прямых (линейных образов ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{1}$ ) в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ через $G 1,3$ . Таким образом, мы имеем отображение:

{\begin{aligned}\alpha \colon \mathrm {G} _{1,3}&\rightarrow \mathbb {P} ^{5}\\L&\mapsto L^{\alpha },\end{aligned}}

где

L^{\alpha }=(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12}).

Двойные координаты

Альтернативно, линия может быть описана как пересечение двух плоскостей. Пусть $L$ будет линией, содержащейся в различных плоскостях $a$ и $b$ с однородными коэффициентами $(a 0 : a 1 : a 2 : a 3)$ и $(b 0 : b 1 : b 2 : b 3)$ , соответственно. (Первое уравнение плоскости, например.) Двойственная координата Плюккера $p$ $ij$ равна ${\textstyle \sum _{k}a^{k}x_{k}=0,}$

p^{ij}={\begin{vmatrix}a^{i}&a^{j}\\b^{i}&b^{j}\end{vmatrix}}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}.

Двойные координаты удобны в некоторых вычислениях, и они эквивалентны первичным координатам:

(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})=(p^{23}:p^{31}:p^{12}:p^{01}:p^{02}:p^{03})

Здесь равенство между двумя векторами в однородных координатах означает, что числа на правой стороне равны числам на левой стороне с точностью до некоторого общего масштабного коэффициента $λ$ . В частности, пусть $(i, j, k, ℓ)$ будет четной перестановкой $(0, 1, 2, 3)$ ; тогда

p_{ij}=\lambda p^{k\ell }.

Геометрия

Чтобы вернуться к геометрической интуиции, возьмем $x 0 = 0$ как плоскость на бесконечности; таким образом, координаты точек, не находящихся на бесконечности, можно нормализовать так, чтобы $x 0 = 1.$ Тогда $M$ становится

M={\begin{bmatrix}1&1\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}},

и установив и , мы имеем и . $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$ $d=(p_{01},p_{02},p_{03})$ $m=(p_{23},p_{31},p_{12})$

Двойственно, у нас есть и $d=(p^{23},p^{31},p^{12})$ $m=(p^{01},p^{02},p^{03}).$

Биекция между прямыми и квадрикой Клейна

Уравнения плоскости

Если точка лежит на $L$ , то столбцы $\mathbf {z} =(z_{0}:z_{1}:z_{2}:z_{3})$

{\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{bmatrix}}

линейно зависимы , так что ранг этой большей матрицы по-прежнему равен 2. Это означает, что все подматрицы 3×3 имеют нулевой определитель, что порождает четыре (4 выбрать 3) уравнения плоскости, такие как

{\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{0}-{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{1}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}z_{2}\\[5pt]&=p_{12}z_{0}-p_{02}z_{1}+p_{01}z_{2}.\\[5pt]&=p^{03}z_{0}+p^{13}z_{1}+p^{23}z_{2}.\end{aligned}}

Получены четыре возможных плоскости.

{\begin{matrix}0&=&{}+p_{12}z_{0}&{}-p_{02}z_{1}&{}+p_{01}z_{2}&\\0&=&{}-p_{31}z_{0}&{}-p_{03}z_{1}&&{}+p_{01}z_{3}\\0&=&{}+p_{23}z_{0}&&{}-p_{03}z_{2}&{}+p_{02}z_{3}\\0&=&&{}+p_{23}z_{1}&{}+p_{31}z_{2}&{}+p_{12}z_{3}\end{matrix}}

Используя двойные координаты и предполагая, что $(a 0 : a 1 : a 2 : a 3)$ являются линейными коэффициентами, каждый из них просто равен $a i = p ij$ , или

0=\sum _{i=0}^{3}p^{ij}z_{i},\qquad j=0,\ldots ,3.

Каждая координата Плюккера появляется в двух из четырех уравнений, каждый раз умножая другую переменную; и поскольку по крайней мере одна из координат не равна нулю, нам гарантированы непустые уравнения для двух различных плоскостей, пересекающихся в $L.$ Таким образом, координаты Плюккера прямой определяют эту прямую однозначно, а отображение α является инъекцией .

Квадратичная зависимость

Изображение $α$ не является полным набором точек в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$ ; координаты Плюккера прямой $L$ удовлетворяют квадратичному соотношению Плюккера

{\begin{aligned}0&=p_{01}p^{01}+p_{02}p^{02}+p_{03}p^{03}\\&=p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.\end{aligned}}

Для доказательства запишем этот однородный многочлен в виде определителей и воспользуемся разложением Лапласа (в обратном порядке).

{\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}){\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-(x_{0}y_{2}-y_{0}x_{2}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+(x_{0}y_{3}-y_{0}x_{3}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=x_{0}\left(y_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+y_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)-y_{0}\left(x_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-x_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+x_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)\\[5pt]&=x_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}

Поскольку оба определителя 3×3 имеют одинаковые столбцы, правая часть тождественно равна нулю.

