кривизна Риччи

2-тензор, полученный как контракция 4-тензора кривизны Римана на римановом многообразии

В дифференциальной геометрии тензор кривизны Риччи , названный в честь Грегорио Риччи-Курбастро , представляет собой геометрический объект, который определяется выбором римановой или псевдоримановой метрики на многообразии . Его можно рассматривать в широком смысле как меру степени, в которой геометрия данного метрического тензора локально отличается от геометрии обычного евклидова пространства или псевдоевклидова пространства .

Тензор Риччи можно охарактеризовать измерением того, как деформируется форма при движении вдоль геодезических в пространстве. В общей теории относительности , которая включает псевдориманову установку, это отражается присутствием тензора Риччи в уравнении Рейчаудхури . Отчасти по этой причине уравнения поля Эйнштейна предполагают, что пространство-время можно описать псевдоримановой метрикой с поразительно простой связью между тензором Риччи и содержанием материи во Вселенной.

Подобно метрическому тензору, тензор Риччи присваивает каждому касательному пространству многообразия симметричную билинейную форму (Besse 1987, стр. 43). ^[1] В широком смысле, можно было бы провести аналогию между ролью кривизны Риччи в римановой геометрии и ролью лапласиана в анализе функций; в этой аналогии тензор кривизны Римана , естественным побочным продуктом которого является кривизна Риччи, будет соответствовать полной матрице вторых производных функции. Однако есть и другие способы провести ту же аналогию.

В трехмерной топологии тензор Риччи содержит всю информацию, которая в высших измерениях кодируется более сложным тензором кривизны Римана . Отчасти эта простота позволяет применять множество геометрических и аналитических инструментов, что привело к решению гипотезы Пуанкаре благодаря работе Ричарда С. Гамильтона и Григория Перельмана .

В дифференциальной геометрии нижние границы тензора Риччи на римановом многообразии позволяют извлекать глобальную геометрическую и топологическую информацию путем сравнения (ср. теорему сравнения ) с геометрией пространства постоянной кривизны формы . Это связано с тем, что нижние границы тензора Риччи можно успешно использовать при изучении функционала длины в римановой геометрии, как впервые было показано в 1941 году с помощью теоремы Майерса .

Одним из распространенных источников тензора Риччи является то, что он возникает всякий раз, когда мы коммутируем ковариантную производную с тензорным лапласианом. Это, например, объясняет его присутствие в формуле Бохнера , которая повсеместно используется в римановой геометрии. Например, эта формула объясняет, почему оценки градиента, обусловленные Шинг-Тунг Яу (и их разработками, такими как неравенства Ченга-Яу и Ли-Яу), почти всегда зависят от нижней границы для кривизны Риччи.

В 2007 году Джон Лотт , Карл-Теодор Штурм и Седрик Виллани убедительно продемонстрировали, что нижние границы кривизны Риччи могут быть полностью поняты в терминах структуры метрического пространства риманова многообразия вместе с его объемной формой. ^[2] Это установило глубокую связь между кривизной Риччи и геометрией Вассерштейна и оптимальным транспортом , которая в настоящее время является предметом многих исследований. ^{[ требуется ссылка ]}

Определение

Предположим, что является -мерным римановым или псевдоримановым многообразием , снабженным связностью Леви-Чивиты . Риманова кривизна является отображением, которое берет гладкие векторные поля , , и , и возвращает векторное поле на векторных полях . Поскольку является тензорным полем, для каждой точки , оно порождает (мультилинейную) карту: Определим для каждой точки карту как ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p\in M}$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.}$$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.}$$

То есть, зафиксировав и , то для любого ортонормированного базиса векторного пространства имеем ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .}$$

Стандартным упражнением (мульти)линейной алгебры является проверка того, что это определение не зависит от выбора базиса . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

В абстрактной индексной нотации ,

$${\displaystyle \mathrm {Ric} _{ab}=\mathrm {R} ^{c}{}_{bca}=\mathrm {R} ^{c}{}_{acb}.}$$

Соглашения о знаках. Обратите внимание, что некоторые источники определяют то, что здесь было бы названо, тогда они бы определили как Хотя соглашения о знаках различаются относительно тензора Римана, они не различаются относительно тензора Риччи. ${\displaystyle R(X,Y)Z}$ ${\displaystyle -R(X,Y)Z;}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}}$ ${\displaystyle -\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z).}$

