Прямой продукт групп

В математике , особенно в теории групп , прямое произведение — это операция, которая берет две группы G $и$ H $и$ создает новую группу, обычно обозначаемую $G \times H.$ Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из нескольких важных понятий прямого произведения в математике.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначается . Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно фундаментальной теореме о конечных абелевых группах , каждая конечная абелева группа может быть выражена как прямая сумма циклических групп . $G\oplus H$

Определение

Учитывая группы $G$ (с операцией $*$ ) и $H$ (с операцией $∆$ ), прямое произведение $G \times H$ определяется следующим образом:

Базовым набором является декартово произведение $G \times H$ . То есть упорядоченные пары $(g, h)$ , где $g \in G$ и $h \in H.$
Бинарная операция над $G \times H$ определяется покомпонентно:
$(г 1, час 1) \cdot (г 2, час 2) знак равно (г 1 * г 2, час 1 ∆ час 2)$

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы. Конкретно:

Ассоциативность: Бинарная операция над $G \times H$ ассоциативна .
Личность: Прямое произведение имеет единичный элемент , а именно $(1 G, 1 H)$ , где $1 G$ — единичный элемент $G$ , а $1 H$ — единичный элемент $H.$
Инверсии: Обратный элемент $($ $g$ $,$ $h$ $)$ из $G$ $\times$ $H$ — это пара $($ $g$ $-1$ $,$ $h$ $-1$ $)$ $,$ где $g$ $-1$ — обратный элемент $g$ в G , а $h$ $-1$ — обратный элемент $h$ в $H.$ .

Примеры

Пусть $R$ — группа действительных чисел при сложении . Тогда прямое произведение $R \times R$ — это группа всех двухкомпонентных векторов $(x, y)$ при операции сложения векторов :

(Икс 1, y 1) + (Икс 2, y 2) знак равно (Икс 1 + Икс 2, y 1 + y 2)

Пусть $R +$ — группа положительных действительных чисел при умножении. Тогда прямое произведение $R + \times R +$ — это группа всех векторов в первом квадранте при операции покомпонентного умножения

(Икс 1, y 1) \times (Икс 2, y 2) знак равно (Икс 1 \times Икс 2, y 1 \times y 2)

Пусть $G$ и $H$ — циклические группы по два элемента каждая:

Тогда прямое произведение $G \times H$ изоморфно четырехгруппе Клейна :

Элементарные свойства

Прямое произведение коммутативно и ассоциативно с точностью до изоморфизма. То есть $G \times H ≅ H \times G$ и $(G \times H) \times K ≅ G \times (H \times K)$ для любых групп $G$ , $H$ и $K$ .
Тривиальная группа является единицей прямого произведения с точностью до изоморфизма. Если $E$ обозначает тривиальную группу, $G ≅ G \times E ≅ E \times G$ для любых групп $G$ .
Порядок прямого произведения $G$ $\times$ $H$ $—$ это произведение порядков $G$ и H :
$| Г \times Ч | = | г | | Ч |$ .
Это следует из формулы мощности декартова произведения множеств.
Порядок каждого элемента $(g, h)$ является наименьшим общим кратным порядков $g$ и $h$ : ^[1]
$| (г, час) | = lcm (| г |, | час |)$ .
В частности, если $| г |$ и $| ч |$ относительно просты , то порядок $(g, h)$ является произведением порядков $g$ и $h$ .
Как следствие, если $G$ и $H$ — циклические группы , порядки которых относительно просты, то $G \times H$ также является циклической. То есть, если $m$ и $n$ взаимно простые, то
$(Z / м Z) \times (Z / п Z) ≅ Z / мн Z$ .
Этот факт тесно связан с китайской теоремой об остатках .

Алгебраическая структура

Пусть $G$ и $H$ — группы, пусть P $= G \times H и$ рассмотрим следующие два подмножества P $:$

грамм' знак равно { (грамм, 1) : грамм \in G}

ЧАС' знак равно { (1, час) : час \in ЧАС}

Обе они на самом деле являются подгруппами P , первая из $которых$ изоморфна $G$ , а вторая изоморфна $H.$ Если мы отождествим их с $G$ и $H$ соответственно, то мы сможем думать о прямом произведении $P$ как о содержащем исходные группы $G$ и $H$ как подгруппы.

Эти подгруппы $P$ обладают следующими тремя важными свойствами: (Еще раз говорим, что мы отождествляем $G'$ и $H'$ с $G$ и $H$ соответственно.)

