Метрика Рейсснера–Нордстрема

Сферически симметричная метрика с электрическим зарядом

В физике и астрономии метрика Рейсснера –Нордстрёма представляет собой статическое решение уравнений поля Эйнштейна–Максвелла , которое соответствует гравитационному полю заряженного, невращающегося, сферически симметричного тела массой M. Аналогичное решение для заряженного вращающегося тела дается метрикой Керра–Ньюмена .

Метрика была открыта между 1916 и 1921 годами Гансом Рейсснером ^[1] , Германом Вейлем ^[2], Гуннаром Нордстрёмом ^[3] и Джорджем Баркером Джеффри ^[4] независимо друг от друга. ^[5]

Метрика

В сферических координатах метрика Рейсснера–Нордстрема (т.е. линейный элемент ) имеет вид ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},}$

• Где скорость света . ${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \tau }$самое время.
• ${\displaystyle t}$— это временная координата (измеренная неподвижными часами на бесконечности).
• ${\displaystyle r}$— радиальная координата.
• ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$являются сферическими углами.
• ${\displaystyle r_{\text{s}}}$радиус Шварцшильда тела определяется выражением

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$.

• ${\displaystyle r_{Q}}$представляет собой характерную шкалу длины, заданную формулой

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.}$

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$электрическая постоянная .

Полная масса центрального тела и его неприводимая масса связаны соотношением ^{[6] [7]} ${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.}$

Разница между и обусловлена ​​эквивалентностью массы и энергии , в результате чего энергия электрического поля также вносит вклад в общую массу. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$

В пределе, когда заряд (или, что эквивалентно, масштаб длины ) стремится к нулю, восстанавливается метрика Шварцшильда . Классическая ньютоновская теория гравитации может быть восстановлена ​​в пределе, когда отношение стремится к нулю. В пределе, когда и стремятся к нулю, метрика становится метрикой Минковского для специальной теории относительности . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r_{Q}}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ ${\displaystyle r_{Q}/r}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$

На практике это отношение часто бывает чрезвычайно малым. Например, радиус Шварцшильда Земли составляет примерно 9  мм (3/8  дюйма ), тогда как радиус орбиты спутника на геосинхронной орбите примерно в четыре миллиарда раз больше — 42 164  км (26 200  миль ). Даже на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют всего одну миллиардную часть. Отношение становится большим только вблизи черных дыр и других сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды . ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ ${\displaystyle r}$

Заряженные черные дыры

Хотя заряженные черные дыры с r _Q  ≪ r _s похожи на черную дыру Шварцшильда , у них есть два горизонта: горизонт событий и внутренний горизонт Коши . ^[8] Как и в случае с метрикой Шварцшильда, горизонты событий для пространства-времени расположены там, где расходится компонент метрики ; то есть там, где ${\displaystyle g_{rr}}$ $${\displaystyle 1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{g_{rr}}}=0.}$$

Это уравнение имеет два решения: $${\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).}$$

Эти концентрические горизонты событий становятся вырожденными при 2 r _Q  = r _s , что соответствует экстремальной черной дыре . Черные дыры с 2 r _Q  > r _s не могут существовать в природе, потому что если заряд больше массы, то не может быть физического горизонта событий (член под квадратным корнем становится отрицательным). ^[9] Объекты с зарядом больше их массы могут существовать в природе, но они не могут коллапсировать в черную дыру, а если бы могли, то продемонстрировали бы голую сингулярность . ^[10] Теории с суперсимметрией обычно гарантируют, что такие «суперэкстремальные» черные дыры не могут существовать.

Электромагнитный потенциал равен $${\displaystyle A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).}$$

Если магнитные монополи включены в теорию, то обобщение для включения магнитного заряда P получается путем замены Q ² на Q ² + P ² в метрике и включения члена P  cos  θ  dφ в электромагнитный потенциал. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Гравитационное замедление времени

Гравитационное замедление времени вблизи центрального тела определяется выражением , которое связано с локальной радиальной скоростью убегания нейтральной частицы $${\displaystyle \gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},}$$ $${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.}$$

символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля с индексами дают неисчезающие выражения $${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)}$$ $${\displaystyle \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{r(Q^{2}-2Mr+r^{2})}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}}$$

