Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

Обобщение уравнения Дирака

В математической физике уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени является обобщением уравнения Дирака из плоского пространства-времени ( пространства Минковского ) на искривленное пространство-время, общее лоренцево многообразие .

Математическая формулировка

Пространство-время

В полной общности уравнение может быть определено на или псевдоримановом многообразии , но для конкретности мы ограничиваемся псевдоримановым многообразием с сигнатурой . Метрика обозначается как , или в абстрактной индексной нотации . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,\mathbf {g} )}$ ${\displaystyle (-+++)}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

Поля кадра

Мы используем набор полей vierbein или frame , которые являются набором векторных полей (которые не обязательно определены глобально на ). Их определяющее уравнение имеет вид ${\displaystyle \{e_{\mu }\}=\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle g_{ab}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}=\eta _{\mu \nu }.}$

Фирбейн определяет локальную систему покоя , позволяя постоянным гамма-матрицам действовать в каждой точке пространства-времени.

На языке дифференциальной геометрии вирбейн эквивалентен сечению расслоения фреймов и , таким образом, определяет локальную тривиализацию расслоения фреймов.

Спиновое соединение

Для записи уравнения нам также понадобится спиновая связь , также известная как форма связи (1-). Поля двойного каркаса имеют определяющее соотношение ${\displaystyle \{e^{\mu }\}}$

${\displaystyle e_{a}^{\mu }e_{\nu }^{a}=\delta ^{\mu }{}_{\nu }.}$

Тогда соединение 1-формы имеет вид

${\displaystyle \omega ^{\mu }{}_{\nu a}:=e_{b}^{\mu }\nabla _{a}e_{\nu }^{b}}$

где — ковариантная производная или, что эквивалентно, выбор связности на расслоении фреймов, чаще всего принимаемой за связность Леви-Чивиты . ${\displaystyle \nabla _{a}}$

Следует проявлять осторожность и не считать абстрактные латинские индексы и греческие индексы одинаковыми, а также отметить, что ни один из них не является координатным индексом: можно убедиться, что он не преобразуется как тензор при изменении координат. ${\displaystyle \omega ^{\mu }{}_{\nu a}}$

Математически поля фрейма определяют изоморфизм в каждой точке , где они определены из касательного пространства в . Тогда абстрактные индексы обозначают касательное пространство, в то время как греческие индексы обозначают . Если поля фрейма зависят от положения, то греческие индексы не обязательно преобразуются тензорно при изменении координат. ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

Повышение и понижение индексов выполняется как для латинских индексов, так и для греческих индексов. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Форму связности можно рассматривать как более абстрактную связность на главном расслоении , в частности на расслоении фреймов , которое определено на любом гладком многообразии, но которое ограничивается ортонормированным расслоением фреймов на псевдоримановых многообразиях.

Форма связи относительно полей фрейма, определенных локально, на языке дифференциальной геометрии является связью относительно локальной тривиализации. ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$

Алгебра Клиффорда

Так же, как и в случае с уравнением Дирака на плоском пространстве-времени, мы используем алгебру Клиффорда, набор из четырех гамма-матриц, удовлетворяющих ${\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}}$

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }}$

где находится антикоммутатор . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Их можно использовать для построения представления алгебры Лоренца: определение

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]=-{\frac {i}{2}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+{\frac {i}{2}}\eta ^{\mu \nu }}$,

где находится коммутатор . ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

Можно показать, что они удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Лоренца:

${\displaystyle [\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }]=(-i)(\sigma ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-\sigma ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\sigma ^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-\sigma ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma })}$

Поэтому они являются генераторами представления алгебры Лоренца . Но они не порождают представление группы Лоренца , так же как матрицы Паули порождают представление алгебры вращения , но не . Они фактически образуют представление Однако это стандартное злоупотребление терминологией по отношению к любым представлениям алгебры Лоренца как представлениям группы Лоренца, даже если они не возникают как представления группы Лоренца. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(1,3).}$

Пространство представления изоморфно векторному пространству. В классификации представлений групп Лоренца представление обозначается . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$

Злоупотребление терминологией распространяется на формирование этого представления на групповом уровне. Мы можем записать конечное преобразование Лоренца на как , где — стандартный базис для алгебры Лоренца. Эти генераторы имеют компоненты ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\sigma }^{\rho }=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right){}_{\sigma }^{\rho }}$ ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$

${\displaystyle (M^{\mu \nu })_{\sigma }^{\rho }=\eta ^{\mu \rho }\delta _{\sigma }^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }\delta _{\sigma }^{\mu }}$

или, с обоими индексами, направленными вверх или вниз, просто матрицы, которые имеют в индексе и в индексе, и 0 во всех остальных местах. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \nu ,\mu }$

Если другое представление имеет генераторы , то мы пишем ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }=\rho (M^{\mu \nu }),}$

${\displaystyle \rho (\Lambda )_{j}^{i}=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu }T^{\mu \nu }\right){}_{j}^{i}}$

где — индексы для пространства представления. ${\displaystyle i,j}$

В случае , без указания компонентов генератора для , это не совсем точно определено: существуют наборы компонентов генератора , которые дают одно и то же, но разное ${\displaystyle T^{\mu \nu }=\sigma ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \alpha _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda _{\sigma }^{\rho }}$ ${\displaystyle \rho (\Lambda )}$ ${\displaystyle \alpha _{\mu \nu },\beta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda _{\sigma }^{\rho }}$ ${\displaystyle \rho (\Lambda )_{j}^{i}.}$

Ковариантная производная для полей в представлении группы Лоренца

Если задана система координат, полученная, скажем, из координат , частная производная относительно общей ортонормированной системы определяется ${\displaystyle {\partial _{\alpha }}}$ ${\displaystyle \{x^{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\psi =e_{\mu }^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi ,}$

и компоненты связи относительно общего ортонормированного репера являются

${\displaystyle \omega ^{\mu }{}_{\nu \rho }=e_{\rho }^{\alpha }\omega ^{\mu }{}_{\nu \alpha }.}$

Эти компоненты не преобразуются тензорно при смене системы отсчета, но преобразуются при объединении. Кроме того, это определения, а не утверждение, что эти объекты могут возникать как частные производные в некоторой координатной карте. В общем случае существуют некоординатные ортонормальные системы отсчета, для которых коммутатор векторных полей неисчезает.

