Тетрадный формализм

Относительность с базисом, не полученным из координат

Формализм тетрады - это подход к общей теории относительности , который обобщает выбор базиса для касательного расслоения от координатного базиса до менее ограничительного выбора локального базиса, то есть локально определенного набора из четырех ^[а] линейно независимых векторных полей , называемых тетрадой. или вирбейн . ^[1] Это частный случай более общей идеи формализма Вильбейна , которая изложена в (псевдо-) римановой геометрии . В этой статье в ее нынешнем виде часто упоминается общая теория относительности; однако почти все, что там говорится, в равной степени применимо к (псевдо-) римановым многообразиям вообще и даже к спиновым многообразиям . Большинство утверждений справедливы, если просто заменить произвольное на . В немецком языке « vier » переводится как «четыре», а « viel » — «много». ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$

Общая идея состоит в том, чтобы записать метрический тензор как произведение двух vielbeins , одного слева и одного справа. Эффект вильбейнов заключается в изменении системы координат, используемой на касательном многообразии , на более простую или более подходящую для вычислений. Часто система координат Фильбейна является ортонормированной, поскольку ее обычно проще всего использовать. Большинство тензоров становятся простыми или даже тривиальными в этой системе координат; таким образом, сложность большинства выражений оказывается результатом выбора координат, а не врожденным свойством или физическим эффектом. То есть, как формализм , он не меняет предсказаний; это скорее вычислительная техника.

Преимущество тетрадного формализма перед стандартным координатным подходом к общей теории относительности заключается в способности выбирать тетрадный базис для отражения важных физических аспектов пространства-времени. Обозначение абстрактного индекса обозначает тензоры так, как если бы они были представлены своими коэффициентами относительно фиксированной локальной тетрады. По сравнению с полностью координатно-свободной нотацией , которая зачастую концептуально более ясна, она обеспечивает простой и явный в вычислительном отношении способ обозначения сокращений.

Значение тетрадного формализма проявляется в формулировке общей теории относительности Эйнштейна – Картана . Тетрадный формализм теории является более фундаментальным, чем ее метрическая формулировка, поскольку невозможно ^{преобразовать} тетрадную и метрическую формулировки фермионных действий, несмотря на то, что это возможно для ^{бозонных действий} . Фактически это происходит потому, что спиноры Вейля могут быть очень естественно определены на римановом многообразии ^{[2] [ нужна ссылка ]} , и их естественное расположение приводит к спиновой связи . Эти спиноры принимают форму в системе координат Вильбейна, а не в системе координат многообразия.

Привилегированный тетрадный формализм также появляется при деконструкции многомерных теорий гравитации Калуцы – Клейна ^[3] и теорий массивной гравитации , в которых дополнительное измерение(я) заменяется серией N узлов решетки , так что метрика более высокой размерности заменяется набором взаимодействующих метрик, которые зависят только от 4D-компонентов. ^[4] Вильбейны обычно встречаются в других общих областях физики и математики. Вильбейны можно понимать как формы припоя .

Математическая формулировка

Тетрадная формулировка представляет собой частный случай более общей формулировки, известной как формулировка Вильбейна или n -бейна, с n = 4. Обратите внимание на написание: по-немецки «viel» означает «много», не путать с «vier», что означает «четыре».

В формализме Вильбейна ^{[5] выбирается} открытое покрытие пространственно - временного многообразия и локальный базис для каждого из этих открытых множеств: набор независимых векторных полей . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }}$

для этого вместе они охватывают -мерное касательное расслоение в каждой точке множества. Двойственным образом вильбейн (или тетрада в 4-х измерениях) определяет (и определяется) двойственный ко-вьельбейн (ко-тетрада) — набор независимых 1-форм . ${\displaystyle a=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

такой, что

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e_{b}{}^{\mu }=\delta _{b}^{a},}$

где находится дельта Кронекера . Вильбейн обычно задается своими коэффициентами по отношению к координатному базису, несмотря на то, что выбор набора (локальных) координат не является необходимым для спецификации тетрады. Каждый ковектор представляет собой паяную форму . ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ ${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

С точки зрения дифференциальной геометрии расслоений , n векторных полей определяют сечение расслоения фреймов , т. е. распараллеливание которого эквивалентно изоморфизму . Поскольку не каждое многообразие распараллеливаемо, вильбейн вообще может быть выбран только локально ( т.е. только на координатной карте , а не на всех координатах ). ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$

Все тензоры теории могут быть выражены в векторном и ковекторном базисе, выражая их как линейные комбинации членов (ко)вильбейна. Например, тензор метрики пространства-времени можно преобразовать из координатного базиса в тетрадный базис .

