Координаты Гулстранд – Пенлеве

Координаты, подходящие для слежения за свободно падающим наблюдателем черной дыры Шварцшильда

Координаты Гулльстранда–Пенлеве — это особый набор координат для метрики Шварцшильда — решения уравнений поля Эйнштейна , описывающего черную дыру . Входящие координаты таковы, что временная координата следует собственному времени свободно падающего наблюдателя, который стартует издалека с нулевой скоростью, а пространственные срезы являются плоскими. На радиусе Шварцшильда (горизонт событий) нет сингулярности координат. Исходящие координаты — это просто временное обращение входящих координат (время — это собственное время вдоль исходящих частиц, которые достигают бесконечности с нулевой скоростью).

Решение было предложено независимо Полем Пенлеве в 1921 году ^[1] и Альваром Гулльстрандом ^[2] в 1922 году. До 1933 года в статье Леметра [ ^3] не было явно показано, что эти решения являются просто координатными преобразованиями обычного решения Шварцшильда , хотя Эйнштейн сразу поверил в это.

Вывод

Вывод координат GP требует определения следующих систем координат и понимания того, как данные, измеренные для событий в одной системе координат, интерпретируются в другой системе координат.

Соглашение: Все единицы для переменных геометризированы . Время и масса имеют единицы в метрах. Скорость света в плоском пространстве-времени имеет значение 1. Гравитационная постоянная имеет значение 1. Метрика выражается в соглашении о знаках +−−− .

Координаты Шварцшильда

Свободно падающие мировые линии в классических координатах Шварцшильда-Дросте

Наблюдатель Шварцшильда — это дальний наблюдатель или бухгалтер. Он не производит измерений событий, которые происходят в разных местах. Вместо этого он находится далеко от черной дыры и событий. Наблюдатели, находящиеся поблизости от событий, привлекаются для проведения измерений и отправки ему результатов. Бухгалтер собирает и объединяет отчеты из разных мест. Числа в отчетах преобразуются в данные в координатах Шварцшильда, которые обеспечивают систематическое средство оценки и описания событий в глобальном масштабе. Таким образом, физик может разумно сравнивать и интерпретировать данные. Он может находить значимую информацию из этих данных. Форма Шварцшильда метрики Шварцшильда с использованием координат Шварцшильда задается как

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)}}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$

где

Г=1=с

t , r , θ , φ — координаты Шварцшильда,

M — масса черной дыры.

Координаты врача общей практики

Свободно падающие мировые линии в координатах капель дождя Гулльстранд–Пенлеве

Определите новую временную координату

${\displaystyle t_{r}=t+a(r)}$

для некоторой произвольной функции . Подставляя в метрику Шварцшильда, получаем ${\displaystyle a(r)}$

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt_{r}^{2}+2\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,a'dt_{r}dr-\left({\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,{a'}^{2}\right)dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$

где . Если теперь мы выберем так, чтобы член умножения был равен единице, то получим ${\displaystyle a'(r)={\frac {da}{dr}}}$ ${\displaystyle a(r)}$ ${\displaystyle dr^{2}}$

${\displaystyle a'=-{\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}}$

и метрика становится

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt_{r}^{2}-2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}dt_{r}dr-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$

Пространственная метрика (т.е. ограничение метрики на поверхности, где является константой) — это просто плоская метрика, выраженная в сферических полярных координатах. Эта метрика регулярна вдоль горизонта, где r=2M , поскольку, хотя временной член стремится к нулю, недиагональный член в метрике все еще не равен нулю и гарантирует, что метрика все еще обратима (определитель метрики равен ). ${\displaystyle g|_{t=t_{r}}}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle -r^{4}\sin(\theta )^{2}}$

Функция задается выражением ${\displaystyle a(r)}$

${\displaystyle a(r)=-\int {\frac {\sqrt {\frac {2M}{r}}}{1-{\frac {2M}{r}}}}dr=2M\left(-2y+\ln \left({\frac {y+1}{y-1}}\right)\right)}$

где . Функция явно сингулярна при r=2M , как и должно быть для устранения этой сингулярности в метрике Шварцшильда. ${\displaystyle y={\sqrt {\frac {r}{2M}}}}$ ${\displaystyle a(r)}$

