Жидкий раствор

Класс точных решений уравнений поля Эйнштейна

В общей теории относительности раствор жидкости представляет собой точное решение уравнения поля Эйнштейна, в котором гравитационное поле полностью создается массой, импульсом и плотностью напряжений жидкости .

В астрофизике жидкие растворы часто используются в качестве моделей звезд . (Можно подумать об идеальном газе как о частном случае идеальной жидкости.) В космологии жидкие растворы часто используются в качестве космологических моделей .

Математическое определение

Тензор энергии-импульса релятивистской жидкости можно записать в виде ^[1]

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b}+p\,h^{ab}+\left(u^{a}\,q^{b}+q^{a}\,u^{b}\right)+\pi ^{ab}}$

Здесь

• мировые линии элементов жидкости являются интегральными кривыми вектора скорости , ${\displaystyle u^{a}}$
• тензор проекции проецирует другие тензоры на элементы гиперплоскости, ортогональные , ${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+u_{a}\,u_{b}}$ ${\displaystyle u^{a}}$
• плотность материи задается скалярной функцией , ${\displaystyle \mu }$
• давление задается скалярной функцией , ${\displaystyle p}$
• вектор теплового потока определяется выражением , ${\displaystyle q^{a}}$
• тензор вязкого сдвига определяется выражением . ${\displaystyle \pi ^{ab}}$

Вектор теплового потока и тензор вязкого сдвига поперечны мировым линиям в том смысле, что

${\displaystyle q_{a}\,u^{a}=0,\;\;\pi _{ab}\,u^{b}=0}$

Это означает, что они фактически являются трехмерными величинами, и поскольку тензор вязких напряжений симметричен и бесследен , они имеют соответственно три и пять линейно независимых компонентов. Вместе с плотностью и давлением это составляет в общей сложности 10 линейно независимых компонент, что соответствует числу линейно независимых компонент в четырехмерном симметричном тензоре второго ранга.

Особые случаи

Обращают на себя внимание несколько частных случаев жидких растворов (здесь скорость света c  = 1):

• Идеальная жидкость имеет исчезающий вязкий сдвиг и тепловой поток:

${\displaystyle T^{ab}=(\mu +p)\,u^{a}\,u^{b}+p\,g^{ab},}$

• Пыль представляет собой идеальную жидкость без давления:

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b},}$

• Радиационная жидкость представляет собой идеальную жидкость, имеющую : ${\displaystyle \mu =3p}$

${\displaystyle T^{ab}=p\,\left(4\,u^{a}\,u^{b}+\,g^{ab}\right).}$

Последние два часто используются в качестве космологических моделей для эпох с преобладанием материи и радиации (соответственно) . Обратите внимание: хотя для определения жидкости обычно требуется десять функций, для идеальной жидкости требуется только две, а для пыли и радиационной жидкости требуется только одна функция. Найти такие решения гораздо проще, чем найти обычное жидкостное решение.

Среди идеальных жидкостей, помимо пыли или радиационных жидкостей, наиболее важным частным случаем являются статические сферически-симметричные идеальные жидкие растворы. Их всегда можно сопоставить с вакуумом Шварцшильда на сферической поверхности, поэтому их можно использовать в качестве внутренних решений в звездной модели. В таких моделях сфера, в которой внутренняя часть жидкости соответствует внешней поверхности вакуума, является поверхностью звезды, и давление должно исчезать в пределе при приближении радиуса . Однако плотность может быть ненулевой в пределе снизу и, конечно, равна нулю в пределе сверху. В последние годы было предложено несколько удивительно простых схем получения всех этих решений. ${\displaystyle r=r[0]}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, рассчитанные относительно поля системы координат , а не базиса координат, часто называют физическими компонентами , поскольку это компоненты, которые (в принципе) могут быть измерены наблюдателем.

В частном случае идеальной жидкости адаптированная система координат

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

(первое — времениподобное поле единичного вектора , последние три — пространственноподобное поле единичного вектора) всегда можно найти, в котором тензор Эйнштейна принимает простой вид

${\displaystyle G^{{\widehat {a\,}}{\widehat {b\,}}}=8\pi \,\left[{\begin{matrix}\mu &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right]}$

где – плотность энергии , – давление жидкости. Здесь времяподобное поле единичного вектора повсюду касается мировых линий наблюдателей, движущихся вместе с жидкими элементами, поэтому только что упомянутые плотность и давление являются теми, которые измеряются движущимися наблюдателями. Это те же самые величины, которые фигурируют в выражении общего базиса координат, приведенном в предыдущем разделе; чтобы увидеть это, просто поставьте . По форме физических компонентов легко видеть, что группа изотропии любой идеальной жидкости изоморфна трехмерной группе Ли SO(3), обычной группе вращения. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

Тот факт, что эти результаты совершенно одинаковы для искривленного пространства-времени и для гидродинамики в плоском пространстве-времени Минковского, является выражением принципа эквивалентности .

