Точные решения в общей теории относительности

В общей теории относительности точное решение — это решение уравнений поля Эйнштейна , вывод которого не требует упрощающих предположений, хотя отправной точкой для этого вывода может быть идеализированный случай, например, идеально сферическая форма материи. Математически, нахождение точного решения означает нахождение лоренцева многообразия, снабженного тензорными полями, моделирующими состояния обычной материи, такой как жидкость , или классических негравитационных полей, таких как электромагнитное поле .

Предыстория и определение

Эти тензорные поля должны подчиняться любым соответствующим физическим законам (например, любое электромагнитное поле должно удовлетворять уравнениям Максвелла ). Следуя стандартному рецепту, который широко используется в математической физике , эти тензорные поля должны также приводить к определенным вкладам в тензор энергии-импульса . ^[1] (Поле описывается лагранжианом , изменение относительно поля должно давать уравнения поля, а изменение относительно метрики должно давать вклад энергии-импульса, обусловленный полем.) ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

Наконец, когда все вклады в тензор энергии-импульса сложены, результатом должно быть решение уравнений поля Эйнштейна

${\displaystyle G^{\alpha \beta }=\kappa \,T^{\alpha \beta }.}$

В приведенных выше уравнениях поля — тензор Эйнштейна , вычисленный однозначно из метрического тензора , который является частью определения лоренцева многообразия. Поскольку задание тензора Эйнштейна не полностью определяет тензор Римана , но оставляет тензор Вейля неопределенным (см. разложение Риччи ), уравнение Эйнштейна можно считать своего рода условием совместимости: геометрия пространства-времени должна соответствовать количеству и движению любой материи или негравитационных полей в том смысле, что непосредственное присутствие «здесь и сейчас» негравитационной энергии-импульса вызывает пропорциональную величину кривизны Риччи «здесь и сейчас». Более того, принимая ковариантные производные уравнений поля и применяя тождества Бианки , обнаруживается, что соответствующим образом изменяющееся количество/движение негравитационной энергии-импульса может вызвать распространение ряби кривизны в виде гравитационного излучения даже через области вакуума , которые не содержат материи или негравитационных полей. ${\displaystyle G^{\alpha \beta }}$

Трудности с определением

Любое лоренцево многообразие является решением уравнения поля Эйнштейна для некоторой правой части. Это иллюстрируется следующей процедурой:

• Возьмем любое лоренцево многообразие , вычислим его тензор Эйнштейна , что является чисто математической операцией. ${\displaystyle G^{\alpha \beta }}$
• разделить на гравитационную постоянную Эйнштейна ${\displaystyle \kappa }$
• объявить полученное симметричное тензорное поле второго ранга тензором энергии-импульса . ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

Это показывает, что существует два взаимодополняющих способа использования общей теории относительности:

• Можно зафиксировать форму тензора энергии-импульса (например, по каким-то физическим причинам) и изучать решения уравнений Эйнштейна с такой правой частью (например, если тензор энергии-импульса выбран таким, как у идеальной жидкости, то сферически симметричное решение может служить звездной моделью ) .
• В качестве альтернативы можно зафиксировать некоторые геометрические свойства пространства-времени и искать источник материи, который мог бы обеспечить эти свойства. Это то, что космологи делали с 2000-х годов: они предполагают, что Вселенная однородна, изотропна и ускоряется, и пытаются понять, какая материя (называемая темной энергией ) может поддерживать такую ​​структуру.

В рамках первого подхода предполагаемый тензор энергии-напряжения должен возникать стандартным образом из «разумного» распределения материи или негравитационного поля. На практике это понятие довольно ясно, особенно если мы ограничим допустимые негравитационные поля единственным известным в 1916 году электромагнитным полем . Но в идеале мы хотели бы иметь некоторую математическую характеристику , которая устанавливает некий чисто математический тест, который мы можем применить к любому предполагаемому «тензору энергии-напряжения», который проходит все, что может возникнуть из «разумного» физического сценария, и отвергает все остальное. Такая характеристика неизвестна. Вместо этого у нас есть грубые тесты, известные как энергетические условия , которые похожи на наложение ограничений на собственные значения и собственные векторы линейного оператора . С одной стороны, эти условия слишком разрешительны: они допускают «решения», которые почти никто не считает физически обоснованными. С другой стороны, они могут быть слишком ограничительными: самые популярные энергетические условия, по-видимому, нарушаются эффектом Казимира .