Другие варианты приводят к другим координатным картам для вакуума Шварцшильда; общая трактовка дана в работе Фрэнсиса и Косовского. ^[4] ${\displaystyle a(r)}$

Движение капли дождя

Определим каплю дождя как объект, который радиально падает в черную дыру из состояния покоя в бесконечности. ^[5]

В координатах Шварцшильда скорость капли дождя определяется выражением

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,}$

• Скорость стремится к 0, когда r приближается к горизонту событий. Капля дождя, по-видимому, замедляется по мере приближения к горизонту событий и останавливается на горизонте событий, как измеряет бухгалтер. Действительно, наблюдатель за пределами горизонта событий увидел бы, как капля падает все медленнее и медленнее. Ее изображение бесконечно смещается в красную область и никогда не проходит через горизонт событий. Однако бухгалтер физически не измеряет скорость напрямую. Он переводит данные, переданные наблюдателем оболочки, в значения Шварцшильда и вычисляет скорость. Результатом является только бухгалтерская запись.

В координатах GP скорость определяется выражением

${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}=-\beta =-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,}$

• Скорость капли обратно пропорциональна квадратному корню радиуса и равна отрицательной ньютоновской скорости убегания . В точках, очень удаленных от черной дыры, скорость чрезвычайно мала. По мере того, как капля погружается в черную дыру, скорость увеличивается. На горизонте событий скорость имеет значение 1. На горизонте событий нет разрыва или сингулярности.
• Внутри горизонта событий скорость увеличивается по мере приближения капли к сингулярности. В конце концов, скорость становится бесконечной в сингулярности. Как показано ниже, скорость всегда меньше скорости света. Результаты могут быть неправильно предсказаны уравнением в сингулярности и очень близко к ней, поскольку истинное решение может быть совершенно иным при включении квантовой механики. ${\displaystyle r<2M\,\!}$
• Несмотря на проблему с сингулярностью, математически все еще возможно вычислить время путешествия капли дождя от горизонта до центра черной дыры.

Интегрируем уравнение движения:

${\displaystyle \int _{0}^{T_{r}}\,dt=-\int _{2M}^{0}\left({\sqrt {\frac {2M}{r}}}\right)^{-1}\,dr.\,}$ Результатом является ${\displaystyle T_{r}={\frac {4}{3}}M.\,}$

Используя этот результат для скорости капли дождя, мы можем найти собственное время вдоль траектории капли дождя в терминах времени . Мы имеем ${\displaystyle t_{r}}$

${\displaystyle d\tau ^{2}=g|_{\text{trajectory}}=dt_{r}^{2}\left[1-{\frac {2M}{r}}+2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}^{2}\right]=dt_{r}^{2}}$

То есть вдоль траектории капель дождя течение времени в точности равно собственному времени вдоль траектории. Можно было бы определить координаты GP этим требованием, а не требовать, чтобы пространственные поверхности были плоскими. ${\displaystyle t_{r}}$

Тесно связанный набор координат — это координаты Леметра , в которых «радиальная» координата выбирается постоянной вдоль траектории капель дождя. Поскольку r изменяется по мере падения капель дождя, эта метрика зависит от времени, в то время как метрика GP не зависит от времени.

Метрика, полученная, если в приведенном выше примере взять функцию f(r) как отрицательную по отношению к выбранной выше, также называется системой координат GP. Единственное изменение в метрике заключается в том, что перекрестный член меняет знак. Эта метрика регулярна для исходящих капель дождя, т. е. частиц, которые покидают черную дыру, двигаясь наружу только со скоростью убегания, так что их скорость на бесконечности равна нулю. В обычных координатах GP такие частицы не могут быть описаны для r<2M . Они имеют нулевое значение для при r=2M . Это указывает на то, что черная дыра Шварцшильда имеет два горизонта, прошлый горизонт и будущий горизонт. Первоначальная форма координат GP регулярна по горизонту будущего (куда попадают частицы, когда они падают в черную дыру), в то время как альтернативная отрицательная версия регулярна по горизонту прошлого (из которого частицы выходят из черной дыры, если они это делают). ${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}}$

Координаты Крускала –Секереша регулярны по обоим горизонтам за счет того, что метрика становится сильно зависимой от временной координаты.

