В математике , в частности в теории категорий , аддитивная категория — это предаддитивная категория C, допускающая все конечные бинарные произведения .
Существует два эквивалентных определения аддитивной категории: одно — как категории , снабженной дополнительной структурой, и другое — как категории, не снабженной дополнительной структурой , но чьи объекты и морфизмы удовлетворяют определенным уравнениям.
Категория C предаддитивна, если все ее hom-множества являются абелевыми группами , а композиция морфизмов билинейна ; другими словами, C обогащается над моноидальной категорией абелевых групп.
В предаддитивной категории каждый финитный продукт (включая пустой продукт, т. е. конечный объект ) обязательно является копродуктом (или начальным объектом в случае пустой диаграммы) и, следовательно, бипродуктом , и наоборот, каждый финитный копродукт обязательно является продуктом (это следствие определения, а не его часть).
Таким образом, аддитивная категория эквивалентно описывается как предаддитивная категория, допускающая все финитные произведения, или предаддитивная категория, допускающая все финитные копроизведения.
Мы даём альтернативное определение.
Определим полуаддитивную категорию как категорию (заметьте: не предаддитивную категорию), которая допускает нулевой объект и все бинарные бипроизведения . Тогда это замечательная теорема, что множества Hom естественным образом допускают абелеву моноидную структуру. Доказательство этого факта приведено ниже.
Аддитивная категория может быть тогда определена как полуаддитивная категория, в которой каждый морфизм имеет аддитивный обратный . Это тогда дает множествам Hom структуру абелевой группы вместо просто структуры абелевой моноиды.
В более общем плане рассматриваются также аддитивные R -линейные категории для коммутативного кольца R. Это категории, обогащенные над моноидальной категорией R -модулей и допускающие все финитные бипроизведения.
Исходным примером аддитивной категории является категория абелевых групп Ab . Нулевой объект — тривиальная группа , сложение морфизмов задаётся поточечно , а бипроизведения задаются прямыми суммами .
В более общем смысле, каждая категория модулей над кольцом R аддитивна, и поэтому, в частности, категория векторных пространств над полем K аддитивна.
Алгебра матриц над кольцом, рассматриваемая как категория, описанная ниже, также является аддитивной.
Пусть C — полуаддитивная категория, то есть категория, имеющая все финитные бипроизведения. Тогда каждое hom-множество имеет дополнение, наделяющее его структурой абелева моноида , и такое, что композиция морфизмов является билинейной.
Более того, если C аддитивен, то два сложения на hom-множествах должны согласовываться. В частности, полуаддитивная категория аддитивна тогда и только тогда, когда каждый морфизм имеет аддитивный обратный.
Это показывает, что закон сложения для аддитивной категории является внутренним для этой категории. [1]
Чтобы определить закон сложения, мы будем использовать соглашение, что для бипроизведения p k будет обозначать морфизмы проекции, а i k будет обозначать морфизмы инъекции.
Для каждого объекта A мы определяем:
Тогда для k = 1, 2 имеем p k ∘ ∆ = 1 A и ∇ ∘ i k = 1 A .
Далее, если заданы два морфизма α k : A → B , то существует единственный морфизм α 1 ⊕ α 2 : A ⊕ A → B ⊕ B такой, что p l ∘ (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ i k равен α k , если k = l , и 0 в противном случае.
Поэтому мы можем определить α 1 + α 2 := ∇ ∘ (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ ∆ .
Это сложение является как коммутативным, так и ассоциативным. Ассоциативность можно увидеть, рассмотрев композицию
Имеем α + 0 = α , используя это, α ⊕ 0 = i 1 ∘ α ∘ p 1 .
Оно также является билинейным, если использовать, например, что ∆ ∘ β = (β ⊕ β) ∘ ∆ и что (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ (β 1 ⊕ β 2 ) = (α 1 ∘ β 1 ) ⊕ (α 2 ∘ β 2 ) .