Пересечение $G$ $\cap$ $H$ тривиально .
Каждый элемент $P$ может быть однозначно выражен как произведение элемента $G$ и элемента $H$ .
Каждый элемент $G$ коммутирует с каждым элементом $H$ .

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения $P.$ То есть, если $P$ — любая группа, имеющая подгруппы $G$ и $H$ , которые удовлетворяют указанным выше свойствам, то $P$ обязательно изоморфна прямому произведению $G$ и $H$ . В этой ситуации $P$ иногда называют внутренним прямым произведением своих подгрупп $G$ и $H.$

В некоторых контекстах третье свойство выше заменяется следующим:

3'. И

G

, и

H

нормальны для

P.

Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, и этот факт можно вывести, рассматривая коммутатор $[g, h]$ любых $g$ в $G$ , $h$ в $H.$

Примеры

Пусть $V$ — четверка Клейна : Тогда $V$ — внутреннее прямое произведение двухэлементных подгрупп {1, a } и {1, b }.
Пусть — циклическая группа порядка mn , где m и n взаимно просты. Тогда и — циклические подгруппы порядков m и n соответственно, а — внутреннее прямое произведение этих подгрупп. $\langle a\rangle$ $\langle a^{n}\rangle$ $\langle a^{m}\rangle$ $\langle a\rangle$
Пусть $C \times$ — группа ненулевых комплексных чисел при умножении . Тогда $C \times$ является внутренним прямым произведением круговой группы $T$ единичных комплексных чисел и группы $R +$ положительных действительных чисел при умножении.
Если n нечетно, то общая линейная группа $GL(n, R)$ является внутренним прямым произведением специальной линейной группы $SL(n, R)$ и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц .
Аналогично, когда n нечетно, ортогональная группа $O(n, R)$ является внутренним прямым произведением специальной ортогональной группы $SO(n, R)$ и двухэлементной подгруппы ${- I, I},$ где $I$ обозначает единичную матрицу. .
Группа симметрии куба $—$ это внутренний прямой продукт подгруппы вращений и двухэлементной группы ${-$ $I$ $,$ $I$ $},$ где $I$ — единичный элемент, а — $I$ — точечное отражение через центр куба. Аналогичный факт справедлив и для группы симметрии икосаэдра .
Пусть n нечетно, и пусть D _{4 n} — группа диэдра порядка 4 n :
$D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$
Тогда D _{4 n} — внутреннее прямое произведение подгруппы (изоморфной D ₂_n ) и двухэлементной подгруппы {1, r ⁿ }. $\langle r^{2},s\rangle$

Презентации

Алгебраическую структуру $G \times H$ можно использовать для представления прямого произведения в терминах представлений $G$ и $H$ . В частности, предположим, что

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

где и — (непересекающиеся) порождающие множества , а и — определяющие отношения. Затем $S_{G}$ $S_{H}$ $R_{G}$ $R_{H}$

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

где набор отношений, определяющих, что каждый элемент коммутирует с каждым элементом . $R_{P}$ $S_{G}$ $S_{H}$

Например, если

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

затем

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

Нормальная структура

Как упоминалось выше, подгруппы $G$ и $H$ нормальны в $G \times H$ . В частности, определим функции $π G : G \times H \to G$ и $π H : G \times H \to H$ формулами

π грамм (грамм, час) знак равно грамм

π ЧАС (грамм, час) знак равно час

Тогда $π G$ и $π H$ — гомоморфизмы , известные как гомоморфизмы проекций , ядрами которых являются $H$ и $G$ соответственно.

Отсюда следует, что $G$ $\times H является$ расширением G посредством H $($ или наоборот). В случае, когда G $\times$ $H$ $—$ конечная группа , отсюда следует, что композиционные факторы $G$ $\times$ $H$ представляют собой в точности объединение композиционных факторов $G$ и композиционных факторов $H.$

Дополнительные свойства

Универсальная собственность

Прямое произведение $G \times H$ можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Пусть $π G : G \times H \to G$ и $π H : G \times H \to H$ — гомоморфизмы проекций. Тогда для любой группы $P$ и любых гомоморфизмов $ƒ G : P \to G$ и $ƒ H : P \to H$ существует единственный гомоморфизм $ƒ: P \to G \times H$ , делающий коммутирующую следующую диаграмму :

В частности, гомоморфизм $ƒ$ задается формулой

ƒ(п) знак равно (ƒ г (п), ƒ ЧАС (п))

Это частный случай универсального свойства продуктов в теории категорий .

