Конформная группа

В математике конформная группа пространства внутреннего продукта — это группа преобразований пространства в себя, сохраняющих углы. Более формально, это группа преобразований, сохраняющих конформную геометрию пространства.

Несколько конкретных конформных групп особенно важны:

• Конформно- ортогональная группа . Если V — векторное пространство с квадратичной формой Q , то конформная ортогональная группа CO( V , Q ) — это группа линейных преобразований T V , для которых существует скаляр λ такой, что для всех x в V

  ${\displaystyle Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)}$

Для определенной квадратичной формы конформная ортогональная группа равна произведению ортогональной группы на группу расширений .

• Конформная группа сферы порождается инверсиями окружностей . Эта группа также известна как группа Мёбиуса .
• В евклидовом пространстве En ^, n > 2 , конформная группа порождается инверсиями в гиперсферах .
• В псевдоевклидовом пространстве E ^{p , q} конформной группой является Conf( p , q ) ≃ O( p + 1, q + 1)/Z ₂ . ^[1]

Все конформные группы являются группами Ли .

Угловой анализ

В евклидовой геометрии можно ожидать, что характерным будет стандартный круговой угол , но в псевдоевклидовом пространстве существует еще и гиперболический угол . При изучении специальной теории относительности различные системы отсчета для изменения скорости относительно системы покоя связаны быстротой , гиперболическим углом. Один из способов описать усиление Лоренца — это гиперболическое вращение , сохраняющее дифференциальный угол между быстротами. Таким образом, они являются конформными преобразованиями относительно гиперболического угла.

Метод создания подходящей конформной группы состоит в том, чтобы имитировать действия группы Мёбиуса как конформной группы обычной комплексной плоскости . Псевдоевклидова геометрия поддерживается альтернативными комплексными плоскостями, где точки представляют собой расщепленные комплексные числа или двойственные числа . Точно так же, как группа Мёбиуса требует для полного описания сферы Римана , компактного пространства , альтернативные комплексные плоскости требуют компактификации для полного описания конформного отображения. Тем не менее конформная группа в каждом случае задается дробно-линейными преобразованиями на соответствующей плоскости. ^[2]

Математическое определение

Для данного ( псевдо- ) риманова многообразия с конформным классом конформная группа — это группа конформных отображений из в себя. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [g]}$ ${\displaystyle {\text{Conf}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Более конкретно, это группа гладких отображений из самого себя, сохраняющих угол. Однако, когда подпись не определена, «угол» представляет собой гиперугол, который потенциально бесконечен. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [g]}$

Для псевдоевклидова пространства определение немного другое. ^[3] — конформная группа многообразия, возникающая в результате конформной компактификации псевдоевклидова пространства (иногда отождествляемая с после выбора ортонормированного базиса ). Эту конформную компактификацию можно определить с помощью , рассматриваемого как подмногообразие нулевых точек посредством включения (где рассматривается как один вектор пространства-времени). Затем определяется конформная компактификация с идентификацией «антиподальных точек». Это происходит путем проективизации ^{[ проверьте правильность написания ]} пространства . Если – конформная компактификация, то . В частности, в эту группу входит инверсия , которая не является отображением от самой себя, поскольку отображает начало координат в бесконечность и отображает бесконечность в начало координат. ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\mapsto X=(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{p}\times S^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q+1}}$ ${\displaystyle N^{p,q}}$ ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q):={\text{Conf}}(N^{p,q})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

Конф(p,q)

Для псевдоевклидова пространства алгебра Ли конформной группы задается базисом со следующими коммутационными соотношениями: ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \{M_{\mu \nu },P_{\mu },K_{\mu },D\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$$

Минковского ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Фактически эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли группы Лоренца с еще одним пространственным и временным измерениями, т. е. . Можно легко проверить соответствие размеров. Чтобы продемонстрировать явный изоморфизм, определите ${\displaystyle {\mathfrak {conf}}(p,q)\cong {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\mu \nu }=M_{\mu \nu }\,,\\&J_{-1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })\,,\\&J_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })\,,\\&J_{-1,0}=D.\end{aligned}}}$$

алгебры Лоренца ${\displaystyle J_{ab}}$ ${\displaystyle a,b=-1,0,\cdots ,n=p+q}$ ${\displaystyle {\tilde {\eta }}_{ab}=\operatorname {diag} (-1,+1,-1,\cdots ,-1,+1,\cdots ,+1)}$

Конформная группа в двух измерениях пространства-времени

Для двумерного евклидова пространства или одномерного пространства-времени пространство конформных симметрий намного больше. В физике иногда говорят, что конформная группа бесконечномерна, но это не совсем правильно, поскольку, хотя алгебра Ли локальных симметрий бесконечномерна, они не обязательно распространяются на группу Ли четко определенных глобальных симметрий.