Собственные значения

Характеристический полином тензора Эйнштейна в идеальной жидкости должен иметь вид

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\left(\lambda -8\pi p\right)^{3}}$

где снова плотность и давление жидкости, измеренные наблюдателями, сопровождающими жидкие элементы. (Обратите внимание, что эти величины могут меняться внутри жидкости.) Выписав это и применив базисные методы Грёбнера для упрощения полученных алгебраических соотношений, мы обнаруживаем, что коэффициенты характеристики должны удовлетворять следующим двум алгебраически независимым (и инвариантным) условиям: ${\displaystyle \mu ,\,p}$

${\displaystyle 12a_{4}+a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}=0}$

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}-9a_{3}^{2}-9a_{1}^{2}a_{4}+32a_{2}a_{4}=0}$

Но согласно тождествам Ньютона следы степеней тензора Эйнштейна связаны с этими коэффициентами следующим образом:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=t_{1}=a_{1}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=t_{3}=a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}+3a_{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=t_{4}=a_{1}^{4}-4a_{1}^{2}a_{2}+4a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}-a_{4}}$

поэтому мы можем полностью переписать две вышеупомянутые величины в терминах следов степеней. Очевидно, это скалярные инварианты, и в случае идеального жидкостного решения они должны тождественно обращаться в нуль:

${\displaystyle t_{2}^{3}+4t_{3}^{2}+t_{1}^{2}t_{4}-4t_{2}t_{4}-2t_{1}t_{2}t_{3}=0}$

${\displaystyle t_{1}^{4}+7t_{2}^{2}-8t_{1}^{2}t_{2}+12t_{1}t_{3}-12t_{4}=0}$

Обратите внимание, что это ничего не предполагает в отношении какого-либо возможного уравнения состояния, связывающего давление и плотность жидкости; мы предполагаем только, что у нас есть одно простое и одно тройное собственное значение.

В случае пылевого раствора (исчезающее давление) эти условия значительно упрощаются:

${\displaystyle a_{2}\,=a_{3}=a_{4}=0}$

или

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

В обозначениях тензорной гимнастики это можно записать с использованием скаляра Риччи как:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=-R^{4}}$

В случае радиационной жидкости критериями становятся

${\displaystyle a_{1}=0,\;27\,a_{3}^{2}+8a_{2}^{3}=0,\;12\,a_{4}+a_{2}^{2}=0}$

или

${\displaystyle t_{1}=0,7\,t_{3}^{2}-t_{2}\,t_{4}=0,\;12\,t_{4}-7\,t_{2}^{2}=0}$

При использовании этих критериев необходимо быть осторожным, чтобы гарантировать, что наибольшее собственное значение принадлежит времениподобному собственному вектору, поскольку существуют лоренцевы многообразия , удовлетворяющие этому критерию собственных значений, в которых большое собственное значение принадлежит пространственноподобному собственному вектору, и они не могут представлять радиационные жидкости.

Коэффициенты характеристики часто оказываются очень сложными, и кривые ненамного лучше; при поиске решений почти всегда лучше вычислить компоненты тензора Эйнштейна относительно соответствующим образом адаптированного каркаса, а затем напрямую уничтожить соответствующие комбинации компонентов. Однако, когда нет очевидного адаптированного каркаса, эти критерии собственных значений иногда могут быть полезны, особенно когда они используются в сочетании с другими соображениями.

Эти критерии часто могут быть полезны для выборочной проверки предполагаемых решений идеальной жидкости, и в этом случае коэффициенты характеристики часто намного проще, чем они были бы для более простой несовершенной жидкости.

Примеры

Примечательные отдельные решения для борьбы с пылью перечислены в статье о решениях для борьбы с пылью . К заслуживающим внимания решениям идеальных жидкостей с положительным давлением относятся различные модели радиационной жидкости из космологии, в том числе

• Радиационные жидкости FRW , часто называемые моделями FRW с преобладанием радиации .

В дополнение к семейству статических сферически-симметричных идеальных жидкостей, примечательные решения для вращающихся жидкостей включают в себя

• Жидкость Уолквиста , которая имеет симметрию, аналогичную вакууму Керра , что привело к первоначальным надеждам (после того, как они были разбиты), что она может обеспечить внутреннее решение для простой модели вращающейся звезды.

Смотрите также

• Физический портал

• Раствор для пыли , для важного особого случая растворов для пыли,
• Точные решения в общей теории относительности , для точных решений вообще,
• группа Лоренца
• Идеальная жидкость , для идеальных жидкостей в физике вообще,
• Релятивистские диски для интерпретации релятивистских дисков с точки зрения идеальных жидкостей.

Рекомендации

1. Эккарт, Карл (1940). «Термодинамика необратимых процессов III. Релятивистская теория простой жидкости». Физ. Преподобный . 58 (10): 919. Бибкод : 1940PhRv...58..919E. doi : 10.1103/PhysRev.58.919.

• Стефани, Х.; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс, К.; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7. Приводит множество примеров точных идеальных растворов жидкости и пыли.
• Стефани, Ганс (1996). Общая теория относительности (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-37941-5.. См. главу 8, где обсуждаются релятивистские жидкости и термодинамика.
• Делгати, MSR; Озеро, Кейл (1998). «Физическая приемлемость изолированных, статических, сферически симметричных, идеальных жидкостных решений уравнений Эйнштейна». Вычислить. Физ. Коммун . 115 (2–3): 395–415. arXiv : gr-qc/9809013 . Бибкод : 1998CoPhC.115..395D. дои : 10.1016/S0010-4655(98)00130-1. S2CID  17957408.. В данной обзорной статье рассмотрены статические сферически-симметричные жидкостные растворы, известные примерно до 1995 года.
• Озеро, Кейл (2003). «Все статические сферически-симметричные идеальные жидкие решения уравнений Эйнштейна». Физ. Преподобный Д. 67 (10): 104015. arXiv : gr-qc/0209104 . Бибкод : 2003PhRvD..67j4015L. doi : 10.1103/PhysRevD.67.104015. S2CID  119447644.. В данной статье описана одна из нескольких недавно найденных схем получения всех статических сферически-симметричных решений идеальной жидкости в общей теории относительности.