Лагранжиан (теория поля)

Применение механики Лагранжа к теориям поля

Теория поля Лагранжа — это формализм в классической теории поля . Это теоретико-полевой аналог механики Лагранжа . Механика Лагранжа используется для анализа движения системы дискретных частиц, каждая из которых имеет конечное число степеней свободы . Теория поля Лагранжа применяется к континуумам и полям , которые имеют бесконечное число степеней свободы.

Одной из причин развития лагранжева формализма в полях и, в более общем плане, в классической теории поля является предоставление четкой математической основы для квантовой теории поля , которая печально известна формальными трудностями, которые делают ее неприемлемой в качестве математической теории. Представленные здесь лагранжианы идентичны своим квантовым эквивалентам, но, рассматривая поля как классические поля, вместо того, чтобы квантоваться, можно дать определения и получить решения со свойствами, совместимыми с традиционным формальным подходом к математике уравнений с частными производными . Это позволяет формулировать решения в пространствах с хорошо охарактеризованными свойствами, такими как пространства Соболева . Это позволяет предоставлять различные теоремы, начиная от доказательств существования и заканчивая равномерной сходимостью формальных рядов и общими установками теории потенциала . Кроме того, понимание и ясность достигаются путем обобщений на римановы многообразия и расслоения волокон , что позволяет четко различать и распутывать геометрическую структуру из соответствующих уравнений движения. Более четкое представление о геометрической структуре, в свою очередь, позволило использовать для получения более глубокого понимания весьма абстрактные теоремы геометрии, начиная от теоремы Черна–Гаусса–Бонне и теоремы Римана–Роха до теоремы Атьи–Зингера об индексе и теории Черна–Саймонса .

Обзор

В теории поля независимая переменная заменяется событием в пространстве-времени ( x , y , z , t ) или, в более общем смысле, точкой s на римановом многообразии . Зависимые переменные заменяются значением поля в этой точке пространства-времени, так что уравнения движения получаются с помощью принципа действия , записанного как: где действие , , является функционалом зависимых переменных , их производных и самого s ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)}$ $${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},}$$

где скобки обозначают ; и s = { s ^α } обозначает набор из n независимых переменных системы, включая переменную времени, и индексируется как α = 1, 2, 3, ..., n . Каллиграфический шрифт , используется для обозначения плотности , и является объемной формой полевой функции, т. е. мерой области определения полевой функции. ${\displaystyle \{\cdot ~\forall \alpha \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s}$

В математических формулировках лагранжиан принято выражать как функцию на расслоении волокон , где уравнения Эйлера–Лагранжа можно интерпретировать как задание геодезических на расслоении волокон. Учебник Абрахама и Марсдена ^[1] дал первое всеобъемлющее описание классической механики в терминах современных геометрических идей, т. е. в терминах касательных многообразий , симплектических многообразий и контактной геометрии . Учебник Бликера ^[2] дал всеобъемлющее представление теорий поля в физике в терминах калибровочно-инвариантных расслоений волокон. Такие формулировки были известны или предполагались задолго до этого. Йост ^[3] продолжает геометрическое представление, проясняя связь между гамильтоновыми и лагранжевыми формами, описывая спиновые многообразия из первых принципов и т. д. Текущие исследования сосредоточены на нежестких аффинных структурах (иногда называемых «квантовыми структурами»), в которых заменяются вхождения векторных пространств тензорными алгебрами . Это исследование мотивировано прорывным пониманием квантовых групп как аффинных алгебр Ли ( группы Ли в некотором смысле «жесткие», поскольку они определяются своей алгеброй Ли. При переформулировании на тензорной алгебре они становятся «гибкими», имея бесконечные степени свободы; см., например, алгебру Вирасоро ).

Определения

В лагранжевой теории поля лагранжиан как функция обобщенных координат заменяется плотностью лагранжиана, функцией полей в системе и их производных, а также, возможно, самих пространственных и временных координат. В теории поля независимая переменная t заменяется событием в пространстве-времени ( x , y , z , t ) или, еще более общо, точкой s на многообразии.