Другое доказательство можно сделать следующим образом: поскольку вектор

d=\left(p_{01},p_{02},p_{03}\right)

перпендикулярен вектору

m=\left(p_{23},p_{31},p_{12}\right)

(см. выше), скалярное произведение $d$ и $m$ должно быть равно нулю. qed

Точечные уравнения

Пусть $(x 0 : x 1 : x 2 : x 3)$ — координаты точек, четыре возможные точки на прямой имеют координаты $x i = p ij$ , для $j = 0, 1, 2, 3.$ Некоторые из этих возможных точек могут быть недопустимыми, поскольку все координаты равны нулю, но поскольку по крайней мере одна координата Плюккера ненулевая, гарантируется по крайней мере две различные точки.

Биективность

Если — однородные координаты точки в ⁠ ⁠ , без потери общности предположим, что $q$ $01$ не равно нулю. Тогда матрица $(q_{01}:q_{02}:q_{03}:q_{23}:q_{31}:q_{12})$ $\mathbb {P} ^{5}$

M={\begin{bmatrix}q_{01}&0\\0&q_{01}\\-q_{12}&q_{02}\\q_{31}&q_{03}\end{bmatrix}}

имеет ранг 2, и поэтому его столбцы являются различными точками, определяющими линию $L.$ Когда координаты ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$ , $q ij$ , удовлетворяют квадратичному соотношению Плюккера, они являются координатами Плюккера $L.$ Чтобы увидеть это, сначала нормализуем $q 01$ до 1. Тогда мы немедленно получим, что для координат Плюккера, вычисленных из $M$ , $p ij = q ij$ , за исключением

p_{23}=-q_{03}q_{12}-q_{02}q_{31}.

Но если $q ij$ удовлетворяет соотношению Плюккера

q_{23}+q_{02}q_{31}+q_{03}q_{12}=0,

тогда $p 23 = q 23$ , завершая набор тождеств.

Следовательно, $α$ является сюръекцией на алгебраическое многообразие , состоящее из множества нулей квадратичного многочлена

p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.

И поскольку $α$ также является инъекцией, то прямые в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с точками этой квадрики в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$ , называемой квадрикой Плюккера или квадрикой Клейна .

Использует

Координаты Плюккера позволяют находить краткие решения задач линейной геометрии в трехмерном пространстве, особенно тех, которые связаны с падением .

Пересечение линии с линией

Две прямые в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ либо скрещиваются , либо лежат в одной плоскости , и в последнем случае они либо совпадают, либо пересекаются в единственной точке. Если $p ij$ и $p' ij$ — координаты Плюккера двух прямых, то они лежат в одной плоскости в точности тогда, когда

\mathbf {d} \cdot \mathbf {m} '+\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} '=0,

как показано

{\begin{aligned}0&=p_{01}p'_{23}+p_{02}p'_{31}+p_{03}p'_{12}+p_{23}p'_{01}+p_{31}p'_{02}+p_{12}p'_{03}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&x'_{0}&y'_{0}\\x_{1}&y_{1}&x'_{1}&y'_{1}\\x_{2}&y_{2}&x'_{2}&y'_{2}\\x_{3}&y_{3}&x'_{3}&y'_{3}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}

Если линии перекошены, знак результата указывает на направление пересечения: положительный, если правый винт переводит $L$ в $L'$ , в противном случае отрицательный.

Квадратичное соотношение Плюккера по сути утверждает, что прямая лежит в одной плоскости с самой собой.

Соединение линий

В случае, если две прямые лежат в одной плоскости, но не параллельны, их общая плоскость имеет уравнение

0=(\mathbf {m} \cdot \mathbf {d} ')x_{0}+(\mathbf {d} \times \mathbf {d} ')\cdot \mathbf {x} ,

где $x=(x_{1},x_{2},x_{3}).$

Малейшее возмущение разрушит существование общей плоскости, а близость линий к параллельности вызовет численные трудности в нахождении такой плоскости, даже если она существует.

Линия-линия встреча

Двойственно, две копланарные прямые, ни одна из которых не содержит начало координат, имеют общую точку

(x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {m} ':\mathbf {m} \times \mathbf {m} ').

Для обработки строк, не соответствующих этому ограничению, см. ссылки.

Встреча на линии самолета

Дана плоскость с уравнением

0=a^{0}x_{0}+a^{1}x_{1}+a^{2}x_{2}+a^{3}x_{3},

или более кратко,

0=a^{0}x_{0}+\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ;

и если взять линию, не лежащую в ней, с координатами Плюккера $(d : m)$ , то их точка пересечения будет

(x_{0}:\mathbf {x} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} :\mathbf {a} \times \mathbf {m} -a_{0}\mathbf {d} ).

Координаты точки $(x 0 : x 1 : x 2 : x 3)$ также могут быть выражены через координаты Плюккера как

x_{i}=\sum _{j\neq i}a^{j}p_{ij},\qquad i=0\ldots 3.

Соединение точка-линия

Двойственно, если задана точка $(y 0 : y)$ и прямая, не содержащая ее, их общая плоскость имеет уравнение

0=(\mathbf {y} \cdot \mathbf {m} )x_{0}+(\mathbf {y} \times \mathbf {d} -y_{0}\mathbf {m} )\cdot \mathbf {x} .

Координаты плоскости $(a 0 : a 1 : a 2 : a 3)$ также могут быть выражены через двойные координаты Плюккера как

a^{i}=\sum _{j\neq i}y_{j}p^{ij},\qquad i=0\ldots 3.

Линейные семьи

Поскольку квадрика Клейна находится в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$ , она содержит линейные подпространства размерностей один и два (но не выше). Они соответствуют одно- и двухпараметрическим семействам прямых в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ .

Например, предположим, что $L, L'$ — различные прямые в ⁠ ⁠, $\mathbb {P} ^{3}$ определяемые точками $x, y$ и $x', y'$ соответственно. Линейные комбинации их определяющих точек дают линейные комбинации их координат Плюккера, порождая однопараметрическое семейство прямых, содержащих $L$ и $L'$ . Это соответствует одномерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линии на плоскости

Если три различные и непараллельные прямые являются копланарными; их линейные комбинации порождают двухпараметрическое семейство прямых, все прямые в плоскости. Это соответствует двумерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линии, проходящие через точку

Если три различные и некомпланарные прямые пересекаются в точке, их линейные комбинации порождают двухпараметрическое семейство прямых, все прямые, проходящие через точку. Это также соответствует двумерному линейному подпространству, принадлежащему квадрике Клейна.

Линейчатая поверхность

Линейчатая поверхность — это семейство линий, которое не обязательно является линейным. Оно соответствует кривой на квадрике Клейна. Например, гиперболоид из одной полосы — это квадратичная поверхность в ⁠ ⁠ , $\mathbb {P} ^{3}$ управляемая двумя различными семействами линий, одна линия каждого из которых проходит через каждую точку поверхности; каждое семейство соответствует при отображении Плюккера коническому сечению внутри квадрики Клейна в ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{5}$ .

Геометрия линии

В девятнадцатом веке линейная геометрия интенсивно изучалась. В терминах биекции, приведенной выше, это описание внутренней геометрии квадрики Клейна.

Трассировка лучей

Линейная геометрия широко используется в приложениях трассировки лучей , где геометрия и пересечения лучей должны быть рассчитаны в 3D. Реализация описана в Введении в координаты Плюккера, написанном для форума Ray Tracing Туи Джонсом.

Смотрите также

Ссылки

Hodge, WVD ; D. Pedoe (1994) [1947]. Методы алгебраической геометрии, том I (книга II) . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46900-5.
Бенке, Х.; Ф. Бахманн; К. Фладт; Х. Кунле, ред. (1984). Основы математики, том II: Геометрия . перевод SH Gould. MIT Press . ISBN 978-0-262-52094-2.
С немецкого: Grundzüge der Mathematik, Band II: Geometrie . Ванденхук и Рупрехт.
Guilfoyle, B.; W. Klingenberg (2004). «О пространстве ориентированных аффинных прямых в R^3». Archiv der Mathematik . 82 (1). Birkhäuser : 81–84. arXiv : math/0405189 . doi :10.1007/s00013-003-4861-3. ISSN 0003-889X. S2CID 118352042.
Купцов, Л.П. (2001) [1994], "Плюккеровы координаты", Энциклопедия математики , Издательство EMS
Мейсон, Мэтью Т.; Дж. Кеннет Солсбери (1985). Роботизированные руки и механика манипуляции . MIT Press . ISBN 978-0-262-13205-3.
Хартли, Р.~И.; Зиссерман А. (2004). Многомерная геометрия в компьютерном зрении. Cambridge University Press . ISBN 0521540518.
Hohmeyer, M.; S. Teller (1999). «Определение линий по четырем линиям» (PDF) . Journal of Graphics Tools . 4 (3). AK Peters : 11–22. doi :10.1080/10867651.1999.10487506. ISSN 1086-7651.
Шафаревич, ИР ; Ремизов А.О. (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.
Цзя, Янь-Бин (2017). Координаты Плюккера для линий в пространстве (PDF) (Отчет).
Shoemake, Ken (1998). "Plücker Coordinate Tutorial". Ray Tracing News. Архивировано из оригинала 18 октября 2022 г. Получено 4 июля 2018 г.