Артинский модуль

Модуль, удовлетворяющий условию нисходящей цепочки на подмодулях

В математике , особенно в абстрактной алгебре , артинов модуль — это модуль , который удовлетворяет условию нисходящей цепи на своем частичном наборе подмодулей . Они являются для модулей тем же, чем артиновы кольца для колец , а кольцо артиново тогда и только тогда, когда оно является артиновым модулем над собой (с левым или правым умножением). Обе концепции названы в честь Эмиля Артина .

При наличии аксиомы ( зависимого ) выбора условие нисходящей цепи становится эквивалентным условию минимума , и поэтому его можно использовать в определении вместо этого.

Как и нетеровы модули , артиновы модули обладают следующим свойством наследственности:

• Если M — артинов R- модуль, то таковы любой подмодуль и любой фактор M .

Обратное также справедливо :

• Если M — любой R -модуль и N — любой артинов подмодуль такой, что M / N артинов, то M артинов.

Как следствие, любой конечно порожденный модуль над артиновым кольцом является артиновым. ^[1] Поскольку артиново кольцо также является нётеровым кольцом , а конечно порождённые модули над нётеровым кольцом нётеровы, ^[1] верно, что для артинова кольца R любой конечно порождённый R- модуль является и нетеровым, и артиновым. , и говорят, что он имеет конечную длину . Отсюда также следует, что любой конечно порожденный артинов модуль является нетеровым даже без предположения, что R артинов. Однако, если R не артиново и M не конечно порождено, существуют контрпримеры.

Левые и правые артиновы кольца, модули и бимодули.

Кольцо R можно рассматривать как правый модуль, где действие является естественным, заданным умножением кольца справа. R называется правым артиновым, если этот правый модуль R является артиновым модулем. Аналогично делается определение «левого артинова кольца». Для некоммутативных колец это различие необходимо, поскольку кольцо может быть артиновым с одной стороны, но не с другой.

Прилагательные «левый-правый» обычно не нужны для модулей, поскольку модуль M обычно вначале задается как левый или правый R -модуль. Однако возможно, что M может иметь как левую, так и правую R -модульную структуру, и тогда наименование M артиновым неоднозначно, и возникает необходимость выяснить, какая структура модуля является артиновой. Чтобы разделить свойства двух структур, можно злоупотреблять терминологией и называть M лево-артиновым или право-артиновым, тогда как, строго говоря, корректно сказать, что M с его левым R -модульной структурой является артиновым.

Появление модулей с левой и правой структурой не является чем-то необычным: например, сам R имеет структуру левого и правого R -модуля. Фактически это пример бимодуля , и абелева группа M может быть превращена в левый R и правый S бимодуль для другого кольца S. Действительно, любой правый модуль M автоматически является левым модулем над кольцом целых Z и, более того, является Z - R -бимодулем. Например, рассмотрим рациональные числа Q как Z - Q -бимодуль естественным образом. Тогда Q не артинов как левый Z -модуль, но артинов как правый Q -модуль.

Артиново условие также может быть определено на бимодульных структурах: артинов бимодуль — это бимодуль , частично упорядоченное множество подбимодулей которого удовлетворяет условию нисходящей цепи. Поскольку подбимодуль R - S -бимодуля M является тем более левым R -модулем, то если M , рассматриваемый как левый R -модуль, был артиновым, то M автоматически является артиновым бимодулем. Однако может случиться так, что бимодуль будет артиновым, но его левая или правая структуры не будут артиновыми, как покажет следующий пример.

Пример: Хорошо известно, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа, и в этом случае оно является полупростым кольцом . Пусть R — простое кольцо, не артиново справа. Тогда оно тоже не осталось артинианским. Если рассматривать R как R - R -бимодуль естественным образом, то его подбимодули являются в точности идеалами R . Поскольку R прост, их только два: R и нулевой идеал . Таким образом, бимодуль R артинов как бимодуль, но не артинов как левый или правый R -модуль над собой.

Связь с нётеровским состоянием

В отличие от колец, существуют артиновы модули, которые не являются нётеровыми модулями . Например, рассмотрим p -примарную компоненту группы , то есть изоморфную p - квазициклической группе , рассматриваемой как -модуль. Цепочка не заканчивается, поэтому (и, следовательно , ) не нётерова. Однако каждая нисходящая цепочка (без ограничения общности) собственных подмодулей завершается: каждая такая цепочка имеет вид для некоторых целых чисел , а включение подразумевает, что необходимо делить . То же самое относится и к убывающей последовательности натуральных чисел. Таким образом, последовательность завершается, превращаясь в артиниан. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \subset \cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \langle 1/n_{1}\rangle \supseteq \langle 1/n_{2}\rangle \supseteq \langle 1/n_{3}\rangle \supseteq \cdots }$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \langle 1/n_{i+1}\rangle \subseteq \langle 1/n_{i}\rangle }$ ${\displaystyle n_{i+1}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$

Обратите внимание, что это также верный модуль. Итак, это также является примером точного артинова модуля над неартиновым кольцом. Этого не происходит в нётеровском случае; Если M — точный нетеров модуль над A, то A также нетеров. ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Над коммутативным кольцом каждый циклический артинов модуль также нетеров, но над некоммутативными кольцами циклические артиновы модули могут иметь несчетную длину , как показано в статье Хартли и хорошо резюмировано в статье Пола Кона, посвященной памяти Хартли.

Другим важным результатом является теорема Акизуки-Хопкинса-Левицкого , которая утверждает, что артиновы и нётеровы условия эквивалентны для модулей над полупримарным кольцом .

Смотрите также

• Нётеров модуль
• Состояние восходящей/нисходящей цепи
• Композиционная серия
• Размер Крулля

Примечания

1. Лам (2001), Предложение 1.21, с. 19.

Рекомендации

• Атья, Миссури ; Макдональд, И.Г. (1969). «Глава 6. Условия цепи; Глава 8. Кольца Артина». Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Кон, премьер-министр (1997). «Циклические артиновы модули без композиционного ряда». Дж. Лондон Математика. Соц . Серия 2. 55 (2): 231–235. дои : 10.1112/S0024610797004912. МР  1438626.
• Хартли, Б. (1977). «Несчетные артиновы модули и несчетные разрешимые группы, удовлетворяющие Min-n». Учеб. Лондонская математика. Соц . Ряд 3. 35 (1): 55–75. дои : 10.1112/plms/s3-35.1.55. МР  0442091.
• Лам, Тайвань (2001). «Глава 1. Теория Веддерберна-Артина». Первый курс некоммутативных колец . Спрингер Верлаг. ISBN 978-0-387-95325-0.