Бипродукт

В теории категорий и ее приложениях к математике бипроизведение конечного набора объектов в категории с нулевыми объектами является как произведением , так и копроизведением . В предаддитивной категории понятия произведения и копроизведения совпадают для конечных наборов объектов. ^[1] Бипроизведение является обобщением конечных прямых сумм модулей .

Определение

Пусть C — категория с нулевыми морфизмами _. Для данного конечного (возможно пустого) набора объектов A ₁ , ..., An в C их бипроизведение является объектом в C вместе с морфизмами ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$

• ${\textstyle p_{k}\!:A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}\to A_{k}}$в C ( проекционные морфизмы )
• ${\textstyle i_{k}\!:A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$( морфизмы вложения )

удовлетворяющий

• ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$, тождественный морфизм и ${\displaystyle A_{k},}$
• ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$, нулевой морфизм для ${\displaystyle A_{k}\to A_{l},}$ ${\displaystyle k\neq l,}$

и такой, что

• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$это продукт для и ${\textstyle A_{k},}$
• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$является сопутствующим продуктом для ${\textstyle A_{k}.}$

Если C предаддитивен и выполняются первые два условия, то каждое из последних двух условий эквивалентно при n > 0. ^[2] Пустой или нулевой , продукт всегда является конечным объектом в категории, а пустой копродукт всегда является начальным объектом в категории. Таким образом, пустой или нулевой , бипродукт всегда является нулевым объектом . ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+\dots +i_{n}\circ p_{n}=1_{A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}}$

Примеры

В категории абелевых групп бипроизведения всегда существуют и задаются прямой суммой . ^[3] Нулевой объект — тривиальная группа .

Аналогично, бипроизведения существуют в категории векторных пространств над полем . Бипроизведение снова является прямой суммой, а нулевой объект — тривиальным векторным пространством .

В более общем смысле, бипродукты существуют в категории модулей над кольцом .

С другой стороны, в категории групп не существует дополнительных продуктов . ^[4] Здесь продуктом является прямой продукт , а сопутствующим продуктом — свободный продукт .

Также, в категории множеств не существует бипроизведений . Ведь произведение задается декартовым произведением , тогда как копроизведение задается дизъюнктным объединением . Эта категория не имеет нулевого объекта.

Алгебра блочных матриц опирается на бипроизведения в категориях матриц . ^[5]

Характеристики

Если бипроизведение существует для всех пар объектов A и B в категории C , и C имеет нулевой объект, то существуют все конечные бипроизведения, что делает C как декартовой моноидальной категорией , так и ко-декартовой моноидальной категорией. ${\textstyle A\oplus B}$

Если произведение и копроизведение существуют для некоторой пары объектов A ₁ , A ₂ , то существует единственный морфизм такой, что ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle A_{1}\coprod A_{2}}$ ${\textstyle f:A_{1}\coprod A_{2}\to A_{1}\times A_{2}}$

• ${\displaystyle p_{k}\circ f\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}$
• ${\displaystyle p_{l}\circ f\circ i_{k}=0}$для ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\textstyle k\neq l.}$

Отсюда следует, что бипроизведение существует тогда и только тогда, когда f является изоморфизмом . ${\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}$

Если C — предаддитивная категория , то каждое конечное произведение является бипродуктом, а каждое конечное копроизведение является бипродуктом. Например, если существует, то существуют уникальные морфизмы, такие что ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$

• ${\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}$
• ${\displaystyle p_{l}\circ i_{k}=0}$для ${\textstyle k\neq l.}$

Чтобы увидеть, что теперь это также копроизведение, и, следовательно, бипроизведение, предположим, что у нас есть морфизмы для некоторого объекта . Определим Тогда есть морфизм из в , и для . ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle f:=f_{1}\circ p_{1}+f_{2}\circ p_{2}.}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle f\circ i_{k}=f_{k}}$ ${\textstyle k=1,2}$

В этом случае мы всегда имеем

• ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{A_{1}\times A_{2}}.}$

Аддитивная категория — это предаддитивная категория , в которой существуют все конечные бипроизведения. В частности, бипроизведения всегда существуют в абелевых категориях .

Ссылки

1. Борсо, 4-5
2. Сондерс Маклейн - Категории для практикующего математика, второе издание, стр. 194.
3. Борсо, 8
4. Борсо, 7
5. HD Macedo, JN Oliveira, Типизация линейной алгебры: подход, ориентированный на бипродукт, Science of Computer Programming, том 78, выпуск 11, 1 ноября 2013 г., страницы 2160–2191, ISSN  0167–6423, doi : 10.1016/j.scico.2012.07.012.

• Борсе, Фрэнсис (2008). Справочник по категориальной алгебре 2: Категории и структуры . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-06122-3.^{: Раздел 1.2}