Поля фреймов в общей теории относительности

Пространство-время, моделируемое четырьмя точечно-ортонормальными векторными полями

Поле фрейма в общей теории относительности (также называемое тетрадой или вирбеином ) представляет собой набор из четырех точечно - ортонормированных векторных полей , одного времениподобного и трех пространственноподобных , определенных на лоренцевом многообразии , которое физически интерпретируется как модель пространства-времени . Поле единичного вектора времениподобного часто обозначается как , а три пространственноподобных поля единичного вектора как . Все тензорные величины, определенные на многообразии, могут быть выражены с использованием поля фрейма и его дуального поля кофрейма. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3}}$

Поля отсчета были введены в общую теорию относительности Альбертом Эйнштейном в 1928 году ^[1] и Германом Вейлем в 1929 году ^[2].

Индексная нотация для тетрад поясняется в тетраде (индексная нотация) .

Физическая интерпретация

Поля фреймов лоренцева многообразия всегда соответствуют семейству идеальных наблюдателей, погруженных в данное пространство-время; интегральные кривые времениподобного единичного векторного поля являются мировыми линиями этих наблюдателей, и в каждом событии вдоль данной мировой линии три пространственноподобных единичных векторных поля определяют пространственную триаду, переносимую наблюдателем. Триаду можно рассматривать как определение пространственных координатных осей локальной лабораторной системы отсчета , которая действительна очень близко к мировой линии наблюдателя.

В общем, мировые линии этих наблюдателей не обязательно должны быть времениподобными геодезическими . Если какая-либо из мировых линий отклоняется от геодезического пути в некоторой области, мы можем думать о наблюдателях как о пробных частицах , которые ускоряются с помощью идеальных ракетных двигателей с тягой, равной величине их вектора ускорения . В качестве альтернативы, если наш наблюдатель прикреплен к кусочку материи в шаре жидкости в гидростатическом равновесии , этот кусочек материи в общем случае будет ускоряться наружу чистым эффектом давления, удерживающего шар жидкости против притяжения его собственной гравитации. Другие возможности включают наблюдателя, прикрепленного к свободной заряженной пробной частице в электровакуумном растворе , которая, конечно, будет ускорена силой Лоренца , или наблюдателя, прикрепленного к вращающейся пробной частице, которая может ускоряться силой спин-спин.

Важно осознавать, что фреймы являются геометрическими объектами . То есть, векторные поля имеют смысл (в гладком многообразии) независимо от выбора координатной карты , а (в лоренцевом многообразии) — понятия ортогональности и длины. Таким образом, как и векторные поля и другие геометрические величины, поля фреймов могут быть представлены в различных координатных картах. Вычисления компонентов тензорных величин относительно заданной фреймы всегда будут давать один и тот же результат, какая бы координатная карта ни использовалась для представления фрейма.

Эти поля необходимы для записи уравнения Дирака в искривленном пространстве-времени .

Указание кадра

Для записи фрейма необходимо выбрать координатную карту на лоренцевом многообразии. Тогда каждое векторное поле на многообразии можно записать в виде линейной комбинации четырех базисных векторных полей координат:

${\displaystyle {\vec {X}}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Здесь используется соглашение Эйнштейна о суммировании , а векторные поля рассматриваются как линейные дифференциальные операторы первого порядка , а компоненты часто называются контравариантными компонентами . Это соответствует стандартным соглашениям об обозначениях для секций касательного расслоения . Альтернативные обозначения для векторных полей координатного базиса, которые обычно используются, следующие: ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial /\partial x^{\mu }\equiv \partial _{x^{\mu }}\equiv \partial _{\mu }.}$

В частности, векторные поля в системе отсчета можно выразить следующим образом:

${\displaystyle {\vec {e}}_{a}={e_{a}}^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

При «проектировании» фрейма, естественно, необходимо, используя заданную метрику , обеспечить, чтобы четыре векторных поля были всюду ортонормальными.

Более современные тексты принимают обозначения для и или для . Это позволяет визуально хитроумный трюк записи метрики пространства-времени как внутреннего произведения векторов касательных координат: ${\displaystyle \mathbf {g} _{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{x^{\mu }}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mu }\cdot \mathbf {g} _{\nu }}$

и метрика Минковского в плоском пространстве как произведение гамм:

${\displaystyle \eta _{ab}=\gamma _{a}\cdot \gamma _{b}}$

Выбор для обозначения является преднамеренным объединением с обозначением, используемым для матриц Дирака ; это позволяет рассматривать не только как векторы, но и как элементы алгебры, алгебры пространства-времени . При правильном использовании это может упростить некоторые обозначения, используемые при записи спиновой связи . ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$

После принятия сигнатуры, по двойственности каждый вектор базиса имеет дуальный ковектор в кобазисе и наоборот. Таким образом, каждое поле фрейма связано с уникальным полем кофрейма , и наоборот; поле кофрейма представляет собой набор из четырех ортогональных сечений кокасательного расслоения .

