Классификация Петрова

Classification used in differential geometry and general relativity

В дифференциальной геометрии и теоретической физике классификация Петрова ( также известная как классификация Петрова-Пирани-Пенроуза) описывает возможные алгебраические симметрии тензора Вейля в каждом событии в лоренцевом многообразии .

Чаще всего она применяется при изучении точных решений уравнений поля Эйнштейна , но, строго говоря, классификация представляет собой теорему чистой математики, применимую к любому лоренцеву многообразию, независимо от какой-либо физической интерпретации. Классификация была разработана в 1954 году А. З. Петровым и независимо Феликсом Пирани в 1957 году.

Классификационная теорема

Мы можем думать о тензоре четвертого ранга , таком как тензор Вейля , оцениваемом в каком-то событии , как действующем на пространство бивекторов в этом событии, как линейный оператор , действующий на векторное пространство:

${\displaystyle X^{ab}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}X^{mn}}$

Тогда естественно рассмотреть задачу нахождения собственных значений и собственных векторов (которые теперь называются собственными бивекторами) таких, что ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}\,X^{mn}=\lambda \,X^{ab}}$

В (четырехмерном) лоренцевом пространстве-времени в каждом событии существует шестимерное пространство антисимметричных бивекторов. Однако из симметрии тензора Вейля следует, что любые собственные бивекторы должны принадлежать четырехмерному подмножеству. Таким образом, тензор Вейля (в данном событии) фактически может иметь не более четырех линейно независимых собственных бивекторов.

Собственные бивекторы тензора Вейля могут встречаться с различной кратностью, и любая кратность среди собственных бивекторов указывает на своего рода алгебраическую симметрию тензора Вейля в данном событии. Различные типы тензора Вейля (в данном событии) могут быть определены путем решения характеристического уравнения , в данном случае уравнения четвертой степени . Все вышеизложенное происходит аналогично теории собственных векторов обычного линейного оператора.

Эти собственные бивекторы связаны с определенными нулевыми векторами в исходном пространстве-времени, которые называются главными нулевыми направлениями (в данном событии). Соответствующая полилинейная алгебра в некоторой степени задействована (см. цитаты ниже), но результирующая классификационная теорема утверждает, что существует ровно шесть возможных типов алгебраической симметрии. Они известны как типы Петрова :

Диаграмма Пенроуза, показывающая возможные вырождения петровского типа тензора Вейля.

• Тип I : четыре простых основных нулевых направления,
• Тип II : одно двойное и два простых главных нулевых направления.
• Тип D : два двойных главных нулевых направления,
• Тип III : одно тройное и одно простое главное нулевое направление.
• Тип N : одно четверное главное нулевое направление,
• Тип O : тензор Вейля исчезает.

Возможные переходы между типами Петрова показаны на рисунке, который также можно интерпретировать как утверждение, что некоторые типы Петрова «более особенные», чем другие. Например, тип I , наиболее общий тип, может вырождаться до типов II или D , а тип II может вырождаться до типов III , N или D.

Разные события в данном пространстве-времени могут иметь разные типы Петрова. Тензор Вейля, имеющий тип I (в некотором событии), называется алгебраически общим ; в противном случае он называется алгебраически специальным (в этом случае). В общей теории относительности пространства-времени типа O конформно плоские .

Формализм Ньюмана – Пенроуза

На практике для классификации часто используется формализм Ньюмана -Пенроуза . Рассмотрим следующий набор бивекторов, построенный из тетрад нулевых векторов (обратите внимание, что в некоторых обозначениях символы l и n меняются местами):

${\displaystyle U_{ab}=-2l_{[a}{\bar {m}}_{b]}}$

${\displaystyle V_{ab}=2n_{[a}m_{b]}}$

${\displaystyle W_{ab}=2m_{[a}{\bar {m}}_{b]}-2n_{[a}l_{b]}.}$

Тензор Вейля можно выразить как комбинацию этих бивекторов через

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=\Psi _{0}U_{ab}U_{cd}\\&\,\,\,+\Psi _{1}(U_{ab}W_{cd}+W_{ab}U_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{2}(V_{ab}U_{cd}+U_{ab}V_{cd}+W_{ab}W_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{3}(V_{ab}W_{cd}+W_{ab}V_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{4}V_{ab}V_{cd}+c.c.\end{aligned}}}$

где – скаляры Вейля , а cc – комплексно-сопряженное число. Шесть различных типов Петрова различаются по тому, какой из скаляров Вейля обращается в нуль. Условия ${\displaystyle \{\Psi _{j}\}}$

• Тип I  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=0}$
• Тип II  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=0}$
• Тип Д  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$
• Тип III  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=0}$
• Тип Н  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=0}$
• Тип О  : . ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$