Часто «плотность Лагранжа» называют просто «Лагранжианом».

Скалярные поля

Для одного скалярного поля плотность лагранжиана будет иметь вид: ^{[nb 1] [4]} ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$$

Для многих скалярных полей $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}$$

В математических формулировках скалярные поля понимаются как координаты на расслоении , а производные поля понимаются как сечения расслоения струй .

Векторные поля, тензорные поля, спинорные поля

Вышесказанное можно обобщить для векторных полей , тензорных полей и спинорных полей . В физике фермионы описываются спинорными полями. Бозоны описываются тензорными полями, которые включают скалярные и векторные поля как частные случаи.

Например, если существуют действительные скалярные поля , , то многообразие поля равно . Если поле является действительным векторным полем , то многообразие поля изоморфно . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Действие

Временной интеграл лагранжиана называется действием, обозначаемым S. В теории поля иногда проводится различие между лагранжианом L , интегралом по времени которого является действие , и плотностью лагранжиана , которую интегрируют по всему пространству-времени, чтобы получить действие: $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$$

Пространственный объемный интеграл плотности Лагранжа — это Лагранжиан; в трехмерном пространстве, $${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$$

Действие часто называют « функционалом действия », поскольку оно является функцией полей (и их производных).

Форма объема

При наличии гравитации или при использовании общих криволинейных координат плотность лагранжиана будет включать фактор . Это гарантирует, что действие инвариантно относительно общих преобразований координат. В математической литературе пространство-время рассматривается как риманово многообразие , а интеграл тогда становится объемной формой ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\sqrt {g}}}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$$

Здесь — произведение клиньев , а — квадратный корень из определителя метрического тензора на . Для плоского пространства-времени (например, пространства-времени Минковского ) единичный объем равен единице, т.е. и поэтому его обычно опускают при обсуждении теории поля в плоском пространстве-времени. Аналогично, использование символов произведения клиньев не дает дополнительного понимания по сравнению с обычным понятием объема в многомерном исчислении, и поэтому они также опускаются. Некоторые старые учебники, например, Ландау и Лифшица, пишут для формы объема, поскольку знак минус подходит для метрических тензоров с сигнатурой (+−−−) или (−+++) (поскольку определитель отрицателен в любом случае). При обсуждении теории поля на общих римановых многообразиях форма объема обычно записывается в сокращенной форме, где — звезда Ходжа . То есть, и поэтому ${\displaystyle \wedge }$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ ${\displaystyle |g|}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle *(1)}$ ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$$

Нередко обозначение выше считается совершенно излишним и часто встречается. Не заблуждайтесь: объемная форма неявно присутствует в интеграле выше, даже если она явно не написана. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$$

Уравнения Эйлера–Лагранжа

Уравнения Эйлера–Лагранжа описывают геодезический поток поля как функцию времени. Взяв вариацию по , получаем ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}$$

Решая относительно граничных условий , получаем уравнения Эйлера–Лагранжа : $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}$$

Примеры

Большое разнообразие физических систем было сформулировано в терминах лагранжианов над полями. Ниже приведена выборка некоторых наиболее распространенных из них, которые можно найти в учебниках по физике по теории поля.

Ньютоновская гравитация

Плотность Лагранжа для ньютоновской гравитации равна:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$где Φ — гравитационный потенциал , ρ — плотность массы, а G в м3 ^· кг ⁻¹ ·с ⁻² — гравитационная постоянная . Плотность имеет единицы измерения Дж·м ⁻³ . Здесь член взаимодействия включает непрерывную плотность массы ρ в кг·м ⁻³ . Это необходимо, поскольку использование точечного источника для поля привело бы к математическим трудностям. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Этот лагранжиан можно записать в виде , с предоставлением кинетического члена, а взаимодействием — потенциального члена. См. также теорию гравитации Нордстрема, чтобы узнать, как ее можно модифицировать для учета изменений во времени. Эта форма повторяется в следующем примере скалярной теории поля. ${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$ ${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$ ${\displaystyle V=\rho \Phi }$