Эйнштейн также распознал еще один элемент определения точного решения: оно должно быть лоренцевым многообразием (соответствующим дополнительным критериям), т. е. гладким многообразием . Но при работе с общей теорией относительности оказывается очень полезным допускать решения, которые не везде гладкие; примеры включают множество решений, созданных путем сопоставления идеального жидкого внутреннего решения с вакуумным внешним решением и импульсивными плоскими волнами. И снова творческое напряжение между элегантностью и удобством, соответственно, оказалось трудноразрешимым удовлетворительным образом.

В дополнение к таким локальным возражениям, у нас есть гораздо более сложная проблема, что существует очень много точных решений, которые локально не вызывают возражений, но глобально демонстрируют каузально подозрительные особенности, такие как замкнутые времениподобные кривые или структуры с точками разделения («миры-штаны»). Некоторые из наиболее известных точных решений, на самом деле, имеют глобально странный характер.

Типы точного решения

Многие известные точные решения принадлежат к одному из нескольких типов в зависимости от предполагаемой физической интерпретации тензора энергии-импульса:

• Вакуумные решения : они описывают области, в которых нет ни материи, ни негравитационных полей, ${\displaystyle T^{\alpha \beta }=0}$
• Электровакуумные решения : должны возникать исключительно из электромагнитного поля , которое решает уравнения Максвелла без источника на заданном искривленном лоренцевом многообразии; это означает, что единственным источником гравитационного поля является энергия поля (и импульс) электромагнитного поля, ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$
• Нулевые пылевые решения : должны соответствовать тензору энергии-импульса, который можно интерпретировать как возникающий из некогерентного электромагнитного излучения, без необходимости решения уравнений поля Максвелла на заданном лоренцевом многообразии, ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$
• Жидкие растворы : должны полностью возникать из тензора энергии-напряжения жидкости (часто принимаемой за идеальную жидкость ); единственным источником гравитационного поля является энергия, импульс и напряжение (давление и напряжение сдвига ) вещества, составляющего жидкость. ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

В дополнение к таким хорошо изученным явлениям, как жидкости или электромагнитные волны, можно рассмотреть модели, в которых гравитационное поле создается исключительно за счет энергии поля различных экзотических гипотетических полей:

• Решения скалярного поля : должны возникать полностью из скалярного поля (часто безмассового скалярного поля); они могут возникать в классических теориях поля при рассмотрении мезонных пучков или как квинтэссенция , ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$
• Решения Лямбда-вакуума (не стандартный термин, а стандартная концепция, для которой пока не существует названия): возникают исключительно из-за ненулевой космологической постоянной . ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

Одной из возможностей, которая получила мало внимания (возможно, потому что математика очень сложна), является проблема моделирования упругого твердого тела . В настоящее время, кажется, не известно никаких точных решений для этого конкретного типа.

Ниже мы набросали классификацию по физической интерпретации. Решения также могут быть организованы с использованием классификации Сегре возможных алгебраических симметрий тензора Риччи :

• Ненулевые электровакуумы имеют тип Сегре и группу изотропии SO(1,1) x SO(2), ${\displaystyle \{\,(1,1)(11)\}}$
• нулевые электровакуумы и нулевые пыли имеют тип Сегре и группу изотропии E(2), ${\displaystyle \{\,(2,11)\}}$
• Идеальные жидкости имеют тип Сегре и группу изотропии SO(3), ${\displaystyle \{\,1,(111)\}}$
• Лямбда-вакуумы имеют тип Сегре и группу изотропии SO(1,3). ${\displaystyle \{\,(1,111)\}}$

Остальные типы Сегре не имеют конкретной физической интерпретации, и большинство из них не могут соответствовать ни одному известному типу вклада в тензор энергии-импульса.

Примеры

Примечательные примеры вакуумных решений, электровакуумных решений и т. д. перечислены в специализированных статьях (см. ниже). Эти решения содержат максимум один вклад в тензор энергии-импульса , обусловленный определенным видом материи или поля. Однако есть некоторые примечательные точные решения, которые содержат два или три вклада, в том числе:

• Решение NUT-Керра–Ньюмана–де Ситтера содержит вклады электромагнитного поля и положительной энергии вакуума, а также своего рода вакуумное возмущение вакуума Керра, которое задается так называемым параметром NUT,
• Пыль Гёделя содержит вклады идеальной жидкости без давления (пыли) и положительной энергии вакуума.