Определение через локальные координаты на гладком многообразии

Пусть будет гладким римановым или псевдоримановым -многообразием. При наличии гладкой карты тогда имеются функции и для каждого , которые удовлетворяют ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle g_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g^{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}$$

для всех . Последнее показывает, что, выраженные в виде матриц, . Функции определяются путем оценки координатных векторных полей, в то время как функции определяются так, что как матричнозначная функция они обеспечивают обратную функцию к матричнозначной функции . ${\displaystyle x\in \varphi (U)}$ ${\displaystyle g^{ij}(x)=(g^{-1})_{ij}(x)}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle x\mapsto g_{ij}(x)}$

Теперь определим для каждого , , , , и между 1 и , функции ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&:={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&:=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ai}^{a}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij}^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}}$$

как карты . ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

Теперь пусть и будут двумя гладкими графиками с . Пусть будут функциями, вычисленными, как указано выше, с помощью графика , а пусть будут функциями, вычисленными, как указано выше, с помощью графика . Затем можно проверить с помощью вычисления с цепным правилом и правилом произведения, что ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$ ${\displaystyle U\cap V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle R_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle r_{ij}:\psi (V)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$

$${\displaystyle R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_{i}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l}.}$$

где — первая производная вдоль направления . Это показывает, что следующее определение не зависит от выбора . Для любого определим билинейное отображение как ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (X,Y)\in T_{p}M\times T_{p}M\mapsto \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),}$$

где и — компоненты касательных векторов в точках и относительно векторных полей координат . ${\displaystyle X^{1},\ldots ,X^{n}}$ ${\displaystyle Y^{1},\ldots ,Y^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$

Приведенное выше формальное представление принято сокращать следующим образом:

Пусть будет гладким многообразием, а g будет римановой или псевдоримановой метрикой. В локальных гладких координатах определим символы Кристоффеля ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&:={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right)\\R_{jk}&:=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\partial _{j}\Gamma _{ki}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _{ik}^{p}.\end{aligned}}}$$

Можно напрямую проверить, что

$${\displaystyle R_{jk}={\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}},}$$

так что определяют (0,2)-тензорное поле на . В частности, если и являются векторными полями на , то относительно любых гладких координат имеем ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{jk}X^{j}Y^{k}&=\left({\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\widetilde {X}}^{c}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\widetilde {Y}}^{d}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{a}{\widetilde {Y}}^{b}.\end{aligned}}}$$

Последняя строка демонстрирует, что билинейное отображение Ric является корректно определенным, что гораздо проще записать с помощью неформальной записи.

Сравнение определений

Два приведенных выше определения идентичны. Формулы, определяющие и в координатном подходе, имеют точную параллель в формулах, определяющих связность Леви-Чивиты и кривизну Римана через связность Леви-Чивиты. Можно утверждать, что определения, напрямую использующие локальные координаты, предпочтительнее, поскольку «критическое свойство» тензора Римана, упомянутое выше, требует , чтобы оно было хаусдорфовым, чтобы иметь место. Напротив, подход с локальными координатами требует только гладкого атласа. Также несколько проще связать философию «инвариантности», лежащую в основе локального подхода, с методами построения более экзотических геометрических объектов, таких как спинорные поля . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$

Сложная формула, определяющая в вводном разделе, та же самая, что и в следующем разделе. Единственное отличие в том, что термины были сгруппированы так, что легко увидеть, что ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}.}$

Характеристики

Как видно из симметрий тензора кривизны Римана, тензор Риччи риманова многообразия симметричен в том смысле, что

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)}$$

для всех ${\displaystyle X,Y\in T_{p}M.}$

Таким образом, линейно-алгебраически следует, что тензор Риччи полностью определяется знанием величины для всех векторов единичной длины. Эту функцию на множестве единичных касательных векторов часто также называют кривизной Риччи , поскольку ее знание эквивалентно знанию тензора кривизны Риччи. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)}$ ${\displaystyle X}$

Кривизна Риччи определяется секционными кривизнами риманова многообразия, но, как правило, содержит меньше информации. Действительно, если — вектор единичной длины на римановом -многообразии, то — точно умноженное на среднее значение секционной кривизны, взятое по всем 2-плоскостям, содержащим . Существует -мерное семейство таких 2-плоскостей, и поэтому только в размерностях 2 и 3 тензор Риччи определяет полный тензор кривизны. Заметным исключением является случай, когда многообразие задано априори как гиперповерхность евклидова пространства . Вторая фундаментальная форма , которая определяет полную кривизну через уравнение Гаусса–Кодацци , сама определяется тензором Риччи, и главные направления гиперповерхности также являются собственными направлениями тензора Риччи. Тензор был введен Риччи по этой причине. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (n-2)}$

