Линеаризованная гравитация

Линейные возмущения решений нелинейных уравнений поля Эйнштейна

В общей теории относительности линеаризованная гравитация является применением теории возмущений к метрическому тензору , описывающему геометрию пространства-времени . Как следствие, линеаризованная гравитация является эффективным методом моделирования эффектов гравитации, когда гравитационное поле слабое. Использование линеаризованной гравитации является неотъемлемой частью изучения гравитационных волн и гравитационного линзирования слабого поля .

Приближение слабого поля

Уравнение поля Эйнштейна (УПЭ), описывающее геометрию пространства-времени , задается как

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

где — тензор Риччи , — скаляр Риччи , — тензор энергии-импульса , — гравитационная постоянная Эйнштейна , — метрический тензор пространства-времени , представляющий решения уравнения. ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa =8\pi G/c^{4}}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Хотя они и лаконичны при записи с использованием обозначений Эйнштейна , скрытые внутри тензора Риччи и скаляра Риччи являются исключительно нелинейными зависимостями от метрического тензора, которые делают перспективу нахождения точных решений непрактичной в большинстве систем. Однако при описании систем, для которых кривизна пространства-времени мала (что означает, что члены в EFE, которые являются квадратичными по , не вносят существенного вклада в уравнения движения), можно смоделировать решение уравнений поля как метрику Минковского ^{[примечание 1]} плюс малый возмущенный член . Другими словами: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.}$

В этом режиме замена общей метрики на это пертурбативное приближение приводит к упрощенному выражению для тензора Риччи: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),}$

где — след возмущения, обозначает частную производную по координате пространства-времени, а — оператор Даламбера . ${\displaystyle h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$

Вместе со скаляром Риччи,

${\displaystyle R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,}$

левая часть уравнения поля сводится к

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h).}$

и, таким образом, УЭФ сводится к линейному уравнению в частных производных второго порядка в терминах . ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Калибровочная инвариантность

Процесс разложения общего пространства-времени на метрику Минковского плюс возмущение не является уникальным. Это связано с тем, что различные варианты выбора координат могут давать различные формы для . Чтобы охватить это явление, вводится применение калибровочной симметрии . ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Калибровочные симметрии — это математический прием для описания системы, которая не меняется, когда базовая система координат «смещается» на бесконечно малую величину. Таким образом, хотя метрика возмущения не определена последовательно между различными системами координат, общая система, которую она описывает, является . ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Чтобы формально зафиксировать это, неединственность возмущения представляется как следствие разнообразного набора диффеоморфизмов на пространстве-времени, которые оставляют достаточно малыми. Поэтому требуется, чтобы было определено в терминах общего набора диффеоморфизмов, а затем выбрать подмножество из них, которые сохраняют малый масштаб, требуемый приближением слабого поля. Таким образом, можно определить для обозначения произвольного диффеоморфизма, который отображает плоское пространство-время Минковского в более общее пространство-время, представленное метрикой . При этом метрика возмущения может быть определена как разность между пулбэком и метрикой Минковского: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.}$

Таким образом, диффеоморфизмы можно выбрать так, что . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |h_{\mu \nu }|\ll 1}$

При наличии векторного поля, определенного на плоском фоновом пространстве-времени, дополнительное семейство диффеоморфизмов может быть определено как те, которые генерируются и параметризуются . Эти новые диффеоморфизмы будут использоваться для представления преобразований координат для «бесконечно малых сдвигов», как обсуждалось выше. Вместе с , семейство возмущений задается как ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi _{\epsilon }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}}$

Поэтому в пределе , ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }}$

где — производная Ли вдоль векторного поля . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }}$ ${\displaystyle \xi _{\mu }}$

Производная Ли дает окончательное калибровочное преобразование метрики возмущения : ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),}$

которые точно определяют набор метрик возмущения, описывающих одну и ту же физическую систему. Другими словами, он характеризует калибровочную симметрию линеаризованных уравнений поля.

Выбор калибра

Используя калибровочную инвариантность, можно гарантировать определенные свойства метрики возмущения, выбрав подходящее векторное поле . ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

Поперечная колея

Чтобы изучить, как возмущение искажает измерения длины, полезно определить следующий пространственный тензор: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}}$

(Обратите внимание, что индексы охватывают только пространственные компоненты: ). Таким образом, используя , пространственные компоненты возмущения можно разложить как ${\displaystyle i,j\in \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle s_{ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}}$

где . ${\displaystyle \Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}}$

Тензор , по своей конструкции, бесследен и называется деформацией, поскольку он представляет собой величину, на которую возмущение растягивает и сжимает измерения пространства . В контексте изучения гравитационного излучения деформация особенно полезна при использовании с поперечной калибровкой. Эта калибровка определяется выбором пространственных компонентов для удовлетворения соотношения ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij},}$

затем выбираем компонент времени для удовлетворения ${\displaystyle \xi ^{0}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}.}$

После выполнения калибровочного преобразования с использованием формулы из предыдущего раздела деформация становится пространственно поперечной:

${\displaystyle \partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,}$

с дополнительным свойством:

${\displaystyle \partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.}$

Синхронный датчик

Синхронная калибровка упрощает метрику возмущения, требуя, чтобы метрика не искажала измерения времени. Точнее, синхронная калибровка выбирается таким образом, чтобы непространственные компоненты были равны нулю, а именно ${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}}$

${\displaystyle h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.}$

Этого можно достичь, потребовав, чтобы временной компонент удовлетворял ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}}$

и требуя, чтобы пространственные компоненты удовлетворяли

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.}$

Гармонический датчик

Гармонический калибр (также называемый калибром Лоренца ^{[примечание 2]} ) выбирается всякий раз, когда необходимо максимально сократить линеаризованные уравнения поля. Это можно сделать, если выполняется условие

${\displaystyle \partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h}$

верно. Для достижения этого требуется удовлетворить отношение ${\displaystyle \xi _{\mu }}$

${\displaystyle \square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.}$

Следовательно, используя гармоническую калибровку, тензор Эйнштейна сводится к ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).}$

Поэтому, записывая его в терминах метрики «обратного следа», линеаризованные уравнения поля сводятся к ${\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle \square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-2\kappa T_{\mu \nu }.}$

Эту задачу можно решить точно, получив волновые решения , определяющие гравитационное излучение .

Смотрите также

• Принцип соответствия
• Гравитоэлектромагнетизм
• тензор Ланцоша
• Параметризованный постньютоновский формализм
• Пост-ньютоновское расширение
• Квазинормальный режим

Примечания

1. Это предполагает, что фоновое пространство-время плоское. Теория возмущений, применяемая в пространстве-времени, которое уже искривлено, может работать так же хорошо, если заменить этот термин метрикой, представляющей искривленный фон.
2. Не путать с Лоренцом.

Дальнейшее чтение

• Шон М. Кэрролл (2003). Пространство-время и геометрия, введение в общую теорию относительности . Пирсон. ISBN 978-0805387322.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с линеаризованной гравитацией в Wikiquote