В математике , в частности в теории категорий , предаддитивная категория — это другое название Ab-категории , то есть категории , которая обогащена над категорией абелевых групп , Ab . То есть, Ab-категория C — это категория , такая что каждое hom-множество Hom( A , B ) в C имеет структуру абелевой группы, а композиция морфизмов является билинейной , в том смысле, что композиция морфизмов распределяется по групповой операции. В формулах: и где + — групповая операция.
Некоторые авторы использовали термин «аддитивная категория» для преаддитивных категорий, но на этой странице этот термин зарезервирован для определенных специальных преаддитивных категорий (см. § Особые случаи ниже).
Наиболее очевидным примером предаддитивной категории является сама категория Ab . Точнее, Ab — замкнутая моноидальная категория . Обратите внимание, что коммутативность здесь имеет решающее значение; она гарантирует, что сумма двух групповых гомоморфизмов снова является гомоморфизмом. Напротив, категория всех групп не замкнута. См. Медиальная категория.
Другие распространенные примеры:
Это даст вам представление о том, о чем следует думать; для получения дополнительных примеров перейдите по ссылкам на § Особые случаи ниже.
Поскольку каждое hom-множество Hom( A , B ) является абелевой группой, оно имеет нулевой элемент 0. Это нулевой морфизм из A в B . Поскольку композиция морфизмов билинейна, композиция нулевого морфизма и любого другого морфизма (с любой стороны) должна быть другим нулевым морфизмом. Если вы думаете о композиции как об аналоге умножения, то это говорит о том, что умножение на ноль всегда приводит к произведению нуля, что является знакомой интуицией. Расширяя эту аналогию, тот факт, что композиция билинейна в общем случае, становится дистрибутивностью умножения относительно сложения.
Сосредоточившись на единственном объекте A в предаддитивной категории, эти факты говорят, что эндоморфизм hom-set Hom( A , A ) является кольцом , если мы определим умножение в кольце как композицию. Это кольцо является кольцом эндоморфизмов A . Наоборот, каждое кольцо (с единицей ) является кольцом эндоморфизмов некоторого объекта в некоторой предаддитивной категории. Действительно, если задано кольцо R , мы можем определить предаддитивную категорию R так, чтобы она имела единственный объект A , пусть Hom( A , A ) будет R , а композиция будет кольцевым умножением. Поскольку R является абелевой группой, а умножение в кольце является билинейной (дистрибутивной), это делает R предаддитивной категорией. Сторонники теории категорий часто думают о кольце R и категории R как о двух различных представлениях одного и того же, так что особенно извращенный сторонник теории категорий может определить кольцо как предаддитивную категорию с ровно одним объектом (точно так же, как моноид можно рассматривать как категорию только с одним объектом — и забывая об аддитивной структуре кольца, мы получаем моноид).
Таким образом, предаддитивные категории можно рассматривать как обобщение колец. Многие концепции из теории колец, такие как идеалы , радикалы Джекобсона и фактор-кольца , можно обобщить простым способом на эту установку. При попытке записать эти обобщения следует думать о морфизмах в предаддитивной категории как об «элементах» «обобщенного кольца».
Если и являются предаддитивными категориями, то функтор аддитивен , если он также обогащен над категорией . То есть, является аддитивным тогда и только тогда, когда , учитывая любые объекты и из , функция является гомоморфизмом групп . Большинство функторов, изученных между предаддитивными категориями, являются аддитивными.
В качестве простого примера, если кольца и представлены однообъектными предаддитивными категориями и , то гомоморфизм колец из в представляется аддитивным функтором из в , и наоборот.
Если и являются категориями и является предаддитивной, то категория функторов также является предаддитивной, поскольку естественные преобразования могут быть добавлены естественным образом. Если также является предаддитивной, то категория аддитивных функторов и всех естественных преобразований между ними также является предаддитивной.
Последний пример приводит к обобщению модулей над кольцами: если — предаддитивная категория, то называется категорией модулей над . [ требуется ссылка ] Когда — однообъектная предаддитивная категория, соответствующая кольцу , это сводится к обычной категории (левых) -модулей . Опять же, практически все концепции из теории модулей могут быть обобщены на эту установку.
В более общем случае можно рассмотреть категорию C, обогащенную над моноидальной категорией модулей над коммутативным кольцом R , называемую R -линейной категорией . Другими словами, каждое hom-множество в C имеет структуру R -модуля, а композиция морфизмов является R -билинейной.
При рассмотрении функторов между двумя R -линейными категориями часто ограничиваются теми, которые являются R -линейными, то есть теми, которые индуцируют R -линейные отображения на каждом hom-множестве.
Любой конечный продукт в предаддитивной категории должен быть также копродуктом , и наоборот. Фактически, конечные продукты и копродукты в предаддитивных категориях могут быть охарактеризованы следующим условием бипродукта :
Это бипроизведение часто записывается как A 1 ⊕ ··· ⊕ A n , заимствуя обозначение для прямой суммы . Это потому, что бипроизведение в хорошо известных предаддитивных категориях, таких как Ab , является прямой суммой. Однако, хотя бесконечные прямые суммы имеют смысл в некоторых категориях, таких как Ab , бесконечные бипроизведения не имеют смысла (см. Категория абелевых групп § Свойства ).
Условие бипроизведения в случае n = 0 радикально упрощается; B является нульарным бипроизведением тогда и только тогда, когда тождественный морфизм B является нулевым морфизмом из B в себя, или, что эквивалентно, если hom-множество Hom( B , B ) является тривиальным кольцом . Обратите внимание, что поскольку нульарное бипроизведение будет как конечным (нульарное произведение), так и начальным (нульарное копроизведение), оно фактически будет нулевым объектом . Действительно, термин «нулевой объект» возник при изучении предаддитивных категорий, таких как Ab , где нулевой объект является нулевой группой .
Предаддитивная категория, в которой существует каждый бипродукт (включая нулевой объект), называется аддитивной . Дополнительные факты о бипродуктах, которые в основном полезны в контексте аддитивных категорий, можно найти в этой теме.
Поскольку hom-множества в предаддитивной категории имеют нулевые морфизмы, понятия ядра и коядра имеют смысл. То есть, если f : A → B — морфизм в предаддитивной категории, то ядро f является уравнителем f и нулевым морфизмом из A в B , тогда как коядро f является соуравнителем f и этого нулевого морфизма. В отличие от произведений и копроизведений, ядро и коядро f , как правило, не равны в предаддитивной категории.
При специализации на предаддитивных категориях абелевых групп или модулей над кольцом это понятие ядра совпадает с обычным понятием ядра гомоморфизма , если отождествить обычное ядро K гомоморфизма f : A → B с его вложением K → A. Однако в общей предаддитивной категории могут существовать морфизмы без ядер и/или коядер.
Существует удобная связь между ядром и коядром и структурой абелевой группы на hom-множествах. При наличии параллельных морфизмов f и g уравнитель f и g является просто ядром g − f , если существует любой из них, и аналогичный факт верен для коуравнителей. Альтернативный термин «ядро разности» для бинарных уравнителей вытекает из этого факта.
Предаддитивная категория, в которой существуют все бипродукты, ядра и коядра, называется предабелевой . Дополнительные факты о ядрах и коядрах в предаддитивных категориях, которые в основном полезны в контексте предабелевых категорий, можно найти в этой теме.
Большинство этих особых случаев предаддитивных категорий были упомянуты выше, но они собраны здесь для справки.
Наиболее часто изучаемые предаддитивные категории на самом деле являются абелевыми категориями; например, Ab является абелевой категорией.