Как видно из второго тождества Бьянки, имеем

$${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,}$$

где — скалярная кривизна , определяемая в локальных координатах как Это часто называют сокращенным вторым тождеством Бьянки. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g^{ij}R_{ij}.}$

Прямой геометрический смысл

Вблизи любой точки риманова многообразия можно определить предпочтительные локальные координаты, называемые геодезическими нормальными координатами . Они адаптированы к метрике так, что геодезические через соответствуют прямым линиям, проходящим через начало координат, таким образом, что геодезическое расстояние от соответствует евклидову расстоянию от начала координат. В этих координатах метрический тензор хорошо аппроксимируется евклидовой метрикой, в точном смысле, что ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right).}$$

Фактически, взяв разложение Тейлора метрики, примененной к полю Якоби вдоль радиальной геодезической в ​​нормальной системе координат, можно получить $${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3}\right).}$$

В этих координатах элемент метрического объема имеет следующее расширение в точке p :

$${\displaystyle d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{3}\right)\right]d\mu _{\text{Euclidean}},}$$

что следует из разложения квадратного корня определителя метрики.

Таким образом, если кривизна Риччи положительна в направлении вектора , коническая область в , выметаемая плотно сфокусированным семейством геодезических сегментов длины, исходящих из , с начальной скоростью внутри малого конуса около , будет иметь меньший объем, чем соответствующая коническая область в евклидовом пространстве, по крайней мере при условии, что она достаточно мала. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна в направлении заданного вектора , такая коническая область в многообразии вместо этого будет иметь больший объем, чем она имела бы в евклидовом пространстве. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \xi }$

Кривизна Риччи по сути является средним значением кривизн в плоскостях, включая . Таким образом, если конус, испущенный с изначально круглым (или сферическим) поперечным сечением, искажается в эллипс ( эллипсоид ), возможно, что искажение объема исчезнет, ​​если искажения вдоль главных осей будут противодействовать друг другу. Тогда кривизна Риччи исчезнет вдоль . В физических приложениях наличие неисчезающей секционной кривизны не обязательно указывает на присутствие какой-либо массы локально; если изначально круглое поперечное сечение конуса мировых линий позже становится эллиптическим, не меняя своего объема, то это происходит из-за приливных эффектов от массы в каком-то другом месте. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

Приложения

Кривизна Риччи играет важную роль в общей теории относительности , где она является ключевым членом уравнений поля Эйнштейна .

Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи , впервые введенном Ричардом С. Гамильтоном в 1982 году, где некоторые однопараметрические семейства римановых метрик выделяются как решения геометрически определенного уравнения в частных производных. В гармонических локальных координатах тензор Риччи может быть выражен как (Chow & Knopf 2004, Lemma 3.32). ^[3] где — компоненты метрического тензора, а — оператор Лапласа–Бельтрами . Этот факт мотивирует введение уравнения потока Риччи как естественного расширения уравнения теплопроводности для метрики. Поскольку тепло имеет тенденцию распространяться через твердое тело до тех пор, пока тело не достигнет равновесного состояния постоянной температуры, если задано многообразие, можно надеяться, что поток Риччи создаст «равновесную» риманову метрику, которая является эйнштейновской или постоянной кривизной. Однако такая чистая картина «сходимости» не может быть достигнута, поскольку многие многообразия не могут поддерживать такие метрики. Детальное исследование природы решений потока Риччи, в основном благодаря Гамильтону и Григорию Перельману , показывает, что типы «особенностей», которые возникают вдоль потока Риччи, соответствующие отказу от сходимости, кодируют глубокую информацию о трехмерной топологии. Кульминацией этой работы стало доказательство гипотезы геометризации, впервые предложенной Уильямом Терстоном в 1970-х годах, которую можно рассматривать как классификацию компактных 3-многообразий. $${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{lower-order terms}},}$$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta }$

На кэлеровом многообразии кривизна Риччи определяет первый класс Черна многообразия (мод кручения). Однако кривизна Риччи не имеет аналогичной топологической интерпретации на общем римановом многообразии.