Построение решений

Уравнения поля Эйнштейна представляют собой систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. В общем, это затрудняет их решение. Тем не менее, было установлено несколько эффективных методов получения точных решений.

Самый простой из них предполагает наложение условий симметрии на метрический тензор , таких как стационарность (симметрия относительно временного сдвига ) или аксиальная симметрия (симметрия относительно вращения вокруг некоторой оси симметрии ). При достаточно умных предположениях такого рода часто можно свести уравнение поля Эйнштейна к гораздо более простой системе уравнений, даже к одному частному дифференциальному уравнению (как это происходит в случае стационарных аксиально-симметричных вакуумных решений, которые характеризуются уравнением Эрнста ) или к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (как это происходит в случае вакуума Шварцшильда ).

Этот наивный подход обычно работает лучше всего, если использовать поле кадра, а не координатную основу.

Связанная идея предполагает наложение алгебраических условий симметрии на тензор Вейля , тензор Риччи или тензор Римана . Они часто формулируются в терминах классификации Петрова возможных симметрий тензора Вейля или классификации Сегре возможных симметрий тензора Риччи. Как будет видно из вышеизложенного обсуждения, такие Ansätze часто имеют некоторое физическое содержание, хотя это может быть неочевидно из их математической формы.

Этот второй тип подхода симметрии часто использовался в формализме Ньюмена-Пенроуза , который использует спинорные величины для более эффективного учета.

Даже после таких редукций симметрии редуцированная система уравнений часто оказывается труднорешаемой. Например, уравнение Эрнста — это нелинейное уравнение в частных производных, несколько напоминающее нелинейное уравнение Шредингера (НУШ).

Но вспомним, что конформная группа в пространстве-времени Минковского является группой симметрии уравнений Максвелла . Вспомним также, что решения уравнения теплопроводности можно найти, предположив масштабирующий анзац . Эти понятия являются всего лишь частными случаями понятия Софуса Ли о точечной симметрии дифференциального уравнения (или системы уравнений), и, как показал Ли, это может предоставить путь атаки на любое дифференциальное уравнение, которое имеет нетривиальную группу симметрии. Действительно, и уравнение Эрнста, и NLS имеют нетривиальные группы симметрии, и некоторые решения можно найти, воспользовавшись их симметриями. Эти группы симметрии часто бесконечномерны, но это не всегда полезная функция.

Эмми Нётер показала, что небольшое, но глубокое обобщение понятия симметрии Ли может привести к ещё более мощному методу атаки. Это оказывается тесно связанным с открытием того, что некоторые уравнения, которые, как говорят, полностью интегрируемы , обладают бесконечной последовательностью законов сохранения . Весьма примечательно, что и уравнение Эрнста (которое возникает несколькими способами при изучении точных решений), и NLS оказываются полностью интегрируемыми. Поэтому они восприимчивы к решению с помощью методов, напоминающих обратное преобразование рассеяния , которое первоначально было разработано для решения уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) , нелинейного уравнения в частных производных, которое возникает в теории солитонов и которое также полностью интегрируемо. К сожалению, решения, полученные этими методами, часто не так хороши, как хотелось бы. Например, аналогично тому, как можно получить многосолитонное решение уравнения Кортевега–де Фриза из односолитонного решения (которое можно найти из понятия точечной симметрии Ли), можно получить многообъектное решение Керра, но, к сожалению, оно имеет некоторые особенности, которые делают его физически неправдоподобным. ^[2]

Существуют также различные преобразования (см. преобразование Белинского-Захарова ), которые могут преобразовать (например) вакуумное решение, найденное другими способами, в новое вакуумное решение, или в электровакуумное решение, или жидкое решение. Они аналогичны преобразованиям Бэклунда, известным из теории некоторых уравнений с частными производными , включая некоторые известные примеры солитонных уравнений. Это не совпадение, поскольку это явление также связано с представлениями Нётер и Ли о симметрии. К сожалению, даже при применении к «хорошо понятому», глобально допустимому решению эти преобразования часто дают решение, которое плохо понято, и их общая интерпретация до сих пор неизвестна.

Наличие решений

Учитывая сложность построения явных малых семейств решений, не говоря уже о представлении чего-то вроде "общего" решения уравнения поля Эйнштейна или даже "общего" решения уравнения вакуумного поля, весьма разумным подходом является попытка найти качественные свойства, которые справедливы для всех решений или, по крайней мере, для всех вакуумных решений. Один из самых основных вопросов, который можно задать: существуют ли решения, и если да, то сколько ?

