Полилинейная алгебра — это изучение функций с несколькими векторными аргументами , где функции являются линейными отображениями относительно каждого аргумента. Она включает в себя такие понятия, как матрицы , тензоры , мультовекторы , системы линейных уравнений , многомерные пространства , определители , внутренние и внешние произведения и двойственные пространства . Это математический инструмент, используемый в инженерии , машинном обучении , физике и математике . [1]
В то время как многие теоретические концепции и приложения включают отдельные векторы , математики, такие как Герман Грассман, рассматривали структуры, включающие пары, триплеты и мульвивекторы , которые обобщают векторы . При наличии множественных комбинационных возможностей пространство мульвивекторов расширяется до 2 n измерений, где n — размерность соответствующего векторного пространства. [2] Определитель можно сформулировать абстрактно, используя структуры полилинейной алгебры.
Полилинейная алгебра появляется при изучении механического отклика материалов на напряжение и деформацию, включая различные модули упругости . Термин « тензор » описывает элементы в полилинейном пространстве из-за его добавленной структуры. Несмотря на раннюю работу Грассмана в 1844 году с его Ausdehnungslehre , которая также была переиздана в 1862 году, этот предмет изначально не был широко понят, так как даже обычная линейная алгебра создавала много проблем в то время.
Концепции полилинейной алгебры находят применение в некоторых исследованиях многомерного исчисления и многообразий , особенно в отношении матрицы Якоби . Бесконечно малые дифференциалы, встречающиеся в одномерном исчислении, преобразуются в дифференциальные формы в многомерном исчислении , и их манипуляция осуществляется с использованием внешней алгебры . [3]
После Грассмана разработки в области полилинейной алгебры были сделаны Виктором Шлегелем в 1872 году с публикацией первой части его System der Raumlehre [4] и Элвином Бруно Кристоффелем . Примечательно, что значительные успехи были достигнуты благодаря работам Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивиты [5] , особенно в форме абсолютного дифференциального исчисления в полилинейной алгебре. Марсель Гроссман и Мишель Бессо представили эту форму Альберту Эйнштейну , а в 1915 году публикация Эйнштейна по общей теории относительности , объясняющая прецессию перигелия Меркурия , установила полилинейную алгебру и тензоры как важные математические инструменты в физике.
В 1958 году Николя Бурбаки включил главу о полилинейной алгебре под названием « Algèbre Multilinéaire » в свою серию Éléments de mathématique , в частности в книгу по алгебре. Глава охватывает такие темы, как билинейные функции, тензорное произведение двух модулей и свойства тензорных произведений. [6]
Концепции полилинейной алгебры находят применение в различных областях, включая: