Электромагнитный четырехпотенциальный

Релятивистское векторное поле

Электромагнитный четырехпотенциал — это релятивистская векторная функция , из которой можно вывести электромагнитное поле . Он объединяет как электрический скалярный потенциал , так и магнитный векторный потенциал в один четырехвекторный потенциал . ^[1]

При измерении в данной системе отсчета и для данного датчика первый компонент электромагнитного четырехпотенциала обычно считается электрическим скалярным потенциалом, а остальные три компонента составляют магнитный векторный потенциал. Хотя и скалярный, и векторный потенциал зависят от системы отсчета, электромагнитный четырехпотенциал является лоренц-ковариантным .

Как и другие потенциалы, множество различных электромагнитных четырехпотенциалов соответствуют одному и тому же электромагнитному полю, в зависимости от выбора датчика.

В этой статье используется обозначение тензорного индекса и соглашение о знаках метрики Минковского (+ − − −) . См. также ковариацию и контравариантность векторов , а также индексы повышения и понижения для получения более подробной информации об обозначениях. Формулы даны в единицах СИ и гауссовских единицах СГС .

Определение

Контравариантный электромагнитный четырехпотенциал можно определить как: ^[2]

в котором φ — электрический потенциал , а А — магнитный потенциал ( векторный потенциал ). Единицами A ^α являются V · s · m ⁻¹ в системе СИ и Mx · cm ⁻¹ в системе Gaussian-cgs .

Электрические и магнитные поля, связанные с этими четырьмя потенциалами: ^[3]

В специальной теории относительности электрические и магнитные поля преобразуются при преобразованиях Лоренца . Это можно записать в виде тензора второго ранга — электромагнитного тензора . 16 контравариантных компонентов электромагнитного тензора, используя метрическое соглашение Минковского (+ - - -), записываются через электромагнитный четырехпотенциал и четырехградиент как :

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

Если вместо указанной подписи указано (− + + +), то:

${\displaystyle F'\,^{\mu \nu }=\partial '\,^{\mu }A^{\nu }-\partial '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

По сути, это определяет четырехпотенциал с точки зрения физически наблюдаемых величин, а также сводится к приведенному выше определению.

В калибровке Лоренца

Часто калибровочное условие Лоренца в инерциальной системе отсчета используется для упрощения уравнений Максвелла как: ^[2] ${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$

где J ^α — компоненты четырехтока , а

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }}$

есть оператор Даламбера . В терминах скалярного и векторного потенциалов последнее уравнение принимает вид:

Для данного распределения заряда и тока, ρ ( r , t ) и j ( r , t ) , решения этих уравнений в единицах СИ: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}$

это отсталое время . Иногда это также выражается с помощью

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],}$

где квадратные скобки предназначены для обозначения того, что время должно оцениваться в запаздывающем времени. Конечно, поскольку приведенные выше уравнения являются просто решением неоднородного дифференциального уравнения , к ним можно добавить любое решение однородного уравнения, чтобы удовлетворить граничным условиям . Эти однородные решения в общем представляют собой волны, распространяющиеся от источников за границей.

Когда приведенные выше интегралы оцениваются для типичных случаев, например, для осциллирующего тока (или заряда), обнаруживается, что они дают как компонент магнитного поля, изменяющийся в соответствии с r ^-2 (поле индукции), так и компонент, уменьшающийся как r ^-1 ( поле радиации). ^{[ нужны разъяснения ]}

Свобода измерения

При сведении к одной форме (в тензорной нотации ) четырехпотенциал (обычно записываемый как вектор или в тензорной нотации) может быть разложен ^{[ необходимы пояснения ]} с помощью теоремы о разложении Ходжа как сумма точного соточная и гармоническая форма, ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mu }}$

${\displaystyle A=d\alpha +\delta \beta +\gamma }$.

В A существует калибровочная свобода в этой из трех форм этого разложения, только коточная форма оказывает какое-либо влияние на электромагнитный тензор

${\displaystyle F=dA}$.

Точные формы замкнуты, как и гармонические формы в соответствующей области, так и , всегда. Итак, независимо от того, что и есть, нам остается просто ${\displaystyle dd\alpha =0}$ ${\displaystyle d\gamma =0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle F=d\delta \beta }$.

Смотрите также

• Четырехвекторный
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Уравнения Ефименко
• Глюонное поле
• Эффект Ааронова – Бома

Рекомендации

1. Гравитация, Дж. А. Уиллер, К. Миснер, К. С. Торн, WH Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0
2. DJ Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2.
3. IS Grant, WR Phillips (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Манчестерская физика, Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9.

• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е место) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853952-5.
• Джексон, JD (1999). Классическая электродинамика (3-е место) . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-30932-Х.