Модуль (математика)

В математике модуль — это обобщение понятия векторного пространства , в котором поле скаляров заменяется (не обязательно коммутативным ) кольцом . Понятие модуля также обобщает понятие абелевой группы , поскольку абелевы группы — это в точности модули над кольцом целых чисел . ^[1]

Как и векторное пространство, модуль является аддитивной абелевой группой, а скалярное умножение дистрибутивно относительно операций сложения между элементами кольца или модуля и совместимо с кольцевым умножением.

Модули очень тесно связаны с теорией представлений групп . Они также являются одним из центральных понятий коммутативной алгебры и гомологической алгебры и широко используются в алгебраической геометрии и алгебраической топологии .

Введение и определение

Мотивация

В векторном пространстве множество скаляров является полем и действует на векторы скалярным умножением, подчиняясь определенным аксиомам, таким как закон дистрибутивности . В модуле скаляры должны быть только кольцом , поэтому концепция модуля представляет собой значительное обобщение. В коммутативной алгебре и идеалы , и фактор-кольца являются модулями, так что многие аргументы об идеалах или фактор-кольцах можно объединить в один аргумент о модулях. В некоммутативной алгебре различие между левыми идеалами, идеалами и модулями становится более выраженным, хотя некоторые условия теории колец могут быть выражены либо о левых идеалах, либо о левых модулях.

Большая часть теории модулей состоит в расширении как можно большего числа желаемых свойств векторных пространств на область модулей над « хорошо себя ведущим » кольцом, таким как область главных идеалов . Однако модули могут быть намного сложнее векторных пространств; например, не все модули имеют базис , и даже для тех, у которых он есть ( свободные модули ), число элементов в базисе не обязательно должно быть одинаковым для всех базисов (то есть они могут не иметь уникального ранга ), если базовое кольцо не удовлетворяет условию инвариантного числа базисов , в отличие от векторных пространств, которые всегда имеют (возможно, бесконечный) базис, мощность которого тогда уникальна. (Эти последние два утверждения требуют аксиомы выбора в общем случае, но не в случае конечномерных векторных пространств или определенных хорошо себя ведущих бесконечномерных векторных пространств, таких как пространства L p .)

Формальное определение

Предположим, что R — кольцо , а 1 — его мультипликативная единица. Левый R -модуль M состоит из абелевой группы ( M , +) и операции · : R × M → M такой, что для всех r , s из R и x , y из M имеем

$r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$ ,
$(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$ ,
$(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$ ,
$1\cdot x=x.$

Операция · называется скалярным умножением . Часто символ · опускается, но в этой статье мы используем его и резервируем сопоставление для умножения в R . Можно написать _R M , чтобы подчеркнуть, что M является левым R -модулем. Правый R -модуль M _R определяется аналогично в терминах операции · : M × R → M .

Авторы, которые не требуют, чтобы кольца были унитальными , опускают условие 4 в определении выше; они назвали бы структуры, определенные выше, "унитальными левыми R -модулями". В этой статье, в соответствии с глоссарием теории колец , все кольца и модули предполагаются унитальными. ^[2]

( R , S ) -бимодуль является абелевой группой вместе с левым скалярным умножением · на элементы R и правым скалярным умножением ∗ на элементы S , что делает его одновременно левым R -модулем и правым S -модулем, удовлетворяющим дополнительному условию ( r · x ) ∗ s = r ⋅ ( x ∗ s ) для всех r в R , x в M и s в S .

Если R коммутативен , то левые R -модули совпадают с правыми R -модулями и называются просто R -модулями.

