Векторная операция
В линейной алгебре внешнее произведение двух координатных векторов — это матрица, все элементы которой являются произведениями элемента первого вектора на элемент второго вектора. Если два координатных вектора имеют размерности n и m , то их внешнее произведение — это матрица n × m . В более общем смысле, если даны два тензора (многомерные массивы чисел), их внешнее произведение — это тензор. Внешнее произведение тензоров также называется их тензорным произведением и может использоваться для определения тензорной алгебры .
Внешний вид продукта контрастирует с:
Определение
Даны два вектора размером и соответственно
их внешнее произведение, обозначаемое , определяется как матрица, полученная путем умножения каждого элемента на каждый элемент : [1]
Или, в индексной записи:
Обозначим скалярное произведение следующим образом: если дан вектор , то Если дан вектор , то
Если и — векторы одной и той же размерности, большей 1, то .
Внешний продукт эквивалентен умножению матриц при условии, что он представлен как вектор-столбец и как вектор-столбец (что дает вектор-строку). [2] [3] Например, если и тогда [4]
Для комплексных векторов часто бывает полезно взять сопряженное транспонирование обозначенного или :
Контраст с евклидовым внутренним произведением
Если тогда можно взять матричное произведение другим способом, получив скаляр (или матрицу):
что является стандартным внутренним произведением для евклидовых векторных пространств , [3] более известным как скалярное произведение . Скалярное произведение является следом внешнего произведения. [5] В отличие от скалярного произведения, внешнее произведение не является коммутативным.
Умножение вектора на матрицу можно записать в терминах скалярного произведения, используя соотношение .
Внешнее произведение тензоров
Если даны два тензора с размерностями и , их внешнее произведение представляет собой тензор с размерностями и элементами
Например, если имеет порядок 3 с размерностями и имеет порядок 2 с размерностями , то их внешнее произведение имеет порядок 5 с размерностями Если имеет компонент A [2, 2, 4] = 11 и имеет компонент B [8, 88] = 13 , то компонент, образованный внешним произведением, равен C [2, 2, 4, 8, 88] = 143 .
Связь с продукцией Kronecker
Внешнее произведение и произведение Кронекера тесно связаны; фактически для обозначения обеих операций обычно используется один и тот же символ.
Если и , то имеем:
В случае векторов-столбцов произведение Кронекера можно рассматривать как форму векторизации (или уплощения) внешнего произведения. В частности, для двух векторов-столбцов и можно записать:
(В правой части уравнения порядок векторов обратный.)
Еще одна похожая идентичность, которая еще больше подчеркивает сходство между операциями, — это
где порядок векторов не нужно менять местами. Среднее выражение использует матричное умножение, где векторы рассматриваются как матрицы столбцов/строк.
Связь с матричным продуктом
Для пары матриц размера и размера рассмотрим матричное произведение, определенное, как обычно, как матрица размера .
Теперь пусть будет -ым вектором столбца и пусть будет -ым вектором строки . Тогда можно выразить как сумму внешних произведений столбцов за строками:
Это выражение имеет двойственность с более распространенным выражением, представляющим собой матрицу, построенную с записями внутреннего произведения строк и столбцов (или скалярного произведения ):
Это соотношение актуально [6] при применении разложения по сингулярным значениям (SVD) (и спектрального разложения как частного случая). В частности, разложение можно интерпретировать как сумму внешних произведений каждого левого ( ) и правого ( ) сингулярных векторов, масштабированных соответствующим ненулевым сингулярным значением :
Этот результат подразумевает, что может быть выражен как сумма матриц ранга 1 со спектральной нормой в порядке убывания. Это объясняет тот факт, почему, в общем, последние члены вносят меньший вклад, что мотивирует использование усеченного SVD в качестве приближения. Первый член — это наименьшие квадраты подгонки матрицы к внешнему произведению векторов.
Характеристики
Внешнее произведение векторов удовлетворяет следующим свойствам:
Внешнее произведение тензоров удовлетворяет дополнительному свойству ассоциативности :
Ранг внешнего продукта
Если u и v оба не равны нулю, то матрица внешнего произведения uv T всегда имеет ранг матрицы 1. Действительно, все столбцы внешнего произведения пропорциональны u . Таким образом, все они линейно зависят от этого одного столбца, следовательно, матрица имеет ранг один.
(«Ранг матрицы» не следует путать с « порядком тензора » или «степенью тензора», которую иногда называют «рангом».)
Определение (аннотация)
Пусть V и W — два векторных пространства . Внешнее произведение и — элемент .