Подгруппы

Если $A$ — подгруппа группы $G$ , а $B$ — подгруппа группы $H$ , то прямое произведение $A \times B$ является подгруппой группы $G \times H.$ Например, изоморфная копия G $в$ G $\times H —$ это произведение $G \times {1}$ , где ${1}$ — тривиальная подгруппа $H.$

Если $A$ и $B$ нормальны, то $A \times B$ — нормальная подгруппа группы $G \times H$ . Более того, фактор прямых произведений изоморфен прямому произведению частных:

(грамм \times ЧАС) / (А \times B) ≅ (грамм / А) \times (ЧАС / B)

Обратите внимание, что в общем случае неверно, что каждая подгруппа $G \times H$ является произведением подгруппы $G$ с подгруппой $H$ . Например, если $G$ — любая нетривиальная группа, то произведение $G \times G$ имеет диагональную подгруппу

Δ знак равно { (г, г) : г \in G}

которая не является прямым произведением двух подгрупп $G$ .

Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса . Другие подгруппы включают волокнистые продукты $G$ и $H.$

Сопряженность и централизаторы

Два элемента $(g 1, h 1)$ и $(g 2, h 2)$ сопряжены в $G$ $\times$ $H$ тогда и только тогда, когда g $1$ $и$ g $2$ $сопряжены$ в $G$ , а $h$ $1$ и $h$ $2$ сопряжены в $H$ . Отсюда следует, что каждый класс сопряженности в $G$ $\times$ $H$ является просто декартовым произведением класса сопряженности в $G$ и класса сопряженности в $H$ .

Аналогично, если ( $g, h) \in G \times H$ , централизатор ( $g, h)$ является просто произведением централизаторов $g$ и $h$ $:$

C грамм \times ЧАС (грамм, час)

знак равно

C грамм (грамм

)

\times

CH

(

час

)

.

Аналогично, центр G $\times$ $H$ является произведением центров $G$ и $H$ $:$

Z (г \times ЧАС)

знак равно

Z (г) \times Z (ЧАС)

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых произведений сами разлагаются как прямые произведения.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Если $α$ — автоморфизм группы $G$ , а $β$ — автоморфизм группы $H$ , то функция произведения $α \times β : G \times H \to G \times H,$ определенная формулой

(α \times β)(грамм, час) знак равно (α (грамм), β (час))

является автоморфизмом $G \times H$ . Отсюда следует, что $Aut(G \times H)$ имеет подгруппу, изоморфную прямому произведению $Aut(G) \times Aut(H)$ .

Вообще говоря, неверно, что каждый автоморфизм группы $G \times H$ имеет указанную выше форму. (То есть $Aut(G) \times Aut(H)$ часто является собственной подгруппой $Aut(G \times H)$ .) Например, если $G$ — любая группа, то существует автоморфизм $σ$ группы $G \times G$ , который меняет местами две группы. факторы, т.е.

σ (г 1, г 2) знак равно (г 2, г 1)

Другой пример, группа автоморфизмов $Z \times Z$ — это $GL (2, Z)$ , группа всех матриц $2 \times 2$ с целыми элементами и определителем $\pm1$ . Эта группа автоморфизмов бесконечна, но лишь конечное число автоморфизмов имеют приведенный выше вид.

В общем, каждый эндоморфизм G $\times$ $H$ можно записать как матрицу $размера 2 \times 2$ $.$

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

где $α$ — эндоморфизм $G$ , $δ$ — эндоморфизм $H$ , а $β$ $:$ $H$ $\to$ $G$ и $γ$ $:$ $G$ $\to$ $H$ — гомоморфизмы. Такая матрица должна обладать тем свойством, что каждый элемент образа α коммутирует с $каждым$ элементом образа $β$ , а каждый элемент образа $γ$ коммутирует с каждым элементом образа $δ$ .

Когда G и H — неразложимые бесцентровые группы, тогда группа автоморфизмов относительно проста: Aut( G ) × Aut( H ), если G и H не изоморфны, и Aut( G ) wr 2, если G ≅ H , wr обозначает венок изделие . Это часть теоремы Крулля – Шмидта и в более общем смысле справедлива для конечных прямых произведений.

