кривизна Риччи

2-тензор, полученный сжатием 4-тензора римановой кривизны на римановом многообразии

В дифференциальной геометрии тензор кривизны Риччи , названный в честь Грегорио Риччи-Курбастро , представляет собой геометрический объект, который определяется выбором римановой или псевдоримановой метрики на многообразии . В широком смысле его можно рассматривать как меру того, насколько геометрия данного метрического тензора локально отличается от геометрии обычного евклидова пространства или псевдоевклидова пространства .

Тензор Риччи можно охарактеризовать измерением того, как форма деформируется при движении по геодезическим в пространстве. В общей теории относительности , которая включает в себя псевдориманову настройку, это отражается наличием тензора Риччи в уравнении Райчаудхури . Частично по этой причине уравнения поля Эйнштейна предполагают, что пространство-время может быть описано псевдоримановой метрикой с поразительно простой связью между тензором Риччи и материальным содержанием Вселенной.

Как и метрический тензор, тензор Риччи придает каждому касательному пространству многообразия симметричную билинейную форму (Бессе 1987, стр. 43). ^[1] В общих чертах, можно было бы провести аналогию роли кривизны Риччи в римановой геометрии с ролью лапласиана в анализе функций; в этой аналогии тензор кривизны Римана , естественным побочным продуктом которого является кривизна Риччи, будет соответствовать полной матрице вторых производных функции. Однако есть и другие способы провести ту же аналогию.

В трехмерной топологии тензор Риччи содержит всю информацию, которая в более высоких измерениях кодируется более сложным тензором кривизны Римана . Частично эта простота позволяет применять множество геометрических и аналитических инструментов, что привело к решению гипотезы Пуанкаре благодаря работам Ричарда С. Гамильтона и Григория Перельмана .

В дифференциальной геометрии нижние оценки тензора Риччи на римановом многообразии позволяют извлечь глобальную геометрическую и топологическую информацию путем сравнения (ср. теорему сравнения ) с геометрией пространственной формы постоянной кривизны . Это связано с тем, что нижние границы тензора Риччи могут быть успешно использованы при изучении функционала длины в римановой геометрии, как впервые было показано в 1941 году с помощью теоремы Майерса .

Одним из распространенных источников тензора Риччи является то, что он возникает всякий раз, когда кто-то коммутирует ковариантную производную с тензорным лапласианом. Этим, например, объясняется его присутствие в формуле Бохнера , которая повсеместно используется в римановой геометрии. Например, эта формула объясняет, почему оценки градиента, полученные Шинг-Тунг Яу (и их развитие, такое как неравенства Ченг-Яу и Ли-Яу), почти всегда зависят от нижней границы кривизны Риччи.

В 2007 году Джон Лотт , Карл-Теодор Штурм и Седрик Виллани решительно продемонстрировали, что нижние границы кривизны Риччи можно полностью понять в терминах структуры метрического пространства риманова многообразия вместе с его формой объема. ^[2] Это установило глубокую связь между кривизной Риччи, геометрией Вассерштейна и оптимальным транспортом , который в настоящее время является предметом большого количества исследований. ^{[ нужна цитата ]}

Определение

Предположим, что это -мерное риманово или псевдориманово многообразие , снабженное связностью Леви-Чивита . Кривизна Римана - это карта, которая принимает гладкие векторные поля , и , и возвращает векторное поле ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$

векторных полях ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p\in M}$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.}$$

${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.}$$

То есть, зафиксировав и , то для любого ортонормированного базиса векторного пространства имеем ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .}$$

Это стандартное упражнение в (мульти)линейной алгебре, позволяющее проверить, что это определение не зависит от выбора базиса . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

В абстрактной индексной записи

$${\displaystyle \mathrm {Ric} _{ab}=\mathrm {R} ^{c}{}_{bca}=\mathrm {R} ^{c}{}_{acb}.}$$

Подпишите соглашения. Обратите внимание, что в некоторых источниках определяется то, что здесь будет называться, а затем они будут определяться как Хотя соглашения о знаках различаются в отношении тензора Римана, они не различаются в отношении тензора Риччи. ${\displaystyle R(X,Y)Z}$ ${\displaystyle -R(X,Y)Z;}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}}$ ${\displaystyle -\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z).}$