Вариация интеграла по Φ равна: $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}$$

После интегрирования по частям, отбрасывания полного интеграла и деления на δ Φ формула принимает вид: что эквивалентно: что дает закон Гаусса для гравитации . $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ $${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

Теория скалярного поля

Лагранжиан для скалярного поля, движущегося в потенциале, можно записать как Вовсе не случайно скалярная теория напоминает лагранжиан из учебника для студентов для кинетического члена свободной точечной частицы, записанный как . Скалярная теория является обобщением теории поля для частицы, движущейся в потенциале. Когда — потенциал мексиканской шляпы , результирующие поля называются полями Хиггса . ${\displaystyle V(\phi )}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$$ ${\displaystyle L=T-V}$ ${\displaystyle T=mv^{2}/2}$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Сигма-модель Лагранжа

Сигма -модель описывает движение скалярной точечной частицы, ограниченной движением на римановом многообразии , таком как окружность или сфера. Она обобщает случай скалярных и векторных полей, то есть полей, ограниченных движением на плоском многообразии. Лагранжиан обычно записывается в одной из трех эквивалентных форм: где — дифференциал . Эквивалентное выражение — с римановой метрикой на многообразии поля; т. е. поля — это просто локальные координаты на координатной карте многообразия. Третья распространенная форма — с и , группой Ли SU(N) . Эту группу можно заменить любой группой Ли или, в более общем смысле, симметричным пространством . След — это просто скрытая форма Киллинга ; форма Киллинга обеспечивает квадратичную форму на многообразии поля, тогда лагранжиан — это просто обратный путь этой формы. С другой стороны, лагранжиан также можно рассматривать как обратный путь формы Маурера–Картана к базовому пространству-времени. $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$$ $${\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$$ ${\displaystyle U\in \mathrm {SU} (N)}$

В целом, сигма-модели демонстрируют топологические солитонные решения. Наиболее известным и хорошо изученным из них является Скирмион , который служит моделью нуклона , выдержавшей испытание временем.

Электромагнетизм в специальной теории относительности

Рассмотрим точечную частицу, заряженную частицу, взаимодействующую с электромагнитным полем . Члены взаимодействия заменяются членами, включающими непрерывную плотность заряда ρ в А·с·м ⁻³ и плотность тока в А·м ⁻² . Результирующая плотность лагранжиана для электромагнитного поля равна: $${\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}$$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}$$

Изменяя это относительно ϕ , получаем что дает закон Гаусса . $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$$

Варьируя вместо этого по , получаем что приводит к закону Ампера . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}$$

Используя тензорную нотацию , мы можем записать все это более компактно. Член на самом деле является внутренним произведением двух 4-векторов . Мы упаковываем плотность заряда в текущий 4-вектор, а потенциал — в потенциальный 4-вектор. Эти два новых вектора являются Затем мы можем записать член взаимодействия как Кроме того, мы можем упаковать поля E и B в то, что известно как электромагнитный тензор . Мы определяем этот тензор как Член, который мы ищем, оказывается Мы использовали метрику Минковского, чтобы поднять индексы тензора ЭДС. В этой нотации уравнения Максвелла имеют вид где ε — тензор Леви-Чивиты . Таким образом, плотность Лагранжа для электромагнетизма в специальной теории относительности, записанная в терминах векторов и тензоров Лоренца, является В этой нотации очевидно, что классический электромагнетизм является лоренц-инвариантной теорией. По принципу эквивалентности становится просто распространить понятие электромагнетизма на искривленное пространство-время. ^{[5] [6]} ${\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }$ $${\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}$$ $${\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}$$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$$ $${\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}$$