Скорость света

Предположим, что движение радиальное. Для света, следовательно, ${\displaystyle d\tau =0.}$

${\displaystyle 0=\left(dr+\left(1+{\sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \right)dt_{r}\right)\left(dr-\left(1-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \right)\,dt_{r}\right),}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.}$

• В местах, очень далеких от черной дыры, скорость света равна 1, как и в специальной теории относительности. ${\displaystyle r\to \infty ,{\tfrac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1.}$
• На горизонте событий скорость света, распространяющегося из центра черной дыры, равна Он не может вырваться из горизонта событий. Вместо этого он застревает на горизонте событий. Поскольку свет движется быстрее, чем все остальное, материя может двигаться только внутрь на горизонте событий. Все, что находится внутри горизонта событий, скрыто от внешнего мира. ${\displaystyle r=2M,}$ ${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt_{r}}}=0.}$
• Внутри горизонта событий наблюдатель дождя измеряет, что свет движется к центру со скоростью больше 2. Это правдоподобно. Даже в специальной теории относительности собственная скорость движущегося объекта равна ${\displaystyle r<2M,}$

  ${\displaystyle {\frac {dr_{ff}}{d\tau }}={\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\geq 1.}$

Необходимо учитывать два важных момента:

1. Ни один объект не должен иметь скорость, превышающую скорость света, измеренную в той же системе отсчета. Таким образом, принцип причинности сохраняется. Действительно, скорость капли дождя меньше скорости света: ${\displaystyle {\frac {\left({\dfrac {dr}{dt_{r}}}\right)_{\text{raindrop}}}{\left({\dfrac {dr}{dt_{r}}}\right)_{\text{light}}}}={\frac {\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}}}<1.}$
2. Время прохождения света, идущего от горизонта событий внутрь черной дыры, можно получить, проинтегрировав уравнение для скорости света:

${\displaystyle \int _{0}^{T_{r}}\,dt=-\int _{2M}^{0}\left({\sqrt {\frac {2M}{r}}}+1\right)^{-1}\,dr.}$

Результатом является ${\displaystyle T_{r}=4M\ln 2-2M\approx 0.77M.}$

1. Время прохождения света через звездную черную дыру с типичным размером в 3 солнечных массы составляет около 11 микросекунд.
2. Игнорируя эффекты вращения, для Стрельца А* , сверхмассивной черной дыры , находящейся в центре Млечного Пути , с массой в 3,7 миллиона солнечных масс, время прохождения света составляет около 14 секунд.
3. Сверхмассивная черная дыра в центре Мессье 87 , гигантской эллиптической галактики в скоплении Девы , является одной из крупнейших известных сверхмассивных черных дыр. При массе в 3 миллиарда солнечных масс свету требуется около 3 часов, чтобы добраться до центральной сингулярности, а капле дождя — 5 часов.

Взгляд на вселенную с точки зрения наблюдателя за дождем

Как выглядит Вселенная с точки зрения наблюдателя за дождем, погружающегося в черную дыру? ^[6] Вид можно описать следующими уравнениями:

${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}={\frac {dr_{r}}{dt_{r}}}={\frac {{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}+\cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}},\,}$

${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}={\frac {dr_{s}}{dt_{s}}}=\pm {\sqrt {1-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\frac {{\mathit {I}}^{2}}{r^{2}}}}},\,\!}$

${\displaystyle \phi ={\mathit {I}}\int _{r_{0}}^{\infty }{\frac {dr}{r^{2}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}},\,\!}$

где

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}_{r},\ {\boldsymbol {\Phi }}_{s}\,\!}$— углы обзора наблюдателя за дождем и наблюдателя за ракушкой относительно радиально-внешнего направления.

${\displaystyle \ \phi \,\!}$угол между далекой звездой и радиально-внешним направлением.

${\displaystyle {\mathit {I}}\,\!}$   — параметр удара. Каждый входящий луч света можно проследить до соответствующего луча на бесконечности. Параметр удара для входящего луча света — это расстояние между соответствующим лучом на бесконечности и лучом, параллельным ему, который погружается прямо в черную дыру.

Из-за сферической симметрии траектория света всегда лежит в плоскости, проходящей через центр сферы. Можно упростить метрику, предположив . ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}\,\!}$

Параметр воздействия можно вычислить, зная координату r наблюдателя дождя и угол обзора . Затем фактический угол далекой звезды определяется численным интегрированием от до бесконечности. Диаграмма результатов выборки показана справа. ${\displaystyle {\mathit {I}}\,\!}$ ${\displaystyle r_{0}\,\!}$ ${\displaystyle \ {\boldsymbol {\Phi }}_{r0}\,\!}$ ${\displaystyle \ \phi \,\!}$ ${\displaystyle dr\,\!}$ ${\displaystyle r_{0}\,\!}$

• При r / M = 500 черная дыра все еще очень далеко. Она стягивает диаметральный угол ~ 1 градус в небе. Звезды не сильно искажены присутствием черной дыры, за исключением звезд непосредственно за ней. Из-за гравитационного линзирования эти заслоненные звезды теперь отклонены на 5 градусов от спины. Между этими звездами и черной дырой находится круговая полоса вторичных изображений звезд. Дублирующие изображения играют важную роль в идентификации черной дыры.
• При r/M = 30 черная дыра стала намного больше, охватывая диаметральный угол ~15 градусов в небе. Полоса вторичных изображений также выросла до 10 градусов. Теперь в полосе можно найти слабые третичные изображения, которые создаются световыми лучами, которые уже один раз описали петлю вокруг черной дыры. Первичные изображения распределены более плотно в остальной части неба. Картина распределения похожа на ту, что была показана ранее.
• При r/M = 2, горизонте событий, черная дыра теперь занимает значительную часть неба. Наблюдатель дождя увидел бы область до 42 градусов от радиально-внутреннего направления, которая является абсолютно темной. Полоса вторичных и третичных изображений, вместо того чтобы увеличиться, уменьшилась в размере до 5 градусов. Эффект аберрации теперь довольно доминирует. Скорость погружения достигла скорости света. Картина распределения первичных изображений радикально меняется. Первичные изображения смещаются к границе полосы. Край около полосы теперь заполнен звездами. Из-за эффекта Доплера первичное изображение звезд, которые изначально располагались позади наблюдателя дождя, имеет свои изображения заметно смещенными в красную область, в то время как те, которые были впереди, смещены в синюю область и выглядят очень яркими.
• При r/M=0,001 кривая угла дальней звезды против угла зрения, по-видимому, образует прямой угол при угле зрения 90 градусов. Почти все изображения звезд собираются в узком кольце в 90 градусах от радиально-внутреннего направления. Между кольцом и радиально-внутренним направлением находится огромная черная дыра. На противоположной стороне слабо светятся лишь несколько звезд.
• По мере приближения наблюдателя дождя к сингулярности, , и . Большинство звезд и их образов, вызванных множественными орбитами света вокруг черной дыры, сжимаются в узкую полосу под углом зрения 90°. Наблюдатель видит великолепное яркое кольцо звезд, рассекающее темное небо пополам. ${\displaystyle r\rightarrow 0\,\!}$ ${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}\rightarrow {\sqrt {\frac {r}{2M}}}\,\!}$

История

Хотя публикация статьи Гуллстранда произошла после публикации статьи Пенлеве, статья Гуллстранда была датирована 25 мая 1921 года, тогда как публикация Пенлеве представляла собой изложение его выступления перед Академией наук в Париже 24 октября 1921 года. Таким образом, работа Гуллстранда, по-видимому, имеет приоритет. ^[7]

И Пенлеве, и Гулльстранд использовали это решение, чтобы доказать, что теория Эйнштейна была неполной, поскольку она давала множественные решения для гравитационного поля сферического тела, и, более того, давала различную физику (они утверждали, что длины стержней иногда могут быть длиннее, а иногда короче в радиальном, чем в тангенциальном направлениях). «Фокус» предложения Пенлеве состоял в том, что он больше не придерживался полной квадратичной (статической) формы, а вместо этого допускал перекрестное произведение времени и пространства, делая метрическую форму уже не статичной, а стационарной и уже не симметричной по направлению, а преимущественно ориентированной.

Во второй, более длинной статье (14 ноября 1921 г.) ^[8] Пенлеве объясняет, как он вывел свое решение, напрямую решая уравнения Эйнштейна для общей сферически симметричной формы метрики. Результат, уравнение (4) его статьи, зависел от двух произвольных функций координаты r, что давало двойную бесконечность решений. Теперь мы знаем, что они просто представляют собой множество вариантов выбора как временных, так и радиальных координат.

Пенлеве написал Эйнштейну, чтобы представить свое решение, и пригласил Эйнштейна в Париж для дебатов. В ответном письме Эйнштейна (7 декабря) ^[9] он извинился за то, что не смог приехать в ближайшее время, и объяснил, почему он не был доволен аргументами Пенлеве, подчеркнув, что сами координаты не имеют смысла. Наконец, Эйнштейн приехал в Париж в начале апреля. 5 апреля 1922 года в дебатах в «Коллеж де Франс» ^{[10] [11]} с Пенлеве, Беккерелем, Бриллюэном, Картаном, Де Дондером, Адамаром, Ланжевеном и Нордманном по «бесконечным потенциалам» Эйнштейн, сбитый с толку неквадратичным перекрестным членом в линейном элементе, отверг решение Пенлеве.

Смотрите также

• Изотропные координаты
• Координаты Эддингтона–Финкельштейна
• Координаты Крускала – Секереса
• Координаты Лемэтра

Ссылки

1. Поль Пенлеве, «Классическая механика и теория относительности», CR Acad. наук. (Париж) 173, 677–680 (1921).
2. Галлстранд, Аллвар (1922). «Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems в эйнштейновской теории гравитации». Архив для математики, астрономии и физики . 16 (8): 1–15.
3. Г. Леметр (1933). «Универс в расширении». Анналы научного общества Брюсселя . А53 : 51–85. Бибкод : 1933ASSB...53...51L.
4. Мэтью Р. Фрэнсис и Артур Косовски (2004). «Геодезические в обобщенном решении Шварцшильда», arXiv :gr-qc/0311038
5. Берчингер, Эдмунд; Тейлор, Эдвин Ф. (2020). "Глава 6: Дайвинг; Исследование черных дыр, второе издание (EBH2e)" (PDF) . eftaylor.com . Не существует опубликованного печатного учебника по EBH2e. Вместо этого вы можете бесплатно загрузить онлайн-версию
6. Тони Ротман; Ричард Мацнер; Билл Унру (1985). «Великие иллюзии: Дальнейшие разговоры на краю пространства-времени». В Тони Ротмане (ред.). Frontiers of Modern Physics . Dover Publications (Нью-Йорк). стр. 49–81.
7. Гамильтон, Эндрю Дж. С.; Лайл, Джейсон П. (июнь 2008 г.). «Речная модель черных дыр». American Journal of Physics . 76 (6): 519–532. arXiv : gr-qc/0411060 . Bibcode : 2008AmJPh..76..519H. doi : 10.1119/1.2830526. S2CID  119467298.
8. «Гравитация в механике Ньютона и в механике Эйнштейна» CR Acad. наук. (Париж) 173, 873–886 (1921).
9. Диана Бухвальд и др., ред. (2009). Собрание статей Альберта Эйнштейна . Princeton University Press . стр. 368–370.
10. Жан Эйзенштадт (1987). «Ранняя интерпретация решения Шварцшильда». В Дон Хоукард; Джон Стахель (ред.). Эйнштейн и история общей теории относительности . Биркхаузер (Берлин). стр. 222–223.
11. Жан Эйзенштадт (1982). «История и особенности решения Шварцшильда (1915–1923)». Архив истории точных наук . 27 (2): 157–198. Бибкод : 1982AHES...27..157E. дои : 10.1007/BF00348347. S2CID  116541975.

• Мизнер, Торн, Уилер (1973). Гравитация . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

• Речная модель черных дыр
• Видео доктора Эндрю Дж. С. Гамильтона «Внутри черных дыр»
• Моделирование орбиты черной дыры в координатах GP.