Если V — внутреннее пространство произведения , то можно определить внешнее произведение как линейное отображение V → W. В этом случае линейное отображение является элементом двойственного пространства V , поскольку оно линейно отображает вектор в его базовое поле, элементом которого является. Внешнее произведение V → W тогда задается как
Это показывает, почему в комплексном случае обычно используется сопряженное транспонирование v .
В языках программирования
В некоторых языках программирования, если задана двухаргументная функция f
(или бинарный оператор), внешнее произведение , f
двух одномерных массивов A
и B
, является двумерным массивом, C
таким что C[i, j] = f(A[i], B[j])
. Синтаксически это представлено различными способами: в APL , как инфиксный бинарный оператор ; в J , как постфиксное наречие ; в R , как функция или специальный ; [7] в Mathematica , как . В MATLAB для этого произведения используется функция . Они часто обобщаются на многомерные аргументы и более двух аргументов.∘.f
f/
outer(A, B, f)
%o%
Outer[f, A, B]
kron(A, B)
В библиотеке Python NumPy внешнее произведение можно вычислить с помощью функции np.outer()
. [8] Напротив, np.kron
приводит к плоскому массиву. Внешнее произведение многомерных массивов можно вычислить с помощью np.multiply.outer
.
Приложения
Поскольку внешний продукт тесно связан с продуктом Кронекера , некоторые приложения продукта Кронекера используют внешние продукты. Эти приложения встречаются в квантовой теории, обработке сигналов и сжатии изображений . [9]
Спиноры
Предположим, что s , t , w , z ∈ C , так что ( s , t ) и ( w , z ) находятся в C2 . Тогда внешнее произведение этих комплексных 2-векторов является элементом M(2, C ) , комплексной матрицы 2 × 2:
Определитель этой матрицы равен swtz − sztw = 0 из - за коммутативного свойства C.
В теории спиноров в трех измерениях эти матрицы связаны с изотропными векторами из-за этого нулевого свойства. Эли Картан описал эту конструкцию в 1937 году [10] , но она была введена Вольфгангом Паули в 1927 году [11], так что M(2, C ) стала называться алгеброй Паули .
Концепции
Блочная форма внешних продуктов полезна при классификации. Концептуальный анализ — это исследование, которое зависит от определенных внешних продуктов:
Когда вектор содержит только нули и единицы в качестве элементов, он называется логическим вектором , частным случаем логической матрицы . Логическая операция и занимает место умножения. Внешнее произведение двух логических векторов ( u i ) и ( v j ) задается логической матрицей . Этот тип матрицы используется при изучении бинарных отношений и называется прямоугольным отношением или кросс-вектором . [12]
Смотрите также
Продукция
Двойственность
Ссылки
- ^ Лернер, РГ ; Тригг, ГЛ (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). VHC. ISBN 0-89573-752-3.
- ^ Липшуц, С.; Липсон, М. (2009). Линейная алгебра . Очерки Шаума (4-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1.
- ^ ab Keller, Frank (23 февраля 2020 г.). "Алгебраические свойства матриц; Транспонирование; Внутреннее и внешнее произведение" (PDF) . inf.ed.ac.uk . Архивировано (PDF) из оригинала 2017-12-15 . Получено 6 сентября 2020 г. .
- ^ Джеймс М. Ортега (1987) Матричная теория: второй курс , стр. 7, Plenum Press ISBN 0-306-42433-9
- ^ Стенгель, Роберт Ф. (1994). Оптимальное управление и оценка. Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 26. ISBN 0-486-68200-5.
- ^ Трефетен, Ллойд Н .; Бау III, Дэвид (1997). Численная линейная алгебра . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 978-0-89871-361-9.
- ^ "внешняя функция | Документация R". rdocumentation.org . Получено 2020-09-07 .
- ^ "numpy.outer — Руководство NumPy v1.19". numpy.org . Получено 2020-09-07 .
- ^ Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). "Приложения (глава 3)". Матричное исчисление и произведение Кронекера: практический подход к линейной и полилинейной алгебре (2-е изд.). World Scientific. ISBN 978-981-4335-31-7.
- ^ Эли Картан (1937) Lecons sur la theorie des spineurs , перевод 1966: Теория спиноров , Герман, Париж
- ^ Пертти Лоунесто (1997) Алгебры и спиноры Клиффорда , стр. 51, Cambridge University Press ISBN 0-521-59916-4
- ^ Ки-Ханг Ким (1982) Теория булевых матриц и ее применение , стр. 37, Марсель Деккер ISBN 0-8247-1788-0
Дальнейшее чтение
- Карлен, Эрик; Кансейсао Карвальо, Мария (2006). «Внешние произведения и ортогональные проекции». Линейная алгебра: с самого начала . Macmillan. стр. 217–218. ISBN 9780716748946.