Указание метрики с использованием кофрейма

В качестве альтернативы метрический тензор можно определить, записав кофрейм в терминах координатного базиса и установив, что метрический тензор задается как

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{i=1}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},}$

где обозначает тензорное произведение . Это просто причудливый способ сказать, что кофрейм ортонормален . Используется ли это для получения метрического тензора после записи фрейма (и перехода к двойственному кофрейму) или начинается с метрического тензора и используется для проверки того, что фрейм был получен другими способами, это всегда должно быть верным. ${\displaystyle \otimes }$

Связь с метрическим тензором в координатной основе

Поле Вирбейна , имеет два вида индексов: обозначает общую пространственно-временную координату и обозначает локальное лоренцево пространство-время или локальные лабораторные координаты. ${\displaystyle e_{\ a}^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle a\,}$

Поле Вирбейна или поля фрейма можно рассматривать как «матричный квадратный корень» метрического тензора , поскольку в координатном базисе ${\displaystyle g^{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

где - метрика Лоренца . ${\displaystyle \eta ^{ab}\,}$

Локальные индексы Лоренца повышаются и понижаются с помощью метрики Лоренца таким же образом, как общие пространственно-временные координаты повышаются и понижаются с помощью метрического тензора. Например:

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}.}$

Поле Вирбейна позволяет выполнять преобразование между пространством-временем и локальными индексами Лоренца. Например:

${\displaystyle T_{a}=e_{\ a}^{\mu }T_{\mu }.}$

Поле Вирбейна можно манипулировать таким же образом:

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$, с ${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

И их можно комбинировать.

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\ a}T^{\mu }.}$

Еще несколько примеров: Пространственно-временные и локальные координаты Лоренца можно смешивать:

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\ a}T^{\mu \nu }.}$

Локальные координаты Лоренца преобразуются иначе, чем общие координаты пространства-времени. При общем преобразовании координат мы имеем:

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}T^{\nu a}}$

в то время как при локальном преобразовании Лоренца имеем:

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

Сравнение с координатной базой

Векторы базиса координат обладают особым свойством, что их парные скобки Ли исчезают. За исключением локально плоских областей, по крайней мере некоторые скобки Ли векторных полей из кадра не исчезнут. Результирующий багаж, необходимый для вычислений с ними, приемлем, поскольку компоненты тензорных объектов относительно кадра (но не относительно базиса координат) имеют прямую интерпретацию в терминах измерений, выполненных семейством идеальных наблюдателей, соответствующих кадру.

Векторы базиса координат могут быть нулевыми , что по определению не может произойти для векторов фрейма.

Невращающиеся и инерциальные системы отсчета

Некоторые системы отсчета лучше других. В частности, в вакуумных или электровакуумных решениях физический опыт инерциальных наблюдателей (которые не чувствуют никаких сил) может представлять особый интерес. Математическая характеристика инерциальной системы отсчета очень проста: интегральные кривые времениподобного единичного векторного поля должны определять геодезическую конгруэнтность , или, другими словами, ее вектор ускорения должен исчезать:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}=0}$

Часто также желательно обеспечить, чтобы пространственная триада, переносимая каждым наблюдателем, не вращалась . В этом случае триаду можно рассматривать как гиростабилизированную . Критерий для невращающейся инерциальной (NSI) системы отсчета снова очень прост:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j}=0,\;\;j=0\dots 3}$

Это говорит о том, что по мере того, как мы движемся вдоль мировой линии каждого наблюдателя, их пространственная триада параллельно переносится . Невращающиеся инерциальные системы отсчета занимают особое место в общей теории относительности, поскольку они находятся настолько близко, насколько это возможно в искривленном лоренцевом многообразии, к системам отсчета Лоренца, используемым в специальной теории относительности (это особые невращающиеся инерциальные системы отсчета в вакууме Минковского ).

В более общем случае, если ускорение наших наблюдателей не равно нулю, мы можем заменить ковариантные производные ${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}\neq 0}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j},\;j=1\dots 3}$

с (пространственно спроецированными) производными Ферми–Уокера для определения невращающейся системы отсчета .