Учитывая символы Кристоффеля, можно вычислить геодезические линии тестовой частицы. ^{[11] [12]}

Тетрадная форма

Вместо работы в голономном базисе можно выполнять эффективные вычисления с тетрадой . ^[13] Пусть будет набором ун-форм с внутренним индексом Минковского , таким что . Метрика Рейсснера может быть описана тетрадой ${\displaystyle {\bf {e}}_{I}=e_{\mu I}}$ ${\displaystyle I\in \{0,1,2,3\}}$ ${\displaystyle \eta ^{IJ}e_{\mu I}e_{\nu J}=g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\bf {e}}_{0}=G^{1/2}\,dt}$,

${\displaystyle {\bf {e}}_{1}=G^{-1/2}\,dr}$,

${\displaystyle {\bf {e}}_{2}=r\,d\theta }$

${\displaystyle {\bf {e}}_{3}=r\sin \theta \,d\varphi }$

где . Параллельный перенос тетрады улавливается связными формами . Они имеют только 24 независимых компонента по сравнению с 40 компонентами . Связи можно решить путем проверки из уравнения Картана , где левая часть является внешней производной тетрады, а правая часть является произведением клина . ${\displaystyle G(r)=1-r_{s}r^{-1}+r_{Q}^{2}r^{-2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}=-{\boldsymbol {\omega }}_{JI}=\omega _{\mu IJ}=e_{I}^{\nu }\nabla _{\mu }e_{J\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle d{\bf {e}}_{I}={\bf {e}}^{J}\wedge {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{10}={\frac {1}{2}}\partial _{r}G\,dt}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{20}={\boldsymbol {\omega }}_{30}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{21}=-G^{1/2}\,d\theta }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{31}=-\sin \theta G^{1/2}d\varphi }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{32}=-\cos \theta \,d\varphi }$

Тензор Римана может быть построен как набор двумерных форм по второму уравнению Картана , которое снова использует внешнюю производную и клиновидное произведение. Этот подход значительно быстрее традиционного вычисления с ; обратите внимание, что имеется только четыре ненулевых компонента по сравнению с девятью ненулевыми компонентами . ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=R_{\mu \nu IJ}}$ ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=d{\boldsymbol {\omega }}_{IJ}+{\boldsymbol {\omega }}_{IK}\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{K}{}_{J},}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

Уравнения движения

^[14]

Из-за сферической симметрии метрики система координат всегда может быть выровнена таким образом, что движение пробной частицы будет ограничено плоскостью, поэтому для краткости и без ограничения общности мы используем θ вместо φ . В безразмерных натуральных единицах G  =  M  =  c  =  K  = 1 движение электрически заряженной частицы с зарядом q задается выражением, что дает $${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.}$$

Все полные производные относятся к собственному времени . ${\displaystyle {\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}}$

Константы движения определяются решениями уравнения в частных производных ^[15] после подстановки вторых производных, приведенных выше. Сама метрика является решением, если записана в виде дифференциального уравнения ${\displaystyle S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})}$ $${\displaystyle 0={\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}}$$ $${\displaystyle S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.}$$

Разделяемое уравнение немедленно дает постоянный релятивистский удельный момент импульса, третья константа, полученная из которого, представляет собой удельную энергию (энергия на единицу массы покоя) ^[16] $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0}$$ $${\displaystyle S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }};}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0}$$ $${\displaystyle S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.}$$

Подставляя и в получаем радиальное уравнение ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ $${\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

Умножение под знаком интеграла на дает орбитальное уравнение ${\displaystyle S_{2}}$ $${\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

Общее замедление времени между тестовой частицей и наблюдателем на бесконечности равно $${\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}.}$$

Первые производные и контравариантные компоненты локальной 3-скорости связаны соотношением , которое дает начальные условия ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ ${\displaystyle v^{i}}$ $${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}},}$$ $${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}}$$ $${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}$$

Удельная орбитальная энергия и удельный относительный угловой момент пробной частицы являются сохраняющимися величинами движения. и являются радиальной и поперечной компонентами локального вектора скорости. Локальная скорость, таким образом, равна $${\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}}$$ $${\displaystyle L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$$ ${\displaystyle v_{\parallel }}$ ${\displaystyle v_{\perp }}$ $${\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}.}$$

Альтернативная формулировка метрики

Метрику можно выразить в форме Керра–Шилда следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\\[5pt]f&={\frac {G}{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\[5pt]k_{0}&=1.\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что k — единичный вектор . Здесь M — постоянная масса объекта, Q — постоянный заряд объекта, а η — тензор Минковского .

