тензор Эйнштейна

Тензор, используемый в общей теории относительности

В дифференциальной геометрии тензор Эйнштейна (названный в честь Альберта Эйнштейна ; также известный как тензор Риччи с обратным следом ) используется для выражения кривизны псевдориманова многообразия . В общей теории относительности он встречается в уравнениях поля Эйнштейна для гравитации , которые описывают кривизну пространства-времени способом, который согласуется с законами сохранения энергии и импульса.

Определение

Тензор Эйнштейна — это тензор второго порядка, определенный над псевдоримановыми многообразиями . В безиндексной нотации он определяется как ${\displaystyle \mathbf {G} }$ $${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$$

где — тензор Риччи , — метрический тензор , — скалярная кривизна , которая вычисляется как след тензора Риччи по формуле . В компонентной форме предыдущее уравнение имеет вид ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R_{\mu }^{\mu }}$ $${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$$

Тензор Эйнштейна симметричен $${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$$

и, подобно тензору энергии-напряжения на оболочке , имеет нулевую дивергенцию : $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0\,.}$$

Явная форма

Тензор Риччи зависит только от метрического тензора, поэтому тензор Эйнштейна можно определить напрямую только с помощью метрического тензора. Однако это выражение сложное и редко цитируется в учебниках. Сложность этого выражения можно показать с помощью формулы для тензора Риччи в терминах символов Кристоффеля :

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\\[2pt]G^{\alpha \beta }&=\left(g^{\alpha \gamma }g^{\beta \zeta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\end{aligned}}}$$

где — тензор Кронекера , а символ Кристоффеля определяется как ${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }\left(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }\right).}$$

а члены формы представляют ее частную производную в μ-направлении, то есть: ${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }}$

$${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$$

До отмены эта формула дает индивидуальные условия. Отмена несколько снижает это число. ${\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}$

В частном случае локально- инерциальной системы отсчета вблизи точки первые производные метрического тензора обращаются в нуль, а компонентная форма тензора Эйнштейна существенно упрощается:

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }\left[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right)\right]\\&=g^{\gamma \mu }\left(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta }\right)\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right),\end{aligned}}}$$

где квадратные скобки условно обозначают антисимметризацию по индексам в скобках, т.е.

$${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}\left(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }\right).}$$

След

След тензора Эйнштейна можно вычислить, свернув уравнение в определении с метрическим тензором . В размерностях (произвольной сигнатуры): ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$$

Следовательно, в частном случае n = 4 измерений, . То есть след тензора Эйнштейна является отрицательным следом тензора Риччи . Таким образом, другое название тензора Эйнштейна — тензор Риччи с обратным следом . Этот случай особенно актуален в общей теории относительности . ${\displaystyle G\ =-R}$ ${\displaystyle n=4}$

Использование в общей теории относительности

Тензор Эйнштейна позволяет записать уравнения поля Эйнштейна в краткой форме: где — космологическая постоянная , — гравитационная постоянная Эйнштейна . $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

Из явного вида тензора Эйнштейна следует, что тензор Эйнштейна является нелинейной функцией метрического тензора, но линейным по вторым частным производным метрики. Как симметричный тензор второго порядка, тензор Эйнштейна имеет 10 независимых компонент в 4-мерном пространстве. Из этого следует, что уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор из 10 квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка для метрического тензора.

Сокращенные тождества Бьянки также можно легко выразить с помощью тензора Эйнштейна: $${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}$$

(Сокращенные) тождества Бианки автоматически обеспечивают ковариантное сохранение тензора энергии-импульса в искривленном пространстве-времени: $${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}$$

Физическое значение тензора Эйнштейна подчеркивается этим тождеством. В терминах тензора уплотненного напряжения, сжатого на векторе Киллинга , выполняется обычный закон сохранения: ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ $${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu }\right)=0.}$$

Уникальность

Дэвид Лавлок показал, что в четырехмерном дифференцируемом многообразии тензор Эйнштейна является единственной тензорной и бездивергентной функцией и , самое большее, их первых и вторых частных производных. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Однако уравнение поля Эйнштейна — не единственное уравнение, удовлетворяющее трем условиям: ^[6]

1. Напоминают, но обобщают уравнение тяготения Ньютона-Пуассона.
2. Применить ко всем системам координат и
3. Гарантировать локально-ковариантное сохранение энергии-импульса для любого метрического тензора.

Было предложено много альтернативных теорий, таких как теория Эйнштейна–Картана , которые также удовлетворяют вышеуказанным условиям.

Смотрите также

• Физический портал

• Сокращенные идентичности Бьянки
• Теорема Вермейля
• Математика общей теории относительности
• Ресурсы общей теории относительности

Примечания

1. Лавлок, Д. (1971). «Тензор Эйнштейна и его обобщения». Журнал математической физики . 12 (3): 498–502. Bibcode :1971JMP....12..498L. doi : 10.1063/1.1665613 .
2. Лавлок, Д. (1972). «Четырехмерность пространства и тензор Эйнштейна». Журнал математической физики . 13 (6): 874–876. Bibcode : 1972JMP....13..874L. doi : 10.1063/1.1666069.
3. Лавлок, Д. (1969). «Уникальность уравнений поля Эйнштейна в четырехмерном пространстве». Архив для Rational Mechanics and Analysis . 33 (1): 54–70. Bibcode :1969ArRMA..33...54L. doi :10.1007/BF00248156. S2CID  119985583.
4. Фархауди, М. (2009). «Тензор Лавлока как обобщенный тензор Эйнштейна». Общая теория относительности и гравитация . 41 (1): 17–29. arXiv : gr-qc/9510060 . Bibcode :2009GReGr..41..117F. doi :10.1007/s10714-008-0658-9. S2CID  119159537.
5. Риндлер, Вольфганг (2001). Относительность: специальная, общая и космологическая . Oxford University Press . стр. 299. ISBN 978-0-19-850836-6.
6. Шутц, Бернард (31 мая 2009 г.). Первый курс общей теории относительности (2-е изд.). Cambridge University Press . стр. 185. ISBN 978-0-521-88705-2.

Ссылки

• Оганян, Ганс К.; Ремо Руффини (1994). Гравитация и пространство-время (Второе издание). WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-96501-8.
• Мартин, Джон Легат (1995). Общая теория относительности: первый курс для физиков . Международная серия Prentice Hall по физике и прикладной физике (пересмотренное издание). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-291196-2.