Примеры

Если K — поле , то K - векторные пространства (векторные пространства над K ) и K -модули идентичны.
Если K — поле, а K [ x ] — одномерное кольцо многочленов , то K [ x ]-модуль M — это K -модуль с дополнительным действием x на M посредством группового гомоморфизма, который коммутирует с действием K на M . Другими словами, K [ x ]-модуль — это K -векторное пространство M, объединенное с линейным отображением из M в M . Применение структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов к этому примеру показывает существование рациональной и жордановой канонической форм.
Понятие Z -модуля согласуется с понятием абелевой группы. То есть, каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел Z единственным образом. Для n > 0 пусть n ⋅ x = x + x + ... + x ( n слагаемых), 0 ⋅ x = 0 и (− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x ) . Такой модуль не обязан иметь базис — группы, содержащие элементы кручения, его не имеют. (Например, в группе целых чисел по модулю 3 нельзя найти даже один элемент, который удовлетворяет определению линейно независимого множества, поскольку когда целое число, такое как 3 или 6, умножается на элемент, результатом становится 0. Однако, если конечное поле рассматривать как модуль над тем же конечным полем, взятым как кольцо, оно является векторным пространством и имеет базис.)
Десятичные дроби (включая отрицательные) образуют модуль над целыми числами. Только синглетоны являются линейно независимыми множествами, но нет синглетона, который мог бы служить базисом, поэтому модуль не имеет базиса и ранга.
Если R — любое кольцо, а n — натуральное число , то декартово произведение R ⁿ является как левым, так и правым R -модулем над R, если мы используем покомпонентные операции. Следовательно, когда n = 1 , R является R -модулем, где скалярное умножение — это просто кольцевое умножение. Случай n = 0 дает тривиальный R -модуль {0}, состоящий только из его единичного элемента. Модули этого типа называются свободными , и если R имеет инвариантное базисное число (например, любое коммутативное кольцо или поле), то число n является рангом свободного модуля.
Если M _n ( R ) — кольцо матриц размера n × n над кольцом R , M — M _n ( R )-модуль, а e _i — матрица размера n × n с 1 в ( i , i ) -элементе (и нулями в остальных местах), то e _i M — R -модуль, поскольку re _i m = e _i rm ∈ e _i M . Поэтому M распадается как прямая сумма R -модулей , M = e ₁M ⊕ ... ⊕ e _n M . Обратно, если задан R -модуль M ₀ , то M ₀^⊕ⁿ — M _n ( R )-модуль. Фактически, категория R -модулей и категория M _n ( R )-модулей эквивалентны . Особый случай состоит в том, что модуль M — это просто R как модуль над собой, тогда R ⁿ — M _n ( R )-модуль.
Если S — непустое множество , M — левый R -модуль, а M ^S — набор всех функций f : S → M , то при сложении и скалярном умножении в M ^{S ,} определенных поточечно как ( f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s ) и ( rf )( s ) = rf ( s ) , M ^S — левый R -модуль. Случай правого R -модуля аналогичен. В частности, если R коммутативен, то набор гомоморфизмов R-модулей h : M → N ( см. ниже) является R -модулем (и фактически подмодулем N ^M ).
Если X — гладкое многообразие , то гладкие функции из X в действительные числа образуют кольцо C ^∞ ( X ). Множество всех гладких векторных полей , определенных на X, образует модуль над C ^∞ ( X ), и то же самое делают тензорные поля и дифференциальные формы на X . В более общем смысле, сечения любого векторного расслоения образуют проективный модуль над C ^∞ ( X ), и по теореме Свана каждый проективный модуль изоморфен модулю сечений некоторого векторного расслоения; категория C ∞ ⁽ X ) -модулей и категория векторных расслоений над X эквивалентны .
Если R — любое кольцо, а I — любой левый идеал в R , то I — левый R -модуль, и аналогично правые идеалы в R являются правыми R -модулями.
Если R — кольцо, мы можем определить противоположное кольцо R ^op , которое имеет то же самое базовое множество и ту же самую операцию сложения, но противоположное умножение: если ab = c в R , то ba = c в R ^op . Тогда любой левый R -модуль M можно рассматривать как правый модуль над R ^op , а любой правый модуль над R можно считать левым модулем над R ^op .
Модули над алгеброй Ли — это (ассоциативная алгебра) модули над ее универсальной обертывающей алгеброй .
Если R и S — кольца с гомоморфизмом колец φ : R → S , то каждый S -модуль M является R -модулем, определяя rm = φ ( r ) m . В частности, само S является таким R -модулем.