Электромагнетизм и уравнения Янга–Миллса

Используя дифференциальные формы , электромагнитное действие S в вакууме на (псевдо-)римановом многообразии можно записать (используя естественные единицы , c = ε ₀ = 1 ) как Здесь A обозначает электромагнитный потенциал 1-формы, J — ток 1-формы, F — напряженность поля 2-формы, а звездочка обозначает оператор звезды Ходжа . Это точно такой же лагранжиан, как в разделе выше, за исключением того, что обработка здесь не зависит от координат; разложение подынтегрального выражения в базис дает идентичное длинное выражение. Обратите внимание, что в случае форм дополнительная мера интегрирования не нужна, поскольку формы имеют встроенные дифференциалы координат. Изменение действия приводит к Это уравнения Максвелла для электромагнитного потенциала. Подстановка F = d A немедленно дает уравнение для полей, поскольку F — точная форма . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$

Поле A можно понимать как аффинную связность на расслоении U(1) . То есть классическая электродинамика, все ее эффекты и уравнения, могут быть полностью поняты в терминах расслоения окружностей над пространством - временем Минковского .

Уравнения Янга–Миллса можно записать в точно такой же форме, как и выше, заменив группу Ли U(1) электромагнетизма произвольной группой Ли. В Стандартной модели принято считать , хотя общий случай представляет общий интерес. Во всех случаях нет необходимости в выполнении какого-либо квантования. Хотя уравнения Янга–Миллса исторически укоренены в квантовой теории поля, приведенные выше уравнения являются чисто классическими. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}$

Функционал Черна–Саймонса

В том же ключе, что и выше, можно рассмотреть действие в одном измерении меньше, т.е. в контактной геометрии . Это дает функционал Черна–Саймонса . Он записывается как $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).}$$

Теория Черна–Саймонса была глубоко исследована в физике как игрушечная модель для широкого спектра геометрических явлений, которые можно было бы ожидать найти в великой объединенной теории .

Лагранжиан Гинзбурга–Ландау

Плотность лагранжиана для теории Гинзбурга–Ландау объединяет лагранжиан для скалярной теории поля с лагранжианом для действия Янга–Миллса . Его можно записать как: ^[7] где — сечение векторного расслоения с волокном . Соответствует параметру порядка в сверхпроводнике ; эквивалентно, он соответствует полю Хиггса , после того как отметим, что второй член — это знаменитый потенциал «шляпы Сомбреро» . Поле — это (неабелево) калибровочное поле, т. е. поле Янга–Миллса , а — его напряженность поля. Уравнения Эйлера–Лагранжа для функционала Гинзбурга–Ландау — это уравнения Янга–Миллса и где — оператор звезды Ходжа , т. е. полностью антисимметричный тензор. Эти уравнения тесно связаны с уравнениями Янга–Миллса–Хиггса . Другой тесно связанный лагранжиан находится в теории Зайберга–Виттена . $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$$ $${\displaystyle D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$$ ${\displaystyle {\star }}$

Лагранжиан Дирака

Плотность Лагранжа для поля Дирака равна: ^[8] где — спинор Дирака , — его сопряженный Дирака , а — обозначение Фейнмана с косой чертой для . В классической теории нет особой необходимости фокусироваться на спинорах Дирака. Спиноры Вейля обеспечивают более общую основу; они могут быть построены непосредственно из алгебры Клиффорда пространства-времени; конструкция работает в любом числе измерений, ^[3] а спиноры Дирака появляются как особый случай. Спиноры Вейля имеют дополнительное преимущество, заключающееся в том, что их можно использовать в опорном элементе для метрики на римановом многообразии; это позволяет использовать концепцию спиновой структуры , которая, грубо говоря, является способом последовательной формулировки спиноров в искривленном пространстве-времени. $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi }$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle {\partial }\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }}$

Квантовый электродинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для КЭД объединяет лагранжиан для поля Дирака вместе с лагранжианом для электродинамики калибровочно-инвариантным образом. Это: где — электромагнитный тензор , D — калибровочно-ковариантная производная , а — обозначение Фейнмана для с где — электромагнитный 4-потенциал . Хотя слово «квантовый» появляется выше, это исторический артефакт. Определение поля Дирака не требует никакого квантования вообще, его можно записать как чисто классическое поле антикоммутирующих спиноров Вейля, построенных из первых принципов из алгебры Клиффорда . ^[3] Полная калибровочно-инвариантная классическая формулировка дана в Bleecker. ^[2] $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {D}\!\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$ ${\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }}$ ${\displaystyle A_{\sigma }}$