Определение через локальные координаты на гладком многообразии

Пусть – гладкое риманово или псевдориманово -многообразие. Учитывая гладкую диаграмму, мы имеем функции , и для каждой из них удовлетворяются ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle g_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g^{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}$$

для всех . Последнее показывает, что, выраженное в виде матриц, . Функции определяются путем вычисления полей координатных векторов, в то время как функции определяются так, что, будучи матричнозначной функцией, они обеспечивают обратную функцию матричнозначной функции . ${\displaystyle x\in \varphi (U)}$ ${\displaystyle g^{ij}(x)=(g^{-1})_{ij}(x)}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle x\mapsto g_{ij}(x)}$

Теперь определите для каждого , , , и между 1 и функции ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&:={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&:=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ai}^{a}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij}^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}}$$

как карты . ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

Теперь пусть и будут два гладких графика с . Пусть – функции, рассчитанные, как указано выше, с помощью диаграммы, и пусть – функции, рассчитанные, как указано выше, с помощью диаграммы . Затем можно проверить расчетом с помощью правила цепочки и правила произведения, что ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$ ${\displaystyle U\cap V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle R_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle r_{ij}:\psi (V)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$

$${\displaystyle R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_{i}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l}.}$$

где – первая производная по му направлению . Это показывает, что следующее определение не зависит от выбора . Для любого определите билинейное отображение по ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (X,Y)\in T_{p}M\times T_{p}M\mapsto \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),}$$

где и – компоненты касательных векторов при в и относительно координатных векторных полей . ${\displaystyle X^{1},\ldots ,X^{n}}$ ${\displaystyle Y^{1},\ldots ,Y^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$

Приведенное выше формальное представление принято сокращать следующим образом:

Пусть — гладкое многообразие, и пусть g — риманова или псевдориманова метрика. В локальных гладких координатах определите символы Кристоффеля ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&:={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right)\\R_{jk}&:=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\partial _{j}\Gamma _{ki}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _{ik}^{p}.\end{aligned}}}$$

Это можно непосредственно проверить

$${\displaystyle R_{jk}={\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}},}$$

так что определим (0,2)-тензорное поле на . В частности, если и – векторные поля на , то относительно любых гладких координат имеем ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{jk}X^{j}Y^{k}&=\left({\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\widetilde {X}}^{c}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\widetilde {Y}}^{d}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{a}{\widetilde {Y}}^{b}.\end{aligned}}}$$

Последняя строка включает демонстрацию того, что билинейное отображение Ric четко определено, и его гораздо проще записать с помощью неформальных обозначений.

Сравнение определений

Два приведенных выше определения идентичны. Формулы, определяющие и в координатном подходе, имеют точную параллель в формулах, определяющих связь Леви-Чивита и кривизну Римана через связь Леви-Чивита. Возможно, определения, непосредственно использующие локальные координаты, предпочтительнее, поскольку для соблюдения «важнейшего свойства» тензора Римана, упомянутого выше, требуется, чтобы он был Хаусдорфовым. Напротив, подход с локальными координатами требует только гладкого атласа. Несколько проще также связать философию «инвариантности», лежащую в основе локального подхода, с методами построения более экзотических геометрических объектов, например спинорных полей . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$

Сложная формула, определяющая во вводном разделе, такая же, как и в следующем разделе. Единственное отличие состоит в том, что термины сгруппированы таким образом, чтобы было легко увидеть, что ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}.}$

Характеристики

Как видно из симметрий тензора кривизны Римана, тензор Риччи риманова многообразия симметричен в том смысле, что

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)}$$

для всех ${\displaystyle X,Y\in T_{p}M.}$

Таким образом, линейно-алгебраически следует, что тензор Риччи полностью определяется путем знания величины для всех векторов единичной длины. Эту функцию на множестве единичных касательных векторов часто также называют кривизной Риччи , поскольку ее знание эквивалентно знанию тензора кривизны Риччи. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)}$ ${\displaystyle X}$

