Состояние восходящей цепи

В математике условие возрастающей цепи ( ACC ) и условие нисходящей цепи ( DCC ) являются свойствами конечности, которым удовлетворяют некоторые алгебраические структуры , особенно идеалы в некоторых коммутативных кольцах . ^{[1] [2] [3]} Эти условия сыграли важную роль в развитии структурной теории коммутативных колец в работах Дэвида Гильберта , Эмми Нётер и Эмиля Артина . Сами условия можно сформулировать в абстрактной форме, чтобы они имели смысл для любого частично упорядоченного множества . Эта точка зрения полезна в абстрактной алгебраической теории размерности благодаря Габриэлю и Рентшлеру.

Определение

Говорят, что частично упорядоченное множество ( ЧУУ) P удовлетворяет условию возрастающей цепи (ACC), если не существует бесконечной строго возрастающей последовательности.

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }$

элементов P существует. ^[4] Эквивалентно, ^[a] каждая слабо возрастающая последовательность

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}$

элементов P в конечном итоге стабилизируется, а это означает, что существует целое положительное число n такое, что

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

Аналогично, говорят , что P удовлетворяет условию нисходящей цепи (DCC), если не существует бесконечной нисходящей цепочки элементов P . ^[4] Эквивалентно, каждая слабо убывающая последовательность

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

элементов P со временем стабилизируется.

Комментарии

• Принимая аксиому зависимого выбора , условие нисходящей цепи на (возможно, бесконечном) частично упорядоченном множестве P эквивалентно обоснованности P : каждое непустое подмножество P имеет минимальный элемент (также называемый минимальным условием или условием минимума ). Полностью упорядоченное множество , которое является хорошо обоснованным, — это хорошо упорядоченное множество .
• Аналогично, условие возрастающей цепи эквивалентно обратному обоснованию P (опять же, при условии зависимого выбора): каждое непустое подмножество P имеет максимальный элемент ( условие максимального или условие максимума ).
• Каждое конечное ЧУУ удовлетворяет условиям как восходящей, так и нисходящей цепи и, таким образом, является одновременно обоснованным и обратно обоснованным.

Пример

Рассмотрим кольцо

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$

целых чисел. Каждый идеал состоит из всех кратных некоторому числу . Например, идеал ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}$

состоит из всех кратных . Позволять ${\displaystyle 6}$

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}$

быть идеалом, состоящим из всех кратных . Идеал содержится внутри идеала , поскольку каждое кратное также кратно . В свою очередь идеал содержится в идеале , так как каждое кратное есть кратное . Однако на данный момент большего идеала не существует; мы «достигли максимума» в . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Вообще, если есть такие идеалы , которые содержатся в , содержатся в и т. д., то есть такие, для которых все . То есть через какой-то момент все идеалы становятся равными друг другу. Следовательно, идеалы удовлетворяют условию возрастающей цепочки, где идеалы упорядочиваются путем включения множества. Следовательно, — нётерово кольцо . ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смотрите также

• Артиниан
• Условие восходящей цепи для главных идеалов
• Размер Крулля
• Максимальное условие на сравнениях
• нетеровский

Примечания

1. Доказательство: во-первых, очевидно, что строго возрастающая последовательность не может стабилизироваться. И наоборот, предположим, что существует возрастающая последовательность, которая не стабилизируется; тогда очевидно, что она содержит строго возрастающую (обязательно бесконечную) подпоследовательность.

Цитаты

1. Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004, с. 6, предложение 1.1.4.
2. Фрэли и Кац 1967, с. 366, Лемма 7.1.
3. Джейкобсон 2009, стр. 142, 147.
4. Хазевинкель, с. 580

Рекомендации

• Атья, Миссури ; Макдональд, IG (1969), Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, ISBN 0-201-00361-9
• Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Кириченко, В.В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Kluwer Academic Publishers , ISBN 1-4020-2690-0
• Хазевинкель, Михель. Энциклопедия математики . Клювер. ISBN 1-55608-010-7.
• Фрели, Джон Б.; Кац, Виктор Дж. (1967), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-53467-3
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра I , Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1

Внешние ссылки

• «Является ли эквивалентность условия восходящей цепи и условия максимума аксиоме зависимого выбора?».