Глобальная геометрия и топология

Вот краткий список глобальных результатов, касающихся многообразий с положительной кривизной Риччи; см. также классические теоремы римановой геометрии . Вкратце, положительная кривизна Риччи риманова многообразия имеет сильные топологические последствия, в то время как (для размерности не менее 3) отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических последствий. (Говорят, что кривизна Риччи положительна , если функция кривизны Риччи положительна на множестве ненулевых касательных векторов .) Некоторые результаты известны также для псевдоримановых многообразий. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$

1. Теорема Майерса (1941) утверждает, что если кривизна Риччи ограничена снизу на полном римановом n -многообразии величиной , то многообразие имеет диаметр . Из аргумента о покрывающем пространстве следует, что любое компактное многообразие положительной кривизны Риччи должно иметь конечную фундаментальную группу . Ченг (1975) показал, что в этой ситуации равенство в неравенстве диаметров имеет место тогда и только тогда, когда многообразие изометрично сфере постоянной кривизны . ${\displaystyle (n-1)k>0}$ ${\displaystyle \leq \pi /{\sqrt {k}}}$ ${\displaystyle k}$
2. Неравенство Бишопа –Громова утверждает, что если полное -мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то объем геодезического шара меньше или равен объему геодезического шара того же радиуса в евклидовом -пространстве. Более того, если обозначает объем шара с центром и радиусом в многообразии, а обозначает объем шара радиуса в евклидовом -пространстве, то функция невозрастает. Это можно обобщить на любую нижнюю границу кривизны Риччи (не только неотрицательность), и это ключевой момент в доказательстве теоремы Громова о компактности .) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V(R)=c_{n}R^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)/V(R)}$
3. Теорема о расщеплении Чигера–Громолла утверждает, что если полное риманово многообразие с содержит линию , то есть геодезическую такую, что для всех , то оно изометрично пространству произведения . Следовательно, полное многообразие положительной кривизны Риччи может иметь не более одного топологического конца. Теорема также верна при некоторых дополнительных гипотезах для полных лоренцевских многообразий (метрической сигнатуры ) с неотрицательным тензором Риччи (Galloway 2000). ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} \geq 0}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle d(\gamma (u),\gamma (v))=\left|u-v\right|}$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times L}$ ${\displaystyle \left(+--\ldots \right)}$
4. Первая теорема Гамильтона о сходимости для потока Риччи имеет следствием, что единственными компактными 3-многообразиями, имеющими римановы метрики положительной кривизны Риччи, являются факторы 3-сферы по дискретным подгруппам SO(4), которые действуют разрывно. Позднее он расширил это, чтобы допустить неотрицательную кривизну Риччи. В частности, единственной односвязной возможностью является сама 3-сфера.

Эти результаты, в частности, Майерса и Гамильтона, показывают, что положительная кривизна Риччи имеет сильные топологические последствия. Напротив, за исключением случая поверхностей, отрицательная кривизна Риччи, как теперь известно, не имеет топологических последствий; Лохкамп (1994) показал, что любое многообразие размерности больше двух допускает полную риманову метрику отрицательной кривизны Риччи. В случае двумерных многообразий отрицательность кривизны Риччи является синонимом отрицательности гауссовой кривизны, что имеет очень ясные топологические последствия . Существует очень мало двумерных многообразий, которые не допускают римановы метрики отрицательной гауссовой кривизны.

Поведение при конформном масштабировании

Если метрика изменяется путем умножения ее на конформный множитель , тензор Риччи новой, конформно-связанной метрики задается (Besse 1987, стр. 59) как ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e^{2f}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2f}g}$

$${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)\left[\nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f-(n-2)\|df\|^{2}\right]g,}$$

где - (положительный спектр) лапласиан Ходжа, т. е. противоположность обычному следу гессиана. ${\displaystyle \Delta =*d*d}$

В частности, для заданной точки в римановом многообразии всегда можно найти метрики, конформные данной метрике, для которых тензор Риччи обращается в нуль при . Однако следует отметить, что это лишь поточечное утверждение; обычно невозможно заставить кривизну Риччи тождественно исчезнуть на всем многообразии с помощью конформного масштабирования. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$