Квантовый хромодинамический лагранжиан

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики объединяет лагранжиан для одного или нескольких массивных спиноров Дирака с лагранжианом для действия Янга–Миллса , которое описывает динамику калибровочного поля; объединенный лагранжиан калибровочно-инвариантен. Его можно записать как: ^[9] где D — калибровочно-ковариантная производная КХД , n = 1, 2, ...6 учитывает типы кварков , а — тензор напряженности глюонного поля . Что касается случая электродинамики выше, появление слова «квантовый» выше только подтверждает его историческое развитие. Лагранжиан и его калибровочная инвариантность могут быть сформулированы и рассмотрены чисто классическим образом. ^{[2] [3]} $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$

Эйнштейн гравитация

Плотность Лагранжа для общей теории относительности в присутствии полей материи равна , где — космологическая постоянная , — скаляр кривизны , который является тензором Риччи, свернутым с метрическим тензором , а тензор Риччи — тензором Римана, свернутым с дельтой Кронекера . Интеграл от известен как действие Эйнштейна–Гильберта . Тензор Римана — это тензор приливных сил , и он построен из символов Кристоффеля и производных символов Кристоффеля, которые определяют метрическую связь в пространстве-времени. Само гравитационное поле исторически приписывалось метрическому тензору; современная точка зрения заключается в том, что эта связь «более фундаментальна». Это связано с пониманием того, что можно записывать связи с ненулевым кручением . Они изменяют метрику, не изменяя геометрию ни на йоту. Что касается фактического «направления, в котором указывает гравитация» (например, на поверхности Земли она указывает вниз), то это следует из тензора Римана: это то, что описывает «гравитационное силовое поле», которое ощущают и на которое реагируют движущиеся тела. (Это последнее утверждение должно быть уточнено: «силового поля» как такового не существует ; движущиеся тела следуют геодезическим линиям на многообразии, описываемом связью. Они движутся по « прямой линии ».) $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}$

Лагранжиан для общей теории относительности также может быть записан в форме, которая делает его явно похожим на уравнения Янга–Миллса. Это называется принципом действия Эйнштейна–Янга–Миллса. Это делается путем замечания, что большая часть дифференциальной геометрии работает «просто отлично» на расслоениях с аффинной связностью и произвольной группой Ли. Затем, подставляя SO(3,1) для этой группы симметрии, т. е. для полей фрейма , получаем уравнения выше. ^{[2] [3]}

Подставляя этот лагранжиан в уравнение Эйлера–Лагранжа и принимая метрический тензор в качестве поля, мы получаем уравнения поля Эйнштейна — тензор энергии-импульса и определяется как где — определитель метрического тензора, рассматриваемый как матрица. Как правило, в общей теории относительности мера интегрирования действия плотности Лагранжа равна . Это делает интегральную координату независимой, так как корень метрического определителя эквивалентен определителю Якобиана . Знак минус является следствием метрической сигнатуры (сам по себе определитель отрицателен). ^[5] Это пример формы объема , обсуждавшейся ранее, проявляющейся в неплоском пространстве-времени. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.}$$ ${\displaystyle g}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

Электромагнетизм в общей теории относительности

Плотность Лагранжа электромагнетизма в общей теории относительности также содержит действие Эйнштейна–Гильберта сверху. Чистый электромагнитный лагранжиан — это именно материальный лагранжиан . Лагранжиан — это ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}}$$

