Транспорт Ферми – Уокера

Математическая техника в общей теории относительности

Транспорт Ферми-Уокера — это процесс в общей теории относительности , используемый для определения системы координат или системы отсчета , в которой вся кривизна системы обусловлена ​​наличием плотности массы/энергии, а не произвольным вращением или вращением системы отсчета. Он был открыт Ферми в 1921 году и переоткрыт Уокером в 1932 году. ^[1]

Дифференцирование Ферми – Уокера

В теории лоренцевых многообразий дифференцирование Ферми–Уокера является обобщением ковариантного дифференцирования . В общей теории относительности производные Ферми – Уокера пространственноподобных векторных полей в поле системы отсчета, взятые по отношению к времениподобному полю единичного вектора в поле системы отсчета, используются для определения неинерциальных и невращающихся систем отсчета, предполагая, что Ферми – Производные Уокера должны исчезнуть. В частном случае инерциальных систем отсчета производные Ферми – Уокера сводятся к ковариантным производным.

По соглашению о знаках это определяется для векторного поля X вдоль кривой : ${\displaystyle (-+++)}$ ${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}-\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right)V+(X,V){\frac {DV}{ds}},}$

где V — четырехскоростная скорость, D — ковариантная производная, а — скалярное произведение. Если ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}=0,}$

тогда векторное поле X является ферми-уокеровским, транспортируемым вдоль кривой. ^[2] Векторы, перпендикулярные пространству четырех скоростей в пространстве-времени Минковского , например, векторы поляризации, при транспорте Ферми-Уокера испытывают прецессию Томаса .

Используя производную Ферми, уравнение Баргмана–Мишеля–Телегди ^[3] для прецессии спина электрона во внешнем электромагнитном поле можно записать следующим образом:

${\displaystyle {\frac {D_{F}a^{\tau }}{ds}}=2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

где и – четырехвектор поляризации и магнитный момент , – четырехскорость электрона, , , – тензор напряженности электромагнитного поля . Правая часть описывает ларморовскую прецессию . ${\displaystyle a^{\tau }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle u^{\tau }}$ ${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$ ${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$ ${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$

Сопутствующие системы координат

Можно определить систему координат, движущуюся вместе с частицей. Если мы возьмем единичный вектор как определяющий ось в сопутствующей системе координат, то говорят, что любая система, трансформирующаяся с собственным временем, подвергается транспорту Ферми – Уокера. ^[4] ${\displaystyle v^{\mu }}$

Обобщенное дифференцирование Ферми – Уокера.

Дифференцирование Ферми – Уокера можно распространить на любой где (т. е. не на светоподобный вектор). Это определено для векторного поля вдоль кривой : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V,V)\neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}+\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {V}{(V,V)}}-{\frac {(X,V)}{(V,V)}}{\frac {DV}{ds}}-\left(V,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {(X,V)}{(V,V)^{2}}}V,}$^[5]

За исключением последнего члена, который является новым и в основном обусловлен возможностью непостоянства , его можно получить, взяв предыдущее уравнение и разделив каждое из них на . ${\displaystyle (V,V)}$ ${\displaystyle V^{2}}$ ${\displaystyle (V,V)}$

Если , то восстанавливаем дифференцирование Ферми–Уокера: ${\displaystyle (V,V)=-1}$

${\displaystyle \left(V,{\frac {DV}{ds}}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(V,V)=0\ ,}$и ${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {D_{F}X}{ds}}.}$

Смотрите также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Энрико Ферми
• Артур Джеффри Уокер
• Переход от механики Ньютона к общей теории относительности

Примечания

1. Бини, Донато; Янцен, Роберт Т. (2002). «Круговая голономия, часовые эффекты и гравитоэлектромагнетизм: спустя все эти годы все еще ходим по кругу». Нуово Чименто Б. 117 (9–11): 983–1008. arXiv : gr-qc/0202085 .
2. Хокинг и Эллис 1973, с. 80
3. Баргманн, Мишель и Телегди, 1959 г.
4. Миснер, Торн и Уилер 1973, с. 170
5. Кочарян, А.А. (2004). «Геометрия динамических систем». arXiv : astro-ph/0411595 .

Рекомендации

• Баргманн, В .; Мишель, Л.; Телегди, В.Л. (1959). «Прецессия поляризации частиц, движущихся в однородном электромагнитном поле». Письма о физических отзывах . 2 (10): 435. Бибкод : 1959PhRvL...2..435B. doi : 10.1103/PhysRevLett.2.435..
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-2768-9.
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0.
• Хокинг, Стивен В .; Эллис, Джордж Ф.Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4.
• Кочарян, А.А. (2004). «Геометрия динамических систем». arXiv : astro-ph/0411595 .