Для двумерных многообразий приведенная выше формула показывает, что если — гармоническая функция , то конформное масштабирование не изменяет тензор Риччи (хотя оно все равно изменяет его след относительно метрики, если только . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\mapsto e^{2f}g}$ ${\displaystyle f=0}$

Тензор Риччи без следов

В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии бесследовый тензор Риччи (также называемый бесследовым тензором Риччи ) риманова или псевдориманова -многообразия - это тензор, определяемый формулой ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$

$${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg,}$$

где и обозначают кривизну Риччи и скалярную кривизну . Название этого объекта отражает тот факт, что его след автоматически исчезает: Однако это довольно важный тензор, поскольку он отражает «ортогональное разложение» тензора Риччи. ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0.}$

Ортогональное разложение тензора Риччи

Следующее, не столь тривиальное свойство:

$${\displaystyle \operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg.}$$

Менее очевидно, что два члена в правой части ортогональны друг другу:

$${\displaystyle \left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{n}}Rg_{ab}\right)=0.}$$

Тождество, которое тесно связано с этим (но которое может быть доказано напрямую), состоит в том, что

$${\displaystyle \left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.}$$

Тензор Риччи без следов и метрики Эйнштейна

Принимая дивергенцию и используя сокращенное тождество Бьянки, можно увидеть, что подразумевает . Итак, при условии, что n ≥ 3 и связно, исчезновение подразумевает, что скалярная кривизна постоянна. Тогда можно увидеть, что следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle Z=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$для некоторого числа ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg}$

В римановой постановке указанное выше ортогональное разложение показывает, что также эквивалентно этим условиям. В псевдоримановой постановке, напротив, условие не обязательно подразумевает, так что самое большее, что можно сказать, это то, что эти условия подразумевают ${\displaystyle R^{2}=n|\operatorname {Ric} |^{2}}$ ${\displaystyle |Z|_{g}^{2}=0}$ ${\displaystyle Z=0,}$ ${\displaystyle R^{2}=n\left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}.}$

В частности, равенство нулю бесследового тензора Риччи характеризует многообразия Эйнштейна , определяемые условием для числа В общей теории относительности это уравнение утверждает, что является решением уравнений вакуумного поля Эйнштейна с космологической постоянной . ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$

Кэлеровы многообразия

На кэлеровом многообразии кривизна Риччи определяет форму кривизны канонического линейного расслоения (Moroianu 2007, Глава 12). Каноническое линейное расслоение является верхней внешней степенью расслоения голоморфных кэлеровых дифференциалов : ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.}$$

Связность Леви-Чивиты, соответствующая метрике на , порождает связность на . Кривизна этой связности — это 2-форма, определяемая соотношением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle \rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)}$$

где — комплексное структурное отображение на касательном расслоении, определяемое структурой кэлерова многообразия. Форма Риччи является замкнутой 2-формой. Ее класс когомологий является, с точностью до вещественного постоянного множителя, первым классом Черна канонического расслоения и, следовательно, является топологическим инвариантом (для компактного ) в том смысле, что он зависит только от топологии и гомотопического класса комплексной структуры. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Наоборот, форма Риччи определяет тензор Риччи следующим образом:

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).}$$

В локальных голоморфных координатах форма Риччи задается выражением ${\displaystyle z^{\alpha }}$

$${\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)}$$

где ∂ — оператор Дольбо и

$${\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).}$$

Если тензор Риччи равен нулю, то каноническое расслоение является плоским, поэтому структурная группа может быть локально сведена к подгруппе специальной линейной группы . Однако кэлеровы многообразия уже обладают голономией в , и поэтому (ограниченная) голономия риччи-плоского кэлерова многообразия содержится в . И наоборот, если (ограниченная) голономия 2 -мерного риманова многообразия содержится в , то многообразие является риччи-плоским кэлеровым многообразием (Kobayashi & Nomizu 1996, IX, §4). ${\displaystyle SL(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle SU(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle SU(n)}$

Обобщение на аффинные связи

Тензор Риччи также может быть обобщен на произвольные аффинные связности , где он является инвариантом, который играет особенно важную роль в изучении проективной геометрии (геометрии, связанной с непараметризованными геодезическими) (Номидзу и Сасаки, 1994). Если обозначает аффинную связность, то тензор кривизны является (1,3)-тензором, определяемым как ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$

для любых векторных полей . Тензор Риччи определяется как след: ${\displaystyle X,Y,Z}$

$${\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.}$$

В этой более общей ситуации тензор Риччи симметричен тогда и только тогда, когда локально существует параллельная объемная форма для связности.

Дискретная кривизна Риччи

Понятия кривизны Риччи на дискретных многообразиях были определены на графах и сетях, где они количественно определяют локальные свойства расхождения ребер. Кривизна Риччи Оливье определяется с использованием оптимальной теории транспорта. ^[4] Другое (и более раннее) понятие, кривизна Риччи Формана, основано на топологических аргументах. ^[5]

Смотрите также

• Кривизна римановых многообразий
• Скалярная кривизна
• исчисление Риччи
• Разложение Риччи
• Риччи-плоское многообразие
• символы Кристоффеля
• Введение в математику общей теории относительности

Сноски

1. Здесь предполагается, что многообразие несет свою уникальную связность Леви-Чивиты . Для общей аффинной связности тензор Риччи не обязательно должен быть симметричным.
2. Лотт, Джон; Виллани, Седрик (2006-06-23). ​​"Кривизна Риччи для пространств с метрической мерой через оптимальный транспорт". arXiv : math/0412127 .
3. Чоу, Беннетт (2004). Поток Риччи: введение. Дэн Кнопф. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3515-7. OCLC  54692148.
4. Оливье, Ян (2009-02-01). «Кривизна Риччи цепей Маркова на метрических пространствах». Журнал функционального анализа . 256 (3): 810–864. doi : 10.1016/j.jfa.2008.11.001 . ISSN  0022-1236. S2CID  14316364.
5. Форман (2003-02-01). «Метод Бохнера для клеточных комплексов и комбинаторной кривизны Риччи». Дискретная и вычислительная геометрия . 29 (3): 323–374. doi : 10.1007/s00454-002-0743-x . ISSN  1432-0444. S2CID  9584267.

Ссылки

• Бесс, AL (1987), Многообразия Эйнштейна , Springer, ISBN 978-3-540-15279-8.
• Chow, Bennet & Knopf, Dan (2004), Поток Риччи: введение , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3515-7.
• Эйзенхарт, Л.П. (1949), Риманова геометрия , Princeton Univ. Press.
• Форман (2003), «Метод Бохнера для клеточных комплексов и комбинаторной кривизны Риччи», Дискретная и вычислительная геометрия , 29 (3): 323–374. doi:10.1007/s00454-002-0743-x. ISSN 1432-0444
• Гэллоуэй, Грегори (2000), «Принципы максимума для нулевых гиперповерхностей и теоремы о расщеплении нулей», Анналы института Анри Пуанкаре A , 1 (3): 543–567, arXiv : math/9909158 , Bibcode : 2000AnHP....1..543G, doi : 10.1007/s000230050006, S2CID  9619157.
• Кобаяси, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, Том 1 , Interscience.
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том. 2 , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-15732-8.
• Lohkamp, ​​Joachim (1994), «Метрики отрицательной кривизны Риччи», Annals of Mathematics , вторая серия, 140 (3), Annals of Mathematics: 655–683, doi : 10.2307/2118620, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118620, MR  1307899.
• Морояну, Андрей (2007), Лекции по геометрии Кэлера , Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 69, Cambridge University Press , arXiv : math/0402223 , doi :10.1017/CBO9780511618666, ISBN 978-0-521-68897-0, MR  2325093, S2CID  209824092
• Номидзу, Кацуми ; Сасаки, Такеши (1994), Аффинная дифференциальная геометрия , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3.
• Оливье, Ян (2009), «Кривизна Риччи цепей Маркова на метрических пространствах», Журнал функционального анализа 256 (3): 810–864. doi:10.1016/j.jfa.2008.11.001. ISSN 0022-1236
• Риччи, Г. (1903–1904), «Direzioni e Invarianti Principal in una varietà qualunque», Atti R. Inst. Венето , 63 (2): 1233–1239..
• Л.А. Сидоров (2001) [1994], "Тензор Риччи", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Л.А. Сидоров (2001) [1994], "Кривизна Риччи", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Наджман, Лоран и Ромон, Паскаль (2017): Современные подходы к дискретной кривизне, Springer (Cham), Конспект лекций по математике

Внешние ссылки

• З. Шен, К. Сормани «Топология открытых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи» (обзор)
• Г. Вэй, «Многообразия с нижней границей кривизны Риччи» (обзор)