Для измерения пространства-времени все локальные конформные симметрии распространяются на глобальные симметрии. Для евклидова пространства после перехода к комплексной координате локальные конформные симметрии описываются бесконечномерным пространством векторных полей вида ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle z=x+iy}$

$${\displaystyle l_{n}=-z^{n+1}\partial _{z}.}$$

алгебру Витта

Конформная группа пространства-времени

В 1908 году Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем , два молодых исследователя из Ливерпульского университета , выдвинули идею конформной группы пространства-времени ^{[5] [6] [7].} Они утверждали, что кинематические группы по необходимости конформны, поскольку сохраняют квадратичную форму. пространства-времени и подобны ортогональным преобразованиям , хотя и относительно изотропной квадратичной формы . Свободы электромагнитного поля не ограничиваются кинематическими движениями, а должны быть только локально пропорциональны преобразованию, сохраняющему квадратичную форму. В статье Гарри Бейтмана 1910 года изучалась матрица Якоби преобразования, сохраняющего световой конус , и было показано, что она обладает конформным свойством (пропорциональным сохранению формы). ^[8] Бейтман и Каннингем показали, что эта конформная группа является «самой большой группой преобразований, оставляющих уравнения Максвелла структурно инвариантными». ^[9] Конформная группа пространства-времени была обозначена C(1,3) ^[10]

Исаак Яглом внес вклад в математику конформных преобразований пространства-времени в расщепленных комплексных и двойственных числах . ^[11] Поскольку расщепляемые комплексные числа и двойственные числа образуют кольца , а не поля , дробно-линейные преобразования требуют, чтобы проективная линия над кольцом была биективным отображением.

Со времен работы Людвика Зильберштейна в 1914 году стало традиционным использовать кольцо бикватернионов для представления группы Лоренца . Для конформной группы пространства-времени достаточно рассмотреть дробно-линейные преобразования на проективной прямой над этим кольцом. Элементы конформной группы пространства-времени Бейтман назвал сферическими волновыми преобразованиями . Детали изучения квадратичной формы пространства-времени были включены в геометрию сферы Ли .

Комментируя продолжающийся интерес к физической науке, А.О. Барут писал в 1985 году: «Одна из основных причин интереса к конформной группе заключается в том, что она, возможно, является самой важной из более крупных групп, содержащих группу Пуанкаре ». ^[12]

Смотрите также

• Конформная карта
• Конформная симметрия

Рекомендации

1. Джейме Ваз-младший; Ролдан да Роча-младший (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета. п. 140. ИСБН 9780191085789.
2. Цурусабуро Такасу (1941) «Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, Hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometry», 2, Proceedings of the Imperial Academy 17 (8): 330–8, ссылка из Project Euclid , MR 14282
3. Шоттенлохер, Мартин (2008). Математическое введение в конформную теорию поля (PDF) . Springer Science & Business Media. п. 23. ISBN 978-3540686255.
4. Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). Конформная теория поля . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387947853.
5. Бейтман, Гарри (1908). «Конформные преобразования четырехмерного пространства и их приложения к геометрической оптике»  . Труды Лондонского математического общества . 7 : 70–89. дои : 10.1112/plms/s2-7.1.70.
6. Бейтман, Гарри (1910). «Преобразование электродинамических уравнений»  . Труды Лондонского математического общества . 8 : 223–264. дои : 10.1112/plms/s2-8.1.223.
7. Каннингем, Эбенезер (1910). «Принцип относительности в электродинамике и его расширение»  . Труды Лондонского математического общества . 8 : 77–98. дои : 10.1112/plms/s2-8.1.77.
8. Уорик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и возникновение математической физики . Чикаго: Издательство Чикагского университета . стр. 416–24. ISBN 0-226-87375-7.
9. Роберт Гилмор (1994) [1974] Группы Ли, алгебры Ли и некоторые из их приложений , страница 349, ISBN публикации Роберта Э. Кригера 0-89464-759-8 MR 1275599 
10. Борис Косяков (2007) Введение в классическую теорию частиц и полей, стр. 216, книги Springer через Google Книги
11. Исаак Яглом (1979) Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа , Springer, ISBN 0387-90332-1 , MR 520230 
12. АО Барут и Х.-Д. Дёбнер (1985) Конформные группы и родственные симметрии: физические результаты и математические основы , Конспекты лекций по физике № 261, книги Springer , цитаты см. в предисловии.

дальнейшее чтение

• Кобаяши, С. (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии . Классика по математике. Спрингер. ISBN 3-540-58659-8. ОСЛК  31374337.
• Шарп, RW (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
• Питер Шерк (1960) «Некоторые концепции конформной геометрии», American Mathematical Monthly 67 (1): 1–30 doi : 10.2307/2308920
• Мартин Шоттенлохер, Конформная группа, глава 2 Математического введения в конформную теорию поля, 2008 г. (pdf)
• Конформная группа в nLab