Заметим, что для бипроизведения A ⊕ B мы имеем i 1 ∘ p 1 + i 2 ∘ p 2 = 1. Используя это, мы можем представить любой морфизм A ⊕ B → C ⊕ D в виде матрицы.
Для данных объектов A 1 , ..., An и B 1 , ... , B m в аддитивной категории мы можем представить морфизмы f : A 1 ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ An → B 1 ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ B m в виде матриц размером m на n.
Используя то, что ∑ k i k ∘ p k = 1 , следует, что сложение и композиция матриц подчиняются обычным правилам сложения и умножения матриц .
Таким образом, аддитивные категории можно рассматривать как наиболее общий контекст, в котором алгебра матриц имеет смысл.
Напомним, что морфизмы из одного объекта A в себя образуют кольцо эндоморфизмов End A. Если обозначить n -кратное произведение A с собой через A n , то морфизмы из A n в A m представляют собой матрицы размером m на n с элементами из кольца End A .
Наоборот, если задано любое кольцо R , мы можем образовать категорию Mat ( R ) , взяв объекты An , индексированные множеством натуральных чисел (включая ), и позволив hom-множеству морфизмов из An в Am быть множеством матриц размером m на n над R , и где композиция задается умножением матриц. [ 2] Тогда Mat ( R ) является аддитивной категорией, а An равна n - кратной степени ( A 1 ) n .
Эту конструкцию следует сравнить с результатом, что кольцо является предаддитивной категорией с единственным объектом, показанным здесь .
Если мы интерпретируем объект A n как левый модуль R n , то эта матричная категория становится подкатегорией категории левых модулей над R .
Это может сбивать с толку в особом случае, когда m или n равно нулю, потому что мы обычно не думаем о матрицах с 0 строками или 0 столбцами . Однако эта концепция имеет смысл: такие матрицы не имеют записей и поэтому полностью определяются своим размером. Хотя эти матрицы довольно вырождены, их нужно включить, чтобы получить аддитивную категорию, поскольку аддитивная категория должна иметь нулевой объект.
Однако размышления о таких матрицах могут быть полезны в одном отношении: они подчеркивают тот факт, что для любых объектов A и B в аддитивной категории существует ровно один морфизм из A в 0 (так же, как существует ровно одна матрица размером 0 на 1 с записями в End A ) и ровно один морфизм из 0 в B (так же, как существует ровно одна матрица размером 1 на 0 с записями в End B ) — именно это и означает, что 0 является нулевым объектом . Более того, нулевой морфизм из A в B является композицией этих морфизмов, что можно вычислить путем умножения вырожденных матриц.
Функтор F : C → D между предаддитивными категориями аддитивен , если он является гомоморфизмом абелевой группы на каждом hom-множестве в C. Если категории аддитивны, то функтор аддитивен тогда и только тогда, когда он сохраняет все диаграммы бипродуктов .
То есть, если B является бипроизведением A 1 , ... , An в C с морфизмами проекции p k и морфизмами инъекции i j , то F ( B ) должен быть бипроизведением F ( A 1 ), ... , F ( An ) в D с морфизмами проекции F ( p j ) и морфизмами инъекции F ( i j ) .
Почти все функторы, изучаемые между аддитивными категориями, являются аддитивными. Фактически, это теорема, что все сопряженные функторы между аддитивными категориями должны быть аддитивными функторами (см. здесь ). Большинство интересных функторов, изучаемых в теории категорий, являются сопряженными.
При рассмотрении функторов между R -линейными аддитивными категориями обычно ограничиваются R -линейными функторами , то есть теми функторами, которые задают гомоморфизм R -модулей на каждом hom-множестве.
Многие обычно изучаемые аддитивные категории на самом деле являются абелевыми категориями; например, Ab является абелевой категорией. Свободные абелевы группы дают пример категории, которая является аддитивной, но не абелевой. [3]
