В математике , в частности в теории колец , простые модули над кольцом R — это (левые или правые) модули над кольцом R , которые не равны нулю и не имеют ненулевых собственных подмодулей . Эквивалентно, модуль M является простым тогда и только тогда, когда каждый циклический подмодуль, порождённый ненулевым элементом M, равен M. Простые модули образуют строительные блоки для модулей конечной длины , и они аналогичны простым группам в теории групп .
В этой статье все модули будут предполагаться правыми унитальными модулями над кольцом R.
Z -модули - это то же самое, что и абелевы группы , поэтому простой Z -модуль - это абелева группа, не имеющая ненулевых собственных подгрупп . Это циклические группы простого порядка .
Если I — правый идеал R , то I прост как правый модуль тогда и только тогда, когда I — минимальный ненулевой правый идеал: Если M — ненулевой собственный подмодуль I , то он также является правым идеалом, поэтому I не минимален. Обратно , если I не минимален, то существует ненулевой правый идеал J, собственно содержащийся в I. J — правый подмодуль I , поэтому I не прост.
Если I — правый идеал R , то фактор-модуль R / I прост тогда и только тогда, когда I — максимальный правый идеал: Если M — ненулевой собственный подмодуль R / I , то прообраз M при фактор-отображении R → R / I — правый идеал, который не равен R и который собственно содержит I . Следовательно, I не является максимальным. Обратно, если I не является максимальным, то существует правый идеал J , собственно содержащий I . Фактор-отображение R / I → R / J имеет ненулевое ядро , которое не равно R / I , и поэтому R / I не является простым.
Каждый простой R -модуль изоморфен фактору R / m , где m - максимальный правый идеал R . [1] Согласно предыдущему абзацу любой фактор R / m является простым модулем. Обратно, предположим, что M - простой R -модуль. Тогда для любого ненулевого элемента x из M циклический подмодуль xR должен быть равен M . Зафиксируем такой x . Утверждение, что xR = M , эквивалентно сюръективности гомоморфизма R → M , который переводит r в xr . Ядро этого гомоморфизма - правый идеал I из R , и стандартная теорема утверждает, что M изоморфен R / I . Согласно предыдущему абзацу мы находим, что I - максимальный правый идеал. Следовательно, M изоморфен фактору R по максимальному правому идеалу.
Если k — поле , а G — группа , то групповое представление G — это левый модуль над групповым кольцом k [ G ] (подробнее см. на главной странице об этой связи ). [2] Простые k [ G ]-модули также известны как неприводимые представления. Основной целью теории представлений является понимание неприводимых представлений групп.
Простые модули — это именно модули длины 1; это переформулировка определения.
Каждый простой модуль неразложим , но обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Каждый простой модуль является циклическим , то есть он порождается одним элементом.
Не каждый модуль имеет простой подмодуль; рассмотрим, например, Z -модуль Z в свете первого примера выше.
Пусть M и N — (левые или правые) модули над одним и тем же кольцом, и пусть f : M → N — гомоморфизм модулей. Если M — простой, то f — либо нулевой гомоморфизм, либо инъективен , поскольку ядро f является подмодулем M . Если N — простой, то f — либо нулевой гомоморфизм, либо сюръективен, поскольку образ f является подмодулем N . Если M = N , то f — эндоморфизм M , а если M — простой, то из предыдущих двух утверждений следует, что f — либо нулевой гомоморфизм, либо изоморфизм. Следовательно, кольцо эндоморфизмов любого простого модуля является телом . Этот результат известен как лемма Шура .
Обратное утверждение леммы Шура в общем случае неверно. Например, Z - модуль Q не является простым, но его кольцо эндоморфизмов изоморфно полю Q.
Если M — модуль, имеющий ненулевой собственный подмодуль N , то существует короткая точная последовательность
Обычный подход к доказательству факта о M состоит в том, чтобы показать, что факт верен для центрального члена короткой точной последовательности, когда он верен для левого и правого членов, а затем доказать факт для N и M / N . Если N имеет ненулевой собственный подмодуль, то этот процесс можно повторить. Это создает цепочку подмодулей
Чтобы доказать этот факт таким образом, нужны условия на эту последовательность и на модули M i / M i + 1 . Одно особенно полезное условие состоит в том, что длина последовательности конечна, а каждый фактор-модуль M i / M i + 1 является простым. В этом случае последовательность называется композиционным рядом для M . Чтобы доказать утверждение индуктивно с помощью композиционного ряда, утверждение сначала доказывается для простых модулей, которые образуют базовый случай индукции, а затем доказывается, что утверждение остается верным при расширении модуля простым модулем. Например, лемма Фиттинга показывает, что кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины является локальным кольцом , так что верна сильная теорема Крулля–Шмидта , а категория модулей конечной длины является категорией Крулля–Шмидта .
Теорема Жордана–Гёльдера и теорема Шрайера об уточнении описывают отношения между всеми композиционными рядами одного модуля. Группа Гротендика игнорирует порядок в композиционном ряде и рассматривает каждый модуль конечной длины как формальную сумму простых модулей. Над полупростыми кольцами это не потеря, так как каждый модуль является полупростым модулем и, следовательно, прямой суммой простых модулей. Обычная теория характеров обеспечивает лучший арифметический контроль и использует простые модули C G для понимания структуры конечных групп G . Модульная теория представлений использует характеры Брауэра для рассмотрения модулей как формальных сумм простых модулей, но также интересуется тем, как эти простые модули соединяются вместе в композиционных рядах. Это формализуется путем изучения функтора Ext и описания категории модулей различными способами, включая колчаны (узлы которых являются простыми модулями, а ребра — композиционными рядами неполупростых модулей длины 2) и теорию Ауслендера–Райтена , где ассоциированный граф имеет вершину для каждого неразложимого модуля.
Важным достижением в теории простых модулей стала теорема плотности Джекобсона . Теорема плотности Джекобсона гласит:
В частности, любое примитивное кольцо можно рассматривать как (то есть изоморфное) кольцо D -линейных операторов на некотором D -пространстве.
Следствием теоремы плотности Джекобсона является теорема Веддерберна; а именно, что любое правое артиново простое кольцо изоморфно полному матричному кольцу матриц размера n на n над телом для некоторого n . Это также может быть установлено как следствие теоремы Артина –Веддерберна .