Подмодули и гомоморфизмы

Предположим, что M — левый R -модуль, а N — подгруппа M. Тогда N является подмодулем (или, более явно, R -подмодулем), если для любого n из N и любого r из R произведение r ⋅ n (или n ⋅ r для правого R -модуля) содержится в N .

Если X является любым подмножеством R -модуля M , то подмодуль, натянутый на X, определяется как такой , где N пробегает подмодули M , содержащие X , или явно , что важно в определении тензорных произведений модулей . ^[3] ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ ${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in R,x_{i}\in X\right\}}$

Множество подмодулей данного модуля M вместе с двумя бинарными операциями + (модуль, натянутый на объединение аргументов) и ∩ образует решетку, которая удовлетворяет модулярному закону : если даны подмодули U , N ₁ , N ₂ модуля M, такие, что N ₁ ⊆ N ₂ , то следующие два подмодуля равны: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Если M и N — левые R -модули, то отображение f : M → N является гомоморфизмом R -модулей , если для любых m , n из M и r , s из R ,

f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)

Это, как и любой гомоморфизм математических объектов, является просто отображением, сохраняющим структуру объектов. Другое название гомоморфизма R -модулей - R - линейное отображение .

Биективный гомоморфизм модулей f : M → N называется изоморфизмом модулей , а два модуля M и N называются изоморфными . Два изоморфных модуля идентичны для всех практических целей, отличаясь только обозначениями для своих элементов.

Ядром гомоморфизма модулей f : M → N является подмодуль M , состоящий из всех элементов, которые f обращает в ноль , а образом f является подмодуль N, состоящий из значений f ( m ) для всех элементов m из M. [ 4 ^] Теоремы об изоморфизме, известные из групп и векторных пространств, справедливы также для R -модулей.

Для кольца R множество всех левых R -модулей вместе с их модульными гомоморфизмами образует абелеву категорию , обозначаемую R - Mod (см. категорию модулей ).

Типы модулей

Конечно сгенерированный: R -модуль M конечно порождён, если в M существует конечное число элементов x ₁ , ..., x _n таких, что каждый элемент M является линейной комбинацией этих элементов с коэффициентами из кольца R .
Циклический: Модуль называется циклическим, если он порождается одним элементом.
Бесплатно: Свободный R -модуль — это модуль, имеющий базис, или, что эквивалентно, модуль, изоморфный прямой сумме копий кольца R. Это модули, которые ведут себя очень похоже на векторные пространства.
Проективный: Проективные модули являются прямыми слагаемыми свободных модулей и разделяют многие из их желательных свойств.
Инъекционный: Инъективные модули определяются двойственно проективным модулям.
Плоский: Модуль называется плоским , если его тензорное произведение на любую точную последовательность R -модулей сохраняет точность.
Без кручения: Модуль называется некрутящимся, если он вкладывается в свой алгебраический двойственный .
Простой: Простой модуль S — это модуль, который не является {0} и единственными подмодулями которого являются {0} и S. Простые модули иногда называют неприводимыми . ^[5]
Полупростой: Полупростой модуль — это прямая сумма (конечная или нет) простых модулей. Исторически такие модули также называются вполне приводимыми .
Неразложимый: Неразложимый модуль — это ненулевой модуль, который не может быть записан как прямая сумма двух ненулевых подмодулей. Каждый простой модуль неразложим, но существуют неразложимые модули, которые не являются простыми (например, однородные модули ).
Верный: Точный модуль M — это модуль, в котором действие каждого r ≠ 0 в R на M нетривиально (т.е. r ⋅ x ≠ 0 для некоторого x из M ). Эквивалентно, аннулятор M — это нулевой идеал .
Без кручения: Модуль без кручения — это модуль над кольцом, в котором 0 является единственным элементом, который аннулируется регулярным элементом (не делителем нуля ) кольца, что эквивалентно rm = 0 влечет r = 0 или m = 0 .
нётеровский: Нётеров модуль — это модуль, который удовлетворяет условию возрастающей цепи на подмодулях, то есть каждая возрастающая цепь подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов. Эквивалентно, каждый подмодуль конечно порожден.
артинский: Артинов модуль — это модуль, удовлетворяющий условию убывающей цепи подмодулей, то есть каждая убывающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.
Оцененный: Градуированный модуль — это модуль с разложением в прямую сумму M = ⨁ _x M _x над градуированным кольцом R = ⨁ _x R _x таким, что R _x M _y ⊆ M _{x + y} для всех x и y .
Униформа: Равномерный модуль — это модуль, в котором все пары ненулевых подмодулей имеют ненулевое пересечение.