При наличии лоренцева многообразия мы можем найти бесконечно много полей фреймов, даже если нам потребуются дополнительные свойства, такие как инерциальное движение. Однако данное поле фрейма может быть вполне определено только на части многообразия.

Пример: Статические наблюдатели в вакууме Шварцшильда.

Будет поучительно рассмотреть несколько простых примеров. Рассмотрим знаменитый вакуум Шварцшильда , который моделирует пространство-время вне изолированного невращающегося сферически-симметричного массивного объекта, такого как звезда. В большинстве учебников можно найти метрический тензор, записанный в терминах статической полярной сферической карты, следующим образом:

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2m/r}}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;2m<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Более формально метрический тензор можно разложить по координатному кобазису следующим образом:

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\,dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}}\,dr\otimes dr+r^{2}\,d\theta \otimes d\theta +r^{2}\sin(\theta )^{2}\,d\phi \otimes d\phi }$

Кофрейм можно прочитать из этого выражения:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\sqrt {1-2m/r}}\,dt,\;\sigma ^{1}={\frac {dr}{\sqrt {1-2m/r}}},\;\sigma ^{2}=rd\theta ,\;\sigma ^{3}=r\sin(\theta )d\phi }$

Чтобы увидеть, что этот кофрейм действительно соответствует метрическому тензору Шварцшильда, просто подключите этот кофрейм в

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

Двойственный кадр — это обратный кокадр, как показано ниже: (двойной кадр также транспонируется, чтобы сохранить локальный индекс в том же положении.)

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\partial _{\theta },\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\partial _{\phi }}$

(Знак плюс на гарантирует, что это будущее указание .) Это кадр, который моделирует опыт статических наблюдателей , которые используют ракетные двигатели, чтобы «парить» над массивным объектом . Тяга, которая им требуется для сохранения своего положения, задается величиной вектора ускорения ${\displaystyle \sigma ^{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=-{\frac {m/r^{2}}{\sqrt {1-2m/r}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

Это радиально направлено внутрь, поскольку наблюдателям необходимо ускориться от объекта, чтобы избежать падения на него. С другой стороны, пространственно спроецированные производные Ферми пространственных базисных векторов (относительно ) исчезают, так что это невращающаяся система отсчета. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Теперь можно вычислить компоненты различных тензорных величин относительно нашей системы отсчета и ее дуальной косистемы отсчета.

Например, приливной тензор для наших статических наблюдателей определяется с использованием тензорной записи (для координатной основы) как

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

где мы пишем, чтобы не загромождать нотацию. Единственными его ненулевыми компонентами относительно нашего кофрейма оказываются ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3},\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}$

Соответствующие компоненты базиса координат:

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \theta }=m/r,\;E[X]_{\phi \phi }=m\sin(\theta )^{2}/r}$

(Небольшое замечание относительно обозначений: многие авторы ставят знаки препинания над абстрактными индексами, относящимися к кадру. При записи конкретных компонентов удобно обозначать компоненты кадра как 0,1,2,3, а компоненты координат как . Поскольку выражение типа не имеет смысла как тензорное уравнение , не должно быть никакой возможности путаницы.) ${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$ ${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$

Сравните приливной тензор ньютоновской гравитации, который является бесследовой частью гессиана гравитационного потенциала . Используя тензорную нотацию для тензорного поля , определенного в трехмерном евклидовом пространстве, это можно записать ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{3}}{U^{,k}}_{,k}\,\eta _{ij}}$

Читатель может захотеть проделать это самостоятельно (обратите внимание, что следовой член фактически исчезает тождественно, когда U является гармоническим) и сравнить результаты со следующим элементарным подходом: мы можем сравнить гравитационные силы, действующие на двух соседних наблюдателей, лежащих на одной и той же радиальной линии:

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

Поскольку при обсуждении тензоров мы имеем дело с полилинейной алгеброй , мы сохраняем только члены первого порядка, поэтому . Аналогично мы можем сравнить гравитационную силу на двух наблюдателей, находящихся рядом и лежащих на одной сфере . Используя элементарную тригонометрию и приближение малых углов, мы находим, что векторы силы отличаются на вектор, касательный к сфере, который имеет величину ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Используя приближение малого угла, мы проигнорировали все члены порядка , поэтому тангенциальные компоненты равны . Здесь мы имеем в виду очевидную рамку, полученную из полярной сферической карты для нашего трехмерного евклидова пространства: ${\displaystyle O(h^{2})}$ ${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Очевидно, что компоненты координат, вычисленные выше, даже не масштабируются должным образом, поэтому они явно не могут соответствовать тому, что наблюдатель измерит даже приблизительно. (По совпадению, компоненты тензора приливов Ньютона точно совпадают с компонентами тензора приливов релятивистского, которые мы выписали выше.) ${\displaystyle E[X]_{\theta \theta },\,E[X]_{\phi \phi }}$