Для начала нам следует принять подходящую начальную формулировку уравнения поля, которая дает две новые системы уравнений, одна из которых дает ограничение на начальные данные , а другая дает процедуру для превращения этих начальных данных в решение. Затем можно доказать, что решения существуют по крайней мере локально , используя идеи, не слишком отличающиеся от тех, которые встречаются при изучении других дифференциальных уравнений.

Чтобы получить некоторое представление о том, «сколько» решений мы могли бы оптимистично ожидать, мы можем обратиться к методу подсчета ограничений Эйнштейна . Типичный вывод из этого стиля аргументации заключается в том, что общее вакуумное решение уравнения поля Эйнштейна может быть определено путем указания четырех произвольных функций трех переменных и шести произвольных функций двух переменных. Эти функции определяют начальные данные, из которых может быть получено уникальное вакуумное решение . (В отличие от этого, вакуумы Эрнста, семейство всех стационарных осесимметричных вакуумных решений, определяются путем указания всего двух функций двух переменных, которые даже не являются произвольными, а должны удовлетворять системе двух связанных нелинейных уравнений в частных производных. Это может дать некоторое представление о том, насколько крошечным на самом деле является типичное «большое» семейство точных решений в великой схеме вещей.)

Однако этот грубый анализ не дотягивает до гораздо более сложного вопроса глобального существования решений. Результаты глобального существования, которые известны до сих пор, как оказалось, включают другую идею.

Теоремы глобальной устойчивости

Мы можем представить себе «возмущающее» гравитационное поле снаружи некоторого изолированного массивного объекта, «посылая некоторое излучение из бесконечности». Мы можем спросить: что происходит, когда входящее излучение взаимодействует с окружающим полем? В подходе классической теории возмущений мы можем начать с вакуума Минковского (или другого очень простого решения, такого как лямбда-вакуум де Ситтера), ввести очень малые метрические возмущения и сохранить только члены до некоторого порядка в подходящем разложении возмущений — что-то вроде оценки своего рода ряда Тейлора для геометрии нашего пространства-времени. Этот подход по сути является идеей, лежащей в основе постньютоновских приближений, используемых при построении моделей гравитирующей системы, такой как двойной пульсар . Однако разложения возмущений, как правило, ненадежны для вопросов долгосрочного существования и устойчивости в случае нелинейных уравнений.

Полное уравнение поля является крайне нелинейным, поэтому мы действительно хотим доказать, что вакуум Минковского стабилен при малых возмущениях, которые рассматриваются с использованием полностью нелинейного уравнения поля. Это требует введения многих новых идей. Желаемый результат, иногда выражаемый лозунгом, что вакуум Минковского нелинейно стабилен, был окончательно доказан Деметриосом Христодулу и Серджиу Кляйнерманом только в 1993 году. ^[3] Аналогичные результаты известны для лямбдавак-возмущений лямбдавакуума де Ситтера (Гельмут Фридрих) и для электровакуумных возмущений вакуума Минковского (Нина Ципсер). Напротив, известно, что анти -де Ситтеровское пространство-время нестабильно при определенных условиях. ^{[4] [5]}

Теорема о положительной энергии

Другой вопрос, который нас может волновать, — всегда ли чистая масса-энергия изолированной концентрации положительной плотности массы-энергии (и импульса) дает четко определенную (и неотрицательную) чистую массу. Этот результат, известный как теорема о положительной энергии, был окончательно доказан Ричардом Шоеном и Шинг-Тунгом Яу в 1979 году, которые сделали дополнительное техническое предположение о природе тензора энергии-импульса. Первоначальное доказательство очень сложно; Эдвард Виттен вскоре представил гораздо более короткое «доказательство физика», которое было обосновано математиками, используя дополнительные очень сложные аргументы. Роджер Пенроуз и другие также предложили альтернативные аргументы для вариантов первоначальной теоремы о положительной энергии.