Дальнейшие понятия

Отношение к теории репрезентации

Представление группы G над полем k — это модуль над групповым кольцом k [ G ].

Если M является левым R -модулем, то действие элемента r в R определяется как отображение M → M , которое переводит каждый x в rx (или xr в случае правого модуля) и обязательно является групповым эндоморфизмом абелевой группы ( M , +) . Множество всех групповых эндоморфизмов M обозначается End _Z ( M ) и образует кольцо относительно сложения и композиции , а отправка кольцевого элемента r из R его действию фактически определяет кольцевой гомоморфизм из R в End _Z ( M ).

Такой кольцевой гомоморфизм R → End _Z ( M ) называется представлением R над абелевой группой M ; альтернативный и эквивалентный способ определения левых R -модулей состоит в том, чтобы сказать, что левый R -модуль является абелевой группой M вместе с представлением R над ней. Такое представление R → End _Z ( M ) можно также назвать кольцевым действием R на M .

Представление называется точным тогда и только тогда, когда отображение R → End _Z ( M ) является инъективным . В терминах модулей это означает, что если r — элемент R такой, что rx = 0 для всех x из M , то r = 0 . Каждая абелева группа является точным модулем над целыми числами или над некоторым кольцом целых чисел по модулю n , Z / n Z .

Обобщения

Кольцо R соответствует предаддитивной категории R с единственным объектом . При таком понимании левый R -модуль — это просто ковариантный аддитивный функтор из R в категорию Ab абелевых групп , а правые R -модули — контравариантные аддитивные функторы. Это предполагает, что если C — любая предаддитивная категория, то ковариантный аддитивный функтор из C в Ab следует считать обобщенным левым модулем над C . Эти функторы образуют функторную категорию C - Mod , которая является естественным обобщением модульной категории R - Mod .

Модули над коммутативными кольцами можно обобщить в другом направлении: взять кольчатое пространство ( X , O _X ) и рассмотреть пучки O _X -модулей (см. пучок модулей ). Они образуют категорию O _X - Mod и играют важную роль в современной алгебраической геометрии . Если X имеет только одну точку, то это категория модулей в старом смысле над коммутативным кольцом O _X ( X ).

Можно также рассматривать модули над полукольцом . Модули над кольцами являются абелевыми группами, но модули над полукольцами являются только коммутативными моноидами . Большинство приложений модулей по-прежнему возможны. В частности, для любого полукольца S матрицы над S образуют полукольцо, над которым кортежи элементов из S являются модулем (только в этом обобщенном смысле). Это позволяет провести дальнейшее обобщение концепции векторного пространства , включив в него полукольца из теоретической информатики.

Над почти кольцами можно рассматривать почти кольцевые модули, неабелево обобщение модулей. ^{[ необходима цитата ]}

Смотрите также

Примечания

^ Хангерфорд (1974) Алгебра , Springer, стр. 169: «Модули над кольцом являются обобщением абелевых групп (которые являются модулями над Z)».
^ Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7.
^ Макгерти, Кевин (2016). «АЛГЕБРА II: КОЛЬЦА И МОДУЛИ» (PDF) .
^ Эш, Роберт. "Основы модуля" (PDF) . Абстрактная алгебра: базовый выпускной год .
^ Якобсон (1964), стр. 4, Определение 1

Ссылки

FW Anderson и KR Fuller: Кольца и категории модулей , Graduate Texts in Mathematics, т. 13, 2-е изд., Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1992, ISBN 0-387-97845-3 , ISBN 3-540-97845-3
Натан Якобсон . Структура колец . Colloquium publications, Vol. 37, 2nd Ed., AMS Bookstore, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

Внешние ссылки

«Модуль», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
модуль в n Lab