Кривизна Риччи определяется кривизной сечения риманова многообразия, но обычно содержит меньше информации. Действительно, если вектор единичной длины на римановом -многообразии, то это в точности раз среднее значение секционной кривизны, взятой по всем 2-плоскостям, содержащим . Существует -мерное семейство таких 2-плоскостей, поэтому только в измерениях 2 и 3 тензор Риччи определяет тензор полной кривизны. Заметным исключением является случай, когда многообразие задано априори как гиперповерхность евклидова пространства . Вторая фундаментальная форма , которая определяет полную кривизну посредством уравнения Гаусса-Кодацци , сама определяется тензором Риччи, и главные направления гиперповерхности также являются собственными направлениями тензора Риччи. По этой причине Риччи ввёл тензор. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (n-2)}$

Как видно из второго тождества Бьянки, имеется

$${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,}$$

где скалярная кривизна , определенная в локальных координатах как Это часто называют сжатым вторым тождеством Бьянки. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g^{ij}R_{ij}.}$

Неформальная недвижимость

Кривизну Риччи иногда считают (отрицательным кратным) лапласианом метрического тензора (Чоу и Кнопф 2004, лемма 3.32). ^[3] В частности, в гармонических локальных координатах компоненты удовлетворяют

$${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{lower-order terms}},}$$

где – оператор Лапласа–Бельтрами , рассматриваемый здесь как действующий на локально определенные функции . Этот факт мотивирует, например, введение уравнения потока Риччи как естественного расширения уравнения теплопроводности для метрики. Альтернативно, в обычной системе координат, основанной на , ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {2}{3}}\Delta \left(g_{ij}\right).}$$

Прямой геометрический смысл

Около любой точки риманова многообразия можно определить предпочтительные локальные координаты, называемые геодезическими нормальными координатами . Они адаптированы к метрике так, что геодезические линии соответствуют прямым линиям, проходящим через начало координат, таким образом, что геодезическое расстояние от соответствует евклидову расстоянию от начала координат. В этих координатах метрический тензор хорошо аппроксимируется евклидовой метрикой в ​​том точном смысле, что ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right).}$$

Фактически, взяв разложение Тейлора метрики, примененной к полю Якоби вдоль радиальной геодезической в ​​нормальной системе координат, получим

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3}\right).}$$

В этих координатах элемент метрического объема имеет следующее расширение в точке p :

$${\displaystyle d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{3}\right)\right]d\mu _{\text{Euclidean}},}$$

что следует путем расширения квадратного корня определителя метрики .

Таким образом, если кривизна Риччи положительна в направлении вектора , коническая область в, охваченная плотно сфокусированным семейством геодезических сегментов длины, исходящих из , с начальной скоростью внутри небольшого конуса около , будет иметь меньший объем, чем соответствующий коническая область в евклидовом пространстве, по крайней мере, при условии, что она достаточно мала. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна в направлении данного вектора , такая коническая область в многообразии вместо этого будет иметь больший объем, чем в евклидовом пространстве. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \xi }$

Кривизна Риччи по сути представляет собой среднее значение кривизны в плоскостях, включая . Таким образом, если излучаемый конус с первоначально круглым (или сферическим) поперечным сечением искажается в эллипс ( элллипсоид ), объемное искажение может исчезнуть, если искажения вдоль главных осей противодействуют друг другу. Кривизна Риччи тогда исчезла бы вдоль . В физических приложениях наличие неисчезающей кривизны сечения не обязательно указывает на локальное присутствие какой-либо массы; если первоначально круглое сечение конуса мировых линий позже становится эллиптическим, не меняя своего объема, то это происходит из-за приливных эффектов массы в каком-то другом месте. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

Приложения

Кривизна Риччи играет важную роль в общей теории относительности , где она является ключевым термином в уравнениях поля Эйнштейна .

Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи , где определенные однопараметрические семейства римановых метрик выделяются как решения геометрически определенного уравнения в частных производных. Эту систему уравнений можно рассматривать как геометрический аналог уравнения теплопроводности , и она была впервые введена Ричардом С. Гамильтоном в 1982 году. Поскольку тепло имеет тенденцию распространяться через твердое тело до тех пор, пока тело не достигнет состояния равновесия с постоянной температурой, если Если дано многообразие, можно надеяться, что поток Риччи создаст «равновесную» риманову метрику, которая является эйнштейновой или имеет постоянную кривизну. Однако такой чистой картины «сходимости» достичь невозможно, поскольку многие многообразия не поддерживают такие метрики. Детальное исследование природы решений потока Риччи, выполненное главным образом Гамильтоном и Григорием Перельманом , показывает, что типы «особенностей», возникающие вдоль потока Риччи, соответствующие нарушению сходимости, кодируют глубокую информацию о трехмерных измерениях. топология. Кульминацией этой работы стало доказательство гипотезы геометризации, впервые предложенной Уильямом Терстоном в 1970-х годах, которую можно рассматривать как классификацию компактных трехмерных многообразий.

На кэлеровом многообразии кривизна Риччи определяет первый класс Черна многообразия (мод кручение). Однако кривизна Риччи не имеет аналогичной топологической интерпретации на римановом многообразии общего положения.

Глобальная геометрия и топология

Вот краткий список глобальных результатов, касающихся многообразий с положительной кривизной Риччи; см. также классические теоремы римановой геометрии . Короче говоря, положительная кривизна Риччи риманова многообразия имеет сильные топологические последствия, в то время как (для размерности не менее 3) отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических последствий. (Кривизна Риччи называется положительной , если функция кривизны Риччи положительна на множестве ненулевых касательных векторов .) Некоторые результаты известны также для псевдоримановых многообразий. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$

1. Теорема Майерса (1941) утверждает, что если кривизна Риччи ограничена снизу на полном римановом n -многообразии величиной , то многообразие имеет диаметр . Из аргумента о накрывающем пространстве следует, что любое компактное многообразие положительной кривизны Риччи должно иметь конечную фундаментальную группу . Ченг (1975) показал, что в этом случае равенство в неравенстве диаметров имеет место только в том случае, если многообразие изометрично сфере постоянной кривизны . ${\displaystyle (n-1)k>0}$ ${\displaystyle \leq \pi /{\sqrt {k}}}$ ${\displaystyle k}$
2. Неравенство Бишопа -Громова гласит, что если полное -мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то объем геодезического шара меньше или равен объему геодезического шара того же радиуса в евклидовом -пространстве. При этом если обозначает объем шара с центром и радиусом в многообразии и обозначает объем шара радиуса в евклидовом -пространстве, то функция невозрастающая. Это можно обобщить на любую нижнюю оценку кривизны Риччи (а не только на неотрицательность), и это ключевой момент в доказательстве теоремы Громова о компактности .) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V(R)=c_{n}R^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)/V(R)}$
3. Теорема о расщеплении Чигера-Громолла утверждает, что если полное риманово многообразие с содержит линию , что означает геодезическую такую, что для всех , то оно изометрично пространству произведений . Следовательно, полное многообразие положительной кривизны Риччи может иметь не более одного топологического конца. Теорема также верна при некоторых дополнительных гипотезах для полных лоренцевых многообразий (метрической сигнатуры ) с неотрицательным тензором Риччи (Галлоуэй, 2000). ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} \geq 0}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle d(\gamma (u),\gamma (v))=\left|u-v\right|}$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times L}$ ${\displaystyle \left(+--\ldots \right)}$
4. Первая теорема Гамильтона о сходимости потока Риччи, как следствие, гласит, что единственные компактные 3-многообразия, которые имеют римановы метрики положительной кривизны Риччи, - это факторы 3-сферы по дискретным подгруппам SO (4), которые действуют надлежащим образом разрывно. Позже он расширил это, чтобы учесть неотрицательную кривизну Риччи. В частности, единственной односвязной возможностью является сама 3-сфера.

Эти результаты, особенно результаты Майерса и Гамильтона, показывают, что положительная кривизна Риччи имеет серьезные топологические последствия. Напротив, теперь известно, что за исключением случаев поверхностей отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических последствий; Локамп (1994) показал, что любое многообразие размерности больше двух допускает полную риманову метрику отрицательной кривизны Риччи. В случае двумерных многообразий отрицательность кривизны Риччи является синонимом отрицательности гауссовой кривизны, что имеет очень четкие топологические последствия . Существует очень мало двумерных многообразий, которые не допускают римановых метрик отрицательной гауссовой кривизны.