Смотрите также

• Список пространств-времен
• Метрика Фридмана–Лемэтра–Робертсона–Уокера
• Классификация Петрова для алгебраических симметрий тензора Вейля

Ссылки

1. Стефани и др. 2009
2. Белинский, В.; Вердагер, Э. (2001). Гравитационные солитоны . Cambridge University Press. ISBN 0-521-80586-4. Монография об использовании солитонных методов для получения стационарных осесимметричных вакуумных решений, сталкивающихся гравитационных плоских волн и т. д.
3. Христодулу, Деметриос ; Клайнерман, Серджиу (2014). Глобальная нелинейная устойчивость пространства Минковского. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-60315-5. OCLC  881139781.
4. Бизонь, Петр; Ростворовский, Анджей (2011). «Слаботурбулентная неустойчивость антидеситтеровского пространства-времени». Physical Review Letters . 107 (3): 031102. arXiv : 1104.3702 . Bibcode :2011PhRvL.107c1102B. doi :10.1103/PhysRevLett.107.031102. ISSN  0031-9007. PMID  21838346. S2CID  31556930.
5. Мошидис, Георгиос (11.12.2018). «Доказательство нестабильности AdS для системы Эйнштейна — безмассового Власова». arXiv : 1812.04268 [math.AP].

Дальнейшее чтение

• Красински, А. (1997). Неоднородные космологические модели . Cambridge University Press. ISBN 0-521-48180-5.
• MacCallum, MAH (2006). «Поиск и использование точных решений уравнений Эйнштейна». Труды конференции AIP . Том 841. С. 129–143. arXiv : gr-qc/0601102 . Bibcode :2006AIPC..841..129M. doi :10.1063/1.2218172.Актуальная обзорная статья, но слишком краткая по сравнению с обзорными статьями Бичака 2000 года или Боннора, Гриффитса и МакКаллума 1994 года.
• MacCallum, Malcolm AH (2013). "Точные решения уравнений Эйнштейна". Scholarpedia . 8 (12): 8584. Bibcode :2013SchpJ...8.8584M. doi : 10.4249/scholarpedia.8584 .
• Рендалл, Алан М. (27 сентября 2002 г.). "Локальные и глобальные теоремы существования для уравнений Эйнштейна". Living Reviews in Relativity . 5 (1): 6. doi : 10.12942/lrr-2002-6 . PMC  5255525 . PMID  28163637.Подробная и актуальная обзорная статья.
• Фридрих, Хельмут (2005). «Является ли общая теория относительности „по существу понятой“?». Annalen der Physik . 15 (1–2): 84–108. arXiv : gr-qc/0508016 . Bibcode : 2006AnP...518...84F. doi : 10.1002/andp.200510173. S2CID  37236624.Отличный и более краткий обзор.
• Bičák, Jiří (2000). "Selected Solutions of Einstein's Field Equations: Their Role in General Relativity and Astrophysics". Уравнения поля Эйнштейна и их физические следствия . Lecture Notes in Physics. Vol. 540. pp. 1–126. arXiv : gr-qc/0004016 . doi :10.1007/3-540-46580-4_1. ISBN 978-3-540-67073-5. S2CID  119449917. Превосходный современный обзор.
• Bonnor, WB ; Griffiths, JB; MacCallum, MAH (1994). "Физическая интерпретация вакуумных решений уравнений Эйнштейна. Часть II. Решения, зависящие от времени". Gen. Rel. Grav . 26 (7): 637–729. Bibcode :1994GReGr..26..687B. doi :10.1007/BF02116958. S2CID  189835151.
• Боннор, В. Б. (1992). «Физическая интерпретация вакуумных решений уравнений Эйнштейна. Часть I. Решения, не зависящие от времени». Gen. Rel. Grav . 24 (5): 551–573. Bibcode :1992GReGr..24..551B. doi :10.1007/BF00760137. S2CID  122301194. Мудрый обзор, первая из двух частей.
• Гриффитс, Дж. Б. (1991). Столкновение плоских волн в общей теории относительности. Clarendon Press . ISBN 0-19-853209-1. Архивировано из оригинала 2007-06-10. Полный ресурс по сталкивающимся плоским волнам, но также полезный для всех, кто интересуется другими точными решениями.
• Hoenselaers, C.; Dietz, W. (1985). Решения уравнений Эйнштейна: методы и результаты . Springer. ISBN 3-540-13366-6.
• Элерс, Юрген; Кундт, Вольфганг (1962). «Точные решения уравнений гравитационного поля». В Witten, L. (ред.). Гравитация: введение в современные исследования . Wiley. стр. 49–101. hdl :11858/00-001M-0000-0013-5F17-4. OCLC  504779224.Классический обзор, включающий важные оригинальные работы, такие как классификация симметрии вакуумных pp-волновых пространств-времен.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малкольм; Хоенселаерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2009) [2003]. Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46702-5.

Внешние ссылки