Бел критерии

Учитывая метрику на лоренцевом многообразии , можно вычислить тензор Вейля для этой метрики. Если тензор Вейля алгебраически особенный в некоторой точке , существует полезный набор условий, найденный Луисом (или Луисом) Белом и Робертом Дебевером ^[1] для точного определения типа Петрова в точке . Обозначая компоненты тензора Вейля at через (предполагаемые ненулевыми, т. е. не принадлежащими к типу O ), критерии Бела можно сформулировать как: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C_{abcd}}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$имеет тип N тогда и только тогда, когда существует вектор, удовлетворяющий ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{d}=0}$

где обязательно является нулевым и уникальным (с точностью до масштабирования). ${\displaystyle k}$

• Если не является типом N , то имеет тип III тогда и только тогда, когда существует вектор, удовлетворяющий ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=0={^{*}C}_{abcd}\,k^{b}k^{d}}$

где обязательно является нулевым и уникальным (с точностью до масштабирования). ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$имеет тип II тогда и только тогда, когда существует вектор, удовлетворяющий ${\displaystyle k}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$и ( ) ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ ${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

где обязательно является нулевым и уникальным (с точностью до масштабирования). ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$имеет тип D тогда и только тогда, когда существуют два линейно независимых вектора , удовлетворяющих условиям ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$, ( ) ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ ${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

и

${\displaystyle C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}}$, ( ). ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}}$ ${\displaystyle \gamma \delta \neq 0}$

где – двойственный тензор Вейля при . ${\displaystyle {{}^{*}C}_{abcd}}$ ${\displaystyle p}$

Фактически, для каждого приведенного выше критерия существуют эквивалентные условия, при которых тензор Вейля имеет этот тип. Эти эквивалентные условия сформулированы в терминах двойственного и самодвойственного тензора Вейля и некоторых бивекторов и собраны вместе в Холле (2004).

Критерии Бела находят применение в общей теории относительности, где определение типа Петрова алгебраически специальных тензоров Вейля осуществляется путем поиска нулевых векторов.

Физическая интерпретация

Согласно общей теории относительности , различные алгебраически специальные типы Петрова имеют некоторые интересные физические интерпретации, причем эту классификацию иногда называют классификацией гравитационных полей .

Области типа D связаны с гравитационными полями изолированных массивных объектов, таких как звезды. Точнее, поля типа D возникают как внешнее поле гравитирующего объекта, которое полностью характеризуется его массой и угловым моментом. (Более общий объект может иметь ненулевые высшие мультипольные моменты .) Два двойных главных нулевых направления определяют «радиально» входящие и исходящие нулевые конгруэнтности вблизи объекта, который является источником поля.

Электрогравитационный тензор (или приливной тензор ) в области типа D очень похож на гравитационные поля, которые в ньютоновской гравитации описываются гравитационным потенциалом кулоновского типа . Такое приливное поле характеризуется растяжением в одном направлении и сжатием в ортогональных направлениях; собственные значения имеют образец (-2,1,1). Например, космический корабль, вращающийся вокруг Земли, испытывает незначительное растяжение по радиусу от центра Земли и незначительное сжатие в ортогональных направлениях. Как и в ньютоновской гравитации, это приливное поле обычно затухает как , где – расстояние от объекта. ${\displaystyle O(r^{-3})}$ ${\displaystyle r}$

Если объект вращается вокруг некоторой оси , помимо приливных эффектов будут возникать различные гравитомагнитные эффекты, такие как спин-спиновые силы на гироскопах , переносимых наблюдателем. В вакууме Керра , который является наиболее известным примером вакуумного решения типа D , эта часть поля затухает как . ${\displaystyle O(r^{-4})}$

Области типа III связаны с своего рода продольным гравитационным излучением. В таких регионах приливные силы оказывают сдвиговое воздействие. Этой возможностью часто пренебрегают, отчасти потому, что гравитационное излучение, возникающее в теории слабого поля, относится к типу N , а отчасти потому, что излучение типа III затухает как , что быстрее, чем излучение типа N. ${\displaystyle O(r^{-2})}$

Области типа N связаны с поперечным гравитационным излучением, которое астрономы обнаружили с помощью LIGO . Четверное главное нулевое направление соответствует волновому вектору, описывающему направление распространения этого излучения. Обычно оно затухает как , поэтому поле дальнего излучения имеет тип N. ${\displaystyle O(r^{-1})}$

Области типа II сочетают в себе эффекты, отмеченные выше для типов D , III и N , довольно сложным нелинейным образом.

Области типа O , или конформно плоские области, связаны с местами, где тензор Вейля тождественно обращается в нуль. В этом случае кривизна называется чистой Риччи . В конформно плоской области любые гравитационные эффекты должны быть обусловлены непосредственным присутствием материи или энергии некоторого негравитационного поля (например, электромагнитного поля ). В каком-то смысле это означает, что никакие отдаленные объекты не оказывают какого-либо дальнего влияния на события в нашем регионе. Точнее, если в отдаленных регионах и существуют меняющиеся во времени гравитационные поля, то новости еще не достигли нашей конформно-плоской области.

Гравитационное излучение , испускаемое изолированной системой, обычно не является алгебраически особенным. Теорема пилинга описывает способ, которым по мере удаления от источника излучения различные компоненты поля излучения «отслаиваются», пока, наконец, на больших расстояниях не становится заметным только излучение типа N. Это похоже на теорему об электромагнитном пилинге.

Примеры

В некоторых (более или менее) знакомых решениях тензор Вейля в каждом событии имеет один и тот же тип Петрова:

• Вакуум Керра везде имеет тип D ,
• некоторые пылесосы Robinson/Trautman повсюду относятся к типу III ,
• пространство-время pp -волн везде имеет тип N ,
• модели FLRW везде относятся к типу O.

В более общем смысле любое сферически-симметричное пространство-время должно иметь тип D (или O ). Известны все алгебраически специальные пространства-времени, имеющие различные типы тензоров энергии-импульса , например все вакуумные решения типа D.

Некоторые классы решений можно инвариантно охарактеризовать с помощью алгебраических симметрий тензора Вейля: например, класс неконформно плоских нулевых электровакуумных или нулевых пылевых решений, допускающих расширяющуюся, но не скручивающую нулевую конгруэнцию, является в точности классом пространств-времен Робинсона/Траутмана . Обычно это тип II , но включают примеры типа III и типа N.

Обобщение на более высокие измерения

А. Коли, Р. Милсон, В. Правда и А. Правдова (2004) разработали обобщение алгебраической классификации на произвольную размерность пространства-времени . Их подход использует подход на основе нулевого кадра , то есть базис кадра, содержащий два нулевых вектора и , а также пространственноподобные векторы. Компоненты фрейм-базиса тензора Вейля классифицируются по их свойствам преобразования при локальном усилении Лоренца . Если определенные компоненты Вейля исчезают, то и/или называются нулевыми направлениями, выровненными по Вейлю (WAND). В четырех измерениях это Жезл тогда и только тогда, когда это главное нулевое направление в смысле, определенном выше. Этот подход дает естественное многомерное расширение каждого из различных алгебраических типов II , D и т. д., определенных выше. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d-2}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$

Альтернативное, но неэквивалентное обобщение было ранее определено де Сметом (2002) на основе спинорного подхода . Однако подход де Смета ограничен только пятью измерениями.

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Классификация электромагнитных полей
• Точные решения в общей теории относительности
• Классификация Сегре
• Теорема о пилинге
• Тензор Плебанского
• Теорема Гольдберга – Сакса

Рекомендации

1. Ортаджио, Марчелло (2009). «Критерии Беля – Дебевера для классификации тензора Вейля в высших измерениях». Классическая и квантовая гравитация . arXiv : 0906.3818 . дои : 10.1088/0264-9381/26/19/195015.

• Коли, А.; и другие. (2004). «Классификация тензора Вейля в высших измерениях». Классическая и квантовая гравитация . 21 (7): L35–L42. arXiv : gr-qc/0401008 . Бибкод : 2004CQGra..21L..35C. дои : 10.1088/0264-9381/21/7/L01. S2CID  31859828.
• де Смет, П. (2002). «Черные дыры на цилиндрах не являются особенными с алгебраической точки зрения». Классическая и квантовая гравитация . 19 (19): 4877–4896. arXiv : hep-th/0206106 . Бибкод : 2002CQGra..19.4877D. дои : 10.1088/0264-9381/19/19/307. S2CID  15772816.
• д'Инверно, Рэй (1992). Знакомство с теорией относительности Эйнштейна . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-859686-3. См. разделы 21.7, 21.8.
• Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные конспекты лекций по физике) . Сингапур: Всемирный научный паб. ISBN компании 981-02-1051-5. См. разделы 7.3, 7.4 для подробного обсуждения классификации Петрова .
• МакКаллум, MAH (2000). «Примечание редактора: Классификация пространств, определяющих гравитационные поля». Общая теория относительности и гравитация . 32 (8): 1661–1663. Бибкод : 2000GReGr..32.1661P. дои : 10.1023/А: 1001958823984. S2CID  116370483.
• Пенроуз, Роджер (1960). «Спинорный подход к общей теории относительности». Анналы физики . 10 (2): 171–201. Бибкод : 1960AnPhy..10..171P. дои : 10.1016/0003-4916(60)90021-X.
• Петров, А.З. (1954). «Классификация пространств определяющих поля тяготения». Уч. Записки Казани. Гос. Университет . 114 (8): 55–69. Английский перевод Петров А.З. (2000). «Классификация пространств, определяемых гравитационными полями». Общая теория относительности и гравитация . 32 (8): 1665–1685. Бибкод : 2000GReGr..32.1665P. дои : 10.1023/А: 1001910908054. S2CID  73540912.
• Петров, А.З. (1969). Пространства Эйнштейна . Оксфорд: Пергамон. ISBN 0080123155., перевод Р. Ф. Келлехера и Дж. Вудроу.
• Стефани, Х.; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс К. и Херлт Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7. См. главы 4, 26.