Смотрите также

• Электрон черной дыры

Примечания

1. Рейсснер, Х. (1916). «Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie». Аннален дер Физик . 355 (9): 106–120. Бибкод : 1916АнП...355..106Р. дои : 10.1002/andp.19163550905. ISSN  0003-3804.
2. Вейль, Герман (1917). «Теория гравитации». Аннален дер Физик . 359 (18): 117–145. Бибкод : 1917АнП...359..117Вт. дои : 10.1002/andp.19173591804. ISSN  0003-3804.
3. Нордстрем, Г. (1918). «Об энергии гравитационного поля в теории Эйнштейна». Слушания Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen . 20 (2): 1238–1245. Бибкод : 1918KNAB...20.1238N.
4. Джеффри, ГБ (1921). «Поле электрона в теории гравитации Эйнштейна». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 99 (697): 123–134. Bibcode : 1921RSPSA..99..123J. doi : 10.1098/rspa.1921.0028 . ISSN  0950-1207.
5. Сигел, Итан (13.10.2021). «Сюрприз: Большой взрыв больше не является началом Вселенной». Big Think . Получено 03.09.2024 .
6. Тибо Дамур : Черные дыры: энергетика и термодинамика, С. 11 и далее.
7. Кадир, Асгар (декабрь 1983 г.). «Отталкивание Рейсснера-Нордстрема». Physics Letters A. 99 ( 9): 419–420. Bibcode : 1983PhLA...99..419Q. doi : 10.1016/0375-9601(83)90946-5.
8. Чандрасекар, Субраманьян (2009). Математическая теория черных дыр. Классические тексты Оксфорда по физическим наукам (Переиздание). Оксфорд: Clarendon Press. С. 205. ISBN 978-0-19-850370-5. И наконец, тот факт, что решение Рейсснера–Нордстрёма имеет два горизонта: внешний горизонт событий и внутренний «горизонт Коши», обеспечивает удобный мост к изучению решения Керра в последующих главах.
9. Эндрю Гамильтон: Геометрия Рейсснера Нордстрема (Casa Colorado)
10. Картер, Брэндон (25 октября 1968 г.). «Глобальная структура семейства гравитационных полей Керра». Physical Review . 174 (5): 1559–1571. doi :10.1103/PhysRev.174.1559. ISSN  0031-899X.
11. Леонард Сасскинд : Теоретический минимум: геодезические и гравитация, ( Общая теория относительности, лекция 4 , временная метка: 34м18с)
12. Хакманн, Ева; Сюй, Хунсяо (2013). «Движение заряженных частиц в пространстве-времени Керра-Ньюмана». Physical Review D. 87 ( 12): 124030. arXiv : 1304.2142 . doi : 10.1103/PhysRevD.87.124030. ISSN  1550-7998.
13. Уолд, Роберт М. (2009). Общая теория относительности (переиздание). Чикаго: Univ. of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
14. Нордебо, Джонатан. "Метрика Рейсснера-Нордстрема" (PDF) . diva-portal . Получено 8 апреля 2021 г. .
15. Смит, BR (декабрь 2009 г.). «Уравнения с частными производными первого порядка в классической динамике». American Journal of Physics . 77 (12): 1147–1153. Bibcode :2009AmJPh..77.1147S. doi :10.1119/1.3223358. ISSN  0002-9505.
16. Мизнер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд; Кайзер, Дэвид; и др. (2017). Гравитация . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 656–658. ISBN 978-0-691-17779-3. OCLC  1006427790.

Ссылки

• Адлер, Р.; Базен, М.; Шиффер, М. (1965). Введение в общую теорию относительности. Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Company. С. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. С. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

Внешние ссылки

• Диаграммы пространства-времени, включая диаграмму Финкельштейна и диаграмму Пенроуза , Эндрю Дж. С. Гамильтон
• «Частица, движущаяся вокруг двух экстремальных черных дыр» Энрике Зелени, The Wolfram Demonstrations Project .