Этот лагранжиан получается простой заменой метрики Минковского в приведенном выше плоском лагранжиане на более общую (возможно, искривленную) метрику . Мы можем сгенерировать уравнения поля Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля, используя этот лагранжиан. Тензор энергии-импульса равен Можно показать, что этот тензор энергии-импульса бесследовый, т. е. что Если мы возьмем след обеих сторон уравнений поля Эйнштейна, то получим Таким образом, бесследовость тензора энергии-импульса подразумевает, что скаляр кривизны в электромагнитном поле обращается в нуль. Уравнения Эйнштейна тогда имеют вид Кроме того, уравнения Максвелла имеют вид где — ковариантная производная . Для свободного пространства мы можем положить тензор тока равным нулю, . Решение уравнений Эйнштейна и Максвелла вокруг сферически симметричного распределения масс в свободном пространстве приводит к заряженной черной дыре Рейсснера–Нордстрема с определяющим линейным элементом (записанным в натуральных единицах и с зарядом Q ): ^[5] ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ $${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ $${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$$ $${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$$ $${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ $${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle j^{\mu }=0}$ $${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$$

Один из возможных способов объединения электромагнитных и гравитационных лагранжианов (используя пятое измерение) дается теорией Калуцы–Клейна . ^[2] По сути, строится аффинное расслоение, как и для уравнений Янга–Миллса, приведенных ранее, а затем рассматривается действие отдельно в 4-мерной и 1-мерной частях. Такие факторизации , такие как тот факт, что 7-мерная сфера может быть записана как произведение 4-мерной и 3-мерной сфер, или что 11-мерная сфера является произведением 4-мерной и 7-мерной сфер, во многом объясняли раннее волнение по поводу того, что была найдена теория всего . К сожалению, 7-мерная сфера оказалась недостаточно большой, чтобы охватить всю Стандартную модель , разбив эти надежды.

Дополнительные примеры

• Лагранжиан модели BF , сокращение от "Background Field", описывает систему с тривиальной динамикой, когда она записана на плоском пространственно-временном многообразии. В топологически нетривиальном пространстве-времени система будет иметь нетривиальные классические решения, которые могут быть интерпретированы как солитоны или инстантоны . Существует множество расширений, формирующих основы для топологических теорий поля .

Смотрите также

• Вариационное исчисление
• Ковариантная классическая теория поля
• Уравнение Эйлера–Лагранжа
• Функциональная производная
• Функциональный интеграл
• Обобщенные координаты
• Гамильтонова механика
• Гамильтонова теория поля
• Кинетический термин
• Лагранжевы и эйлеровы координаты
• Лагранжева механика
• точка Лагранжа
• Лагранжева система
• Теорема Нётер
• Функция Онзагера–Махлупа
• Принцип наименьшего действия
• Теория скалярного поля

Примечания

1. Стандартным злоупотреблением обозначениями является сокращение всех производных и координат в плотности Лагранжа следующим образом: см. four-gradient . μ — это индекс, который принимает значения 0 (для временной координаты) и 1, 2, 3 (для пространственных координат), поэтому строго будет присутствовать только одна производная или координата. В общем случае все пространственные и временные производные появятся в плотности Лагранжа, например, в декартовых координатах плотность Лагранжа имеет полную форму: Здесь мы записываем то же самое, но используем ∇ для сокращения всех пространственных производных как вектора. $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x_{\mu })}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\varphi ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}},{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}$$

Цитаты

1. Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден, (1967) «Основы механики»
2. Дэвид Бликер, (1981) «Калибровочная теория и вариационные принципы» Эддисон-Уэсли
3. Юрген Йост, (1995) «Риманова геометрия и геометрический анализ», Springer
4. Mandl, F.; Shaw, G. (2010). «Лагранжева теория поля». Квантовая теория поля (2-е изд.). Wiley. стр. 25–38. ISBN 978-0-471-49684-7.
5. Zee, Anthony (2013). Гравитация Эйнштейна в двух словах . Принстон: Princeton University Press. С. 344–390. ISBN 9780691145587.
6. Кэхилл, Кевин (2013). Физическая математика . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 9781107005211.
7. Йост, Юрген (2002). «Функционал Гинзбурга–Ландау». Риманова геометрия и геометрический анализ (третье изд.). Springer-Verlag. стр. 373–381. ISBN 3-540-42627-2.
8. Ицыксон-Зубер, уравнение 3-152
9. Клод Итиксон и Жан-Бернард Зубер, (1980) «Квантовая теория поля»