Обобщения

Конечные прямые произведения

Можно взять прямое произведение более чем двух групп одновременно. Для конечной последовательности групп $G 1, ..., G n$ прямое произведение

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}

определяется следующим образом:

Элементами $G 1 \times \dots \times$ $G$ $n$ $являются$ кортежи ( $g 1, ..., g n)$ , где $gi \in G$ $i$ для каждого $i$ .
Операция над $G 1 \times \dots \times G n$ определяется покомпонентно:
$(грамм 1, ..., грамм п)(грамм 1', ..., грамм п')$ знак равно $(грамм 1 грамм 1', ..., грамм п грамм п')$ .

Он обладает многими из тех же свойств, что и прямое произведение двух групп, и может быть охарактеризован алгебраически аналогичным образом.

Бесконечные прямые продукты

Также возможно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп $G 1, G 2, ...$ это можно определить так же, как и конечное прямое произведение, описанное выше, при этом элементы бесконечного прямого произведения представляют собой бесконечные кортежи.

В более общем смысле, для индексированного семейства { $G i$ } $i \in I$ групп прямое произведение $Π i \in I G i$ определяется следующим образом:

Элементы $Π i \in I G i$ являются элементами бесконечного декартова произведения множеств $Gi;$ т. е. функции $ƒ: I \to ⋃ i \in I G i$ со свойством, что $ƒ(i) \in G i$ для каждого $i$ .
Произведение двух элементов $ƒ, g$ определяется покомпонентно:
$(ƒ • грамм)(я)$ знак равно $ƒ (я) • грамм (я)$ .

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение $Π i \in I G i$ не порождается элементами изоморфных подгрупп { $G i$ } $i \in I$ . Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма , которая состоит из всех элементов, имеющих только конечное число неединичных компонентов.

Другие продукты

Полупрямые продукты

Напомним, что группа $P$ с подгруппами $G$ и $H$ изоморфна прямому произведению $G$ и $H$ , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

Пересечение $G$ $\cap$ $H$ тривиально .
Каждый элемент $P$ может быть однозначно выражен как произведение элемента $G$ и элемента $H$ .
И $G$ , и $H$ нормальны для $P.$

Полупрямое произведение G и $H$ получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп $G$ $,$ $H$ $должна$ быть нормальной. Результирующее произведение по-прежнему состоит из упорядоченных пар $($ $g$ $,$ $h$ $)$ , но с немного более сложным правилом умножения.

Также возможно полностью ослабить третье условие, требуя, чтобы ни одна из двух подгрупп не была нормальной. В этом случае группа $P$ называется произведением Заппы–Сепа групп $G$ и $H.$

Бесплатные продукты

Свободное произведение G и $H$ , обычно обозначаемое $G$ $*$ $H$ , аналогично прямому произведению, за исключением того, что подгруппы $G$ и $H$ группы $G$ $*$ $H$ $не$ обязаны коммутировать. То есть, если

г знак

равно

〈 S г

р

G

〉

Ч

〈

S

ЧАС

Р

Ч

〉

являются представлениями для $G$ и $H$ , то

грамм * ЧАС

знак

равно

〈 S грамм \cup SH

р

грамм

\cup

р

ЧАС

〉

В отличие от прямого произведения, элементы свободного произведения не могут быть представлены упорядоченными парами. Фактически свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Бесплатный продукт на самом деле является побочным продуктом в категории групп .

Субдиректные продукты

Если $G$ и $H$ — группы, то подпрямое произведение G $и$ H $—$ это любая подгруппа $G \times H$ , которая сюръективно отображается на $G$ и $H$ относительно гомоморфизмов проекции. По лемме Гурса каждое подпрямое произведение является расслоенным произведением.

Волокнистые изделия

Пусть $G$ , $H$ и $Q$ — группы, и пусть $𝜑 : G \to Q$ и $χ : H \to Q$ — гомоморфизмы. Расслоенное произведение G и $H$ над $Q$ , также известное как $обратный$ образ , представляет собой следующую подгруппу $G$ $\times$ $H$ :

G\times _{Q}H=\{\,(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\,\}{\text{.}}

𝜑 : G \to Q

χ : H \to Q

эпиморфизмы

Прямой продукт групп

Определение

Примеры

Элементарные свойства

Алгебраическая структура

Примеры

Презентации

Нормальная структура

Дополнительные свойства

Универсальная собственность

Подгруппы

Сопряженность и централизаторы

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Обобщения

Конечные прямые произведения

Бесконечные прямые продукты

Другие продукты

Полупрямые продукты

Бесплатные продукты

Субдиректные продукты

Волокнистые изделия

Рекомендации