Популярные основания тетрад в общей теории относительности включают ортонормированные тетрады и нулевые тетрады. Нулевые тетрады состоят из четырех нулевых векторов , поэтому часто используются в задачах, связанных с излучением, и являются основой формализма Ньюмана-Пенроуза и формализма GHP .

Отношение к стандартному формализму

Стандартный формализм дифференциальной геометрии (и общей теории относительности) состоит просто из использования тетрады координат в формализме тетрады. Координатная тетрада — это канонический набор векторов, связанных с координатной картой . Координатную тетраду обычно обозначают, тогда как двойственную котетраду обозначают . Эти касательные векторы обычно определяются как операторы производной по направлению : при наличии карты , которая отображает подмножество многообразия в координатное пространство и любое скалярное поле , координатные векторы таковы, что: ${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$ ${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$ ${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

В определении котетрады используется обычное злоупотребление обозначениями для определения ковекторов (1-форм) на . Участие координатной тетрады обычно не выражается явно в стандартном формализме. В формализме тетрад вместо полного написания тензорных уравнений (включая элементы тетрад и тензорные произведения , как указано выше) упоминаются только компоненты тензоров. Например, метрика записывается как " ". Когда тетрада не определена, это становится вопросом определения типа тензора, называемого абстрактной индексной нотацией . Это позволяет легко определить сокращение между тензорами путем повторения индексов, как в соглашении Эйнштейна о суммировании. ${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

Изменение тетрад — рутинная операция в стандартном формализме, поскольку она участвует в каждом преобразовании координат (т. е. переходе от одного базиса координатной тетрады к другому). Переключение между несколькими координатными картами необходимо, поскольку, за исключением тривиальных случаев, одна координатная карта не может охватить все многообразие. Переход к общим тетрадам и между ними во многом аналогичен и одинаково необходим (за исключением распараллеливаемых многообразий ). Любой тензор локально может быть записан через эту координатную тетраду или общую (ко)тетраду.

Например, метрический тензор можно выразить как: ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}$

(Здесь мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании ). Аналогично, метрика может быть выражена относительно произвольной (ко)тетрады как

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

Здесь мы используем выбор алфавита ( латинского и греческого ) для индексных переменных, чтобы отличить применимую основу.

Мы можем перевести общую ко-тетраду в координатную ко-тетраду, расширив ковектор . Затем мы получаем ${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

откуда следует, что . Аналогично, разлагая по общей тетраде, получаем ${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$ ${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

что показывает это . ${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$

Манипулирование индексами

Манипулирование тетрадными коэффициентами показывает, что абстрактные индексные формулы в принципе могут быть получены из тензорных формул относительно координатной тетрады путем «замены греческих индексов латинскими индексами». Однако необходимо следить за тем, чтобы формула координатной тетрады определяла настоящий тензор при дифференцировании. Поскольку поля координатных векторов имеют исчезающую скобку Ли (т.е. коммутируют: ), наивные замены формул, которые правильно вычисляют тензорные коэффициенты по отношению к координатной тетраде, могут неправильно определять тензор по отношению к общей тетраде, поскольку скобка Ли не обращается в нуль. : . Таким образом, иногда говорят, что тетрадные координаты обеспечивают неголономную основу . ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}$

Например, тензор кривизны Римана для общих векторных полей определяется формулой ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}$.

В координатной тетраде это дает тензорные коэффициенты

${\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).}$

Наивная замена последнего выражения «с греческого на латынь».

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}}$

неверно, поскольку при фиксированных c и d это , как правило, дифференциальный оператор первого порядка, а не оператор нулевого порядка, который определяет тензорный коэффициент. Однако, подставив общий тетрадный базис в абстрактную формулу, мы находим правильное определение кривизны в абстрактных индексных обозначениях: ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}$

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}$

где . Обратите внимание, что выражение действительно является оператором нулевого порядка, следовательно (( c d )-компонента) является тензором. Поскольку оно согласуется с координатным выражением для кривизны, когда оно специализировано на координатной тетраде, ясно, даже без использования абстрактного определения кривизны, что оно определяет тот же тензор, что и координатное базисное выражение. ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}$ ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}$

Пример: группы Ли.

Учитывая вектор (или ковектор) в касательном (или кокасательном) многообразии, экспоненциальное отображение описывает соответствующую геодезическую этого касательного вектора. Записывая , параллельный перенос дифференциала соответствует ${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

Вышесказанное можно легко проверить, просто взяв за матрицу. ${\displaystyle X}$

В частном случае алгебры Ли можно считать элементом алгебры, экспонентой является экспоненциальное отображение группы Ли , а элементы группы соответствуют геодезическим касательного вектора. Выбрав базис алгебры Ли и записав для некоторых функций коммутаторы, можно выписать явно. Легко вычислить, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle X^{i},}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

для структурных констант алгебры Ли. Ряд можно записать более компактно как ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

с бесконечной серией

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

Здесь – матрица, матричные элементы которой равны . Матрица тогда является vielbein; он выражает дифференциал в терминах «плоских координат» (причём ортонормальных) . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle dX^{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Учитывая некоторое отображение некоторого многообразия в некоторую группу Ли , метрический тензор на многообразии становится обратным образом метрического тензора на группе Ли : ${\displaystyle N\to G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

Метрический тензор группы Ли — это метрика Картана, также известная как форма Киллинга . Обратите внимание, что в качестве матрицы второй W является транспонированием. Для (псевдо) риманова многообразия метрика является (псевдо) римановой метрикой . Сказанное выше обобщается на случай симметричных пространств . ^[6] Эти вильбейны используются для выполнения расчетов в сигма-моделях , частным случаем которых являются теории супергравитации . ^[7] ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle N}$

Смотрите также

• Комплект рамок
• Пакет ортонормированных рамок
• Основной пакет
• Спиновый пакет
• Связь (математика)
• G-структура
• Спиновый коллектор
• Спиновая структура
• Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

Примечания

1. Тот же подход можно использовать для пространства-времени произвольной размерности, где фрейм пакета фреймов называется n -bein или vielbein .

Цитаты

1. Де Феличе, Ф.; Кларк, CJS (1990), Относительность искривленных многообразий , издательство Кембриджского университета, стр. 133, ISBN 0-521-26639-4
2. Йост, Юрген (1995), Риманова геометрия и геометрический анализ , Springer, ISBN 3-540-57113-2
3. Аркани-Хамед, Нима; Коэн, Эндрю Г.; Джорджи, Ховард (май 2001 г.). «(Де) Построение измерений». Письма о физических отзывах . 86 (21): 4757–4761. arXiv : hep-th/0104005 . Бибкод : 2001PhRvL..86.4757A. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.4757. ISSN  0031-9007. PMID  11384341. S2CID  4540121.
4. де Рам, Клаудия (декабрь 2014 г.). «Массивная гравитация». Живые обзоры в теории относительности . 17 (1): 7. arXiv : 1401.4173 . Бибкод : 2014LRR....17....7D. дои : 10.12942/lrr-2014-7 . ISSN  2367-3613. ПМК 5256007 . ПМИД  28179850. 
5. Тору Эгучи, Питер Б. Гилки и Эндрю Дж. Хэнсон, «Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия», Physics Reports 66 (1980), стр. 213-393.
6. Неджат Тевфик Йылмаз, (2007) «О кинематике симметричной пространственной сигма-модели» arXiv:0707.2150 [hep-th]
7. Арьян Кеурентьес (2003) «Групповая теория окисления», arXiv:0210178 [hep-th]

Рекомендации

• Де Феличе, Ф.; Кларк, CJS (1990), Относительность искривленных многообразий (впервые опубликовано в 1990 году), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
• Бенн, ИМ; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в 1987 году), Адам Хилгер, ISBN 0-85274-169-3

Внешние ссылки

• Общая теория относительности с тетрадами