Пример: наблюдатели Леметра в вакууме Шварцшильда

Чтобы найти инерциальную систему отсчета, мы можем усилить нашу статическую систему отсчета в направлении неопределенным параметром усиления (зависящим от радиальной координаты), вычислить вектор ускорения новой неопределенной системы отсчета, приравнять его к нулю и решить для неизвестного параметра усиления. Результатом будет система отсчета, которую мы можем использовать для изучения физического опыта наблюдателей, которые свободно и радиально падают к массивному объекту. Соответствующим образом выбрав постоянную интегрирования, мы получаем систему отсчета наблюдателей Леметра , которые падают из состояния покоя на пространственной бесконечности . (Эта фраза не имеет смысла, но читатель, несомненно, без труда поймет, что мы имеем в виду.) В статической полярной сферической карте эта система отсчета получается из координат Леметра и может быть записана как ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}}\,\partial _{t}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}-{\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Обратите внимание, что , и что "наклоняется внутрь", как и должно быть, поскольку его интегральные кривые являются времениподобными геодезическими, представляющими мировые линии падающих наблюдателей. Действительно, поскольку ковариантные производные всех четырех базисных векторов (взятых относительно ) равны нулю, наша новая система отсчета является невращающейся инерциальной системой отсчета . ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Если наш массивный объект на самом деле является (невращающейся) черной дырой , мы, вероятно, хотим следовать опыту наблюдателей Леметра, когда они падают через горизонт событий в . Поскольку статические полярные сферические координаты имеют координатную сингулярность на горизонте, нам нужно будет переключиться на более подходящую координатную карту. Самый простой возможный выбор — определить новую временную координату с помощью ${\displaystyle r=2m}$

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m\log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\right)}$

Это дает диаграмму Пенлеве . Новый элемент линии —

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\left(dr+{\sqrt {2m/r}}\,dT\right)^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <T<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Что касается диаграммы Пенлеве, то рамка Леметра

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Обратите внимание, что их пространственная триада выглядит точно так же, как каркас для трехмерного евклидова пространства, о котором мы упоминали выше (когда вычисляли ньютоновский приливной тензор). Действительно, пространственные гиперсрезы оказываются локально изометричными плоскому трехмерному евклидову пространству! (Это замечательное и довольно особое свойство вакуума Шварцшильда; большинство пространств-времен не допускают разрезания на плоские пространственные сечения.) ${\displaystyle T=T_{0}}$

Приливный тензор, взятый относительно наблюдателей Леметра, равен

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}$

где мы пишем , чтобы не загромождать обозначения. Это другой тензор , нежели тот, который мы получили выше, поскольку он определен с использованием другого семейства наблюдателей . Тем не менее, его неисчезающие компоненты выглядят знакомыми: . (Это снова довольно особое свойство вакуума Шварцшильда.) ${\displaystyle Y={\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$

Обратите внимание, что просто нет способа определить статических наблюдателей на горизонте событий или внутри него. С другой стороны, наблюдатели Лемэтра также не определены на всей внешней области, охватываемой статической полярной сферической картой, поэтому в этих примерах ни система Лемэтра, ни статическая система не определены на всем многообразии.

Пример: наблюдатели Хагихары в вакууме Шварцшильда

Точно так же, как мы нашли наблюдателей Леметра, мы можем усилить нашу статическую систему отсчета в направлении на неопределенный параметр (зависящий от радиальной координаты), вычислить вектор ускорения и потребовать, чтобы он исчез в экваториальной плоскости . Новая система отсчета Хагихары описывает физический опыт наблюдателей на устойчивых круговых орбитах вокруг нашего массивного объекта. По-видимому, ее впервые обсудил астроном Юсуке Хагихара . ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

В статической полярной сферической карте рамка Хагихары выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

который в экваториальной плоскости становится

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

Приливной тензор , где оказывается, определяется (в экваториальной плоскости) выражением ${\displaystyle E[Z]_{ab}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {h}}_{0}}$

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {2-3m/r}{1-2m/r}}=-{\frac {2m}{r^{3}}}-{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {1}{1-3m/r}}=-{\frac {m}{r^{3}}}+{\frac {3m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}$

Таким образом, по сравнению со статическим наблюдателем, парящим в заданном радиусе координат, наблюдатель Хагихары на устойчивой круговой орбите с тем же радиусом координат будет измерять радиальные приливные силы, которые немного больше по величине, и поперечные приливные силы, которые больше не являются изотропными (но немного больше ортогональными направлению движения).

Обратите внимание, что рамка Хагихары определена только в регионе . Действительно, устойчивые круговые орбиты существуют только в , поэтому рамка не должна использоваться внутри этого локуса. ${\displaystyle r>3m}$ ${\displaystyle r>6m}$

Вычисление производных Ферми показывает, что поле только что данной рамки фактически вращается относительно гиростабилизированной рамки. Основная причина этого легко определена: в этой системе каждый наблюдатель Хагихары сохраняет свои пространственные векторы радиально выровненными , поэтому вращаются вокруг , когда наблюдатель вращается вокруг центрального массивного объекта. Однако после коррекции этого наблюдения небольшая прецессия оси вращения гироскопа, переносимого наблюдателем Хагихары, все еще остается; это эффект прецессии де Ситтера (также называемый эффектом геодезической прецессии ). ${\displaystyle {\vec {h}}_{1},\;{\vec {h}}_{3}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}_{2}}$

Обобщения

В этой статье основное внимание уделено применению фреймов к общей теории относительности и, в частности, их физической интерпретации. Здесь мы очень кратко излагаем общую концепцию. В n -мерном римановом многообразии или псевдоримановом многообразии поле фрейма представляет собой набор ортонормированных векторных полей , который образует базис для касательного пространства в каждой точке многообразия. Это возможно глобально непрерывным образом тогда и только тогда, когда многообразие является параллелизуемым . Как и прежде, фреймы могут быть заданы в терминах заданного координатного базиса, и в неплоской области некоторые из их попарных скобок Ли не будут обращаться в нуль.

Фактически, если задано любое пространство внутреннего произведения , мы можем определить новое пространство, состоящее из всех кортежей ортонормированных базисов для . Применение этой конструкции к каждому касательному пространству дает ортонормированное расслоение рамок (псевдо-)риманова многообразия, а поле рамок является секцией этого расслоения. Еще более обще, мы можем рассматривать расслоения рамок, связанные с любым векторным расслоением , или даже произвольными главными расслоениями волокон . Обозначение становится немного более сложным, поскольку сложнее избежать различения индексов, относящихся к базе, и индексов, относящихся к волокну. Многие авторы говорят о внутренних компонентах , когда ссылаются на компоненты, индексированные волокном. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Смотрите также

• Точные решения в общей теории относительности
• Жорж Леметр
• Карл Шварцшильд
• Движущаяся рамка
• Поль Пенлеве
• Тетрадный формализм
• Юсукэ Хагихара

Ссылки

1. Альберт Эйнштейн «Геометрия Римана с Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus», Sitzungsberichte der Preussischen Akademieder Wissenschaften, Physikalisch-MathematischeKlasse , p217-221, 7.6.1928, http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:YP 5DFQU1 . Английский перевод доступен у Джеффри Йепеса, «Теория поля Вирбейна Эйнштейна в искривленном пространстве», https://arxiv.org/abs/1106.2037.
2. Герман Вейль «Электрон и гравитация I», Zeitschrift Physik , 56, стр. 330–352, 1929.

• Мануэль Теккиолли (2019). «О математике формализма кофрейма и теории Эйнштейна-Картана — краткий обзор». Universe . 5(10) (Торсионная гравитация): 206. arXiv : 2008.08314 . Bibcode :2019Univ....5..206T. doi : 10.3390/universe5100206 .
• Фландерс, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-66169-5.См. Главу IV для фреймов в E ³ , затем см. Главу VIII для полей фреймов в римановых многообразиях . Эта книга на самом деле не охватывает лоренцевы многообразия, но с этим фоном на руках читатель хорошо подготовлен к следующей цитате.
• Мизнер, Чарльз; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.В этой книге поле фрейма (поле кофрейма) называется неголономным базисом векторов (ковекторов) . Основная информация широко разбросана, но ее можно легко найти с помощью обширного индекса.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. Ф. (1980). Классическая теория полей (4-е изд.) . Лондон: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.В этой книге поле фрейма называется тетрадой ( не путать с ныне стандартным термином NP-тетрада, используемым в формализме Ньюмена–Пенроуза ). См. раздел 98 .
• Де Феличе, Ф.; Кларк, К.Дж. (1992). Относительность на искривленных многообразиях . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42908-0.Смотрите главу 4 о фреймах и кофреймах. Если вам когда-нибудь понадобится дополнительная информация о полях фреймов, это может быть хорошим местом для поиска!