Можно проверить, что при преобразовании

${\displaystyle \psi \mapsto \rho (\Lambda )\psi ,}$

если мы определим ковариантную производную

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }\sigma ^{\nu \rho }\psi }$,

затем преобразуется как ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto \rho (\Lambda )D_{\mu }\psi }$

Это обобщается на любое представление для группы Лоренца: если — векторное поле для соответствующего представления, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle D_{\mu }v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }R(M^{\nu \rho })v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }T^{\nu \rho }v.}$

Когда — фундаментальное представление для , это восстанавливает знакомую ковариантную производную для (касательных) векторных полей, примером которой является связность Леви-Чивиты. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$

Существуют некоторые тонкости в том, какого рода математическим объектом являются различные типы ковариантной производной. Ковариантная производная в координатном базисе является векторнозначной 1-формой, которая в каждой точке является элементом . Ковариантная производная в ортонормированном базисе использует ортонормированную систему координат для идентификации векторнозначной 1-формы с векторнозначным дуальным вектором, который в каждой точке является элементом , используя это канонически. Затем мы можем свернуть это с гамма-матрицей 4-вектора , которая принимает значения в в ${\displaystyle D_{\alpha }\psi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{p}\otimes T_{p}^{*}M}$ ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{p}\otimes \mathbb {R} ^{1,3},}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{1,3}}^{*}\cong \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{End}}(E_{p})\otimes \mathbb {R} ^{1,3}}$

Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

Вспоминая уравнение Дирака о плоском пространстве-времени,

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0,}$

Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени можно записать, преобразуя частную производную в ковариантную.

Таким образом, уравнение Дирака принимает следующий вид в искривленном пространстве-времени: ^[1]

Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi =0.}$

где — спинорное поле в пространстве-времени. Математически это часть векторного расслоения, связанного с расслоением спин-фрейма представлением ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle (1/2,0)\oplus (0,1/2).}$

Восстановление уравнения Клейна–Гордона из уравнения Дирака

Модифицированное уравнение Клейна–Гордона, полученное путем возведения в квадрат оператора в уравнении Дирака, впервые найденное Эрвином Шредингером и цитируемое Поллоком ^[2], имеет вид

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {-\det g}}}\,{\cal {D}}_{\mu }\left({\sqrt {-\det g}}\,g^{\mu \nu }{\cal {D}}_{\nu }\right)-{\frac {1}{4}}R+{\frac {ie}{2}}F_{\mu \nu }s^{\mu \nu }-m^{2}\right)\Psi =0.}$

где — скаляр Риччи, а — напряженность поля . Альтернативная версия уравнения Дирака, оператор Дирака которой остается квадратным корнем Лапласа , задается уравнением Дирака–Кэлера ; ценой этого является потеря лоренц-инвариантности в искривленном пространстве-времени. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

Обратите внимание, что здесь латинские индексы обозначают «лоренцевы» метки Вирбейна, тогда как греческие индексы обозначают индексы координат многообразия .

Формулировка действия

Мы можем сформулировать эту теорию в терминах действия. Если вдобавок пространство-время ориентируемо , то существует предпочтительная ориентация, известная как объемная форма . Можно интегрировать функции по объемной форме: ${\displaystyle (M,\mathbf {g} )}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \int _{M}\epsilon f=\int _{M}d^{4}x{\sqrt {-g}}f}$

Функция интегрируется по объемной форме для получения действия Дирака ${\displaystyle {\bar {\Psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi }$

Действие Дирака в искривленном пространстве-времени

${\displaystyle I_{\text{Dirac}}=\int _{M}d^{4}x{\sqrt {-g}}\,{\bar {\Psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi .}$

Смотрите также

• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства
• спинор Дирака
• Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени
• Уравнения Дирака для двух тел

Ссылки

1. Лори, Ян Д. Единый большой тур по теоретической физике .
2. Поллок, МД (2010), Об уравнении Дирака в искривленном пространстве-времени

• M. Arminjon, F. Reifler (2013). «Эквивалентные формы уравнений Дирака в искривленных пространствах-временах и обобщенные соотношения де Бройля». Бразильский журнал физики . 43 (1–2): 64–77. arXiv : 1103.3201 . Bibcode :2013BrJPh..43...64A. doi :10.1007/s13538-012-0111-0. S2CID  38235437.
• MD Pollock (2010). "Об уравнении Дирака в искривленном пространстве-времени". Acta Physica Polonica B. 41 ( 8): 1827.
• JV Dongen (2010). Объединение Эйнштейна. Cambridge University Press. стр. 117. ISBN 978-0-521-883-467.
• Л. Паркер, Д. Томс (2009). Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени: квантованные поля и гравитация. Cambridge University Press. стр. 227. ISBN 978-0-521-877-879.
• SA Fulling (1989). Аспекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Cambridge University Press. ISBN 0-521-377-684.