Поведение при конформном масштабировании

Если метрика изменяется путем умножения ее на конформный коэффициент , тензор Риччи новой, конформно связанной метрики определяется (Besse 1987, стр. 59) выражением ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e^{2f}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2f}g}$

$${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)\left[\nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f-(n-2)\|df\|^{2}\right]g,}$$

где – (положительный спектр) лапласиан Ходжа, т. е. противоположный обычному следу гессиана. ${\displaystyle \Delta =*d*d}$

В частности, по заданной точке риманова многообразия всегда можно найти метрики, конформные данной метрике, для которых тензор Риччи обращается в нуль при . Однако обратите внимание, что это всего лишь точечное утверждение; обычно невозможно заставить кривизну Риччи исчезнуть тождественно на всем многообразии путем конформного изменения масштаба. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$

Для двумерных многообразий приведенная выше формула показывает, что если является гармонической функцией , то конформное масштабирование не меняет тензор Риччи (хотя он все равно меняет свой след по отношению к метрике, если только . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\mapsto e^{2f}g}$ ${\displaystyle f=0}$

Бесследовый тензор Риччи

В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии бесследовый тензор Риччи (также называемый бесследовым тензором Риччи ) риманова или псевдориманова многообразия - это тензор, определяемый формулой ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$

$${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg,}$$

где и обозначают кривизну Риччи и скалярную кривизну . Название этого объекта отражает тот факт, что его след автоматически исчезает: Однако это весьма важный тензор, поскольку он отражает «ортогональное разложение» тензора Риччи. ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0.}$

Ортогональное разложение тензора Риччи

Следующее, не столь тривиальное свойство:

$${\displaystyle \operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg.}$$

Менее очевидно, что два термина в правой части ортогональны друг другу:

$${\displaystyle \left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{n}}Rg_{ab}\right)=0.}$$

С этим тесно связано тождество (но которое можно доказать непосредственно):

$${\displaystyle \left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.}$$

Бесследовый тензор Риччи и метрика Эйнштейна

Взяв расхождение и используя сокращенное тождество Бьянки, можно увидеть, что это подразумевает . Итак, при условии, что n ≥ 3 и связно, обращение в нуль означает, что скалярная кривизна постоянна. Тогда можно увидеть, что следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle Z=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$на какое-то число ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg}$

В римановой ситуации приведенное выше ортогональное разложение показывает, что это также эквивалентно этим условиям. В псевдоримановской ситуации, напротив, это условие не обязательно подразумевает , поэтому самое большее, что можно сказать, это то, что эти условия предполагают ${\displaystyle R^{2}=n|\operatorname {Ric} |^{2}}$ ${\displaystyle |Z|_{g}^{2}=0}$ ${\displaystyle Z=0,}$ ${\displaystyle R^{2}=n\left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}.}$

В частности, исчезновение бесследового тензора Риччи характеризует многообразия Эйнштейна , как это определено условием для числа . В общей теории относительности это уравнение утверждает, что это решение уравнений вакуумного поля Эйнштейна с космологической постоянной . ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$

Кэлеровые многообразия

На кэлеровом многообразии кривизна Риччи определяет форму кривизны канонического линейного расслоения (Moroianu 2007, глава 12). Каноническое линейное расслоение — это верхняя внешняя степень расслоения голоморфных келеровых дифференциалов : ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.}$$

Связность Леви-Чивита, соответствующая метрике на, порождает связность на . Кривизной этой связи является 2-форма, определяемая формулой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle \rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)}$$

где – отображение комплексной структуры на касательном расслоении, определяемое структурой кэлерова многообразия. Форма Риччи является закрытой 2-формой. Его класс когомологий с точностью до действительного постоянного множителя является первым классом Черна канонического расслоения и, следовательно, является топологическим инвариантом (для компакта ) в том смысле, что он зависит только от топологии и гомотопического класса комплекса состав. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

И наоборот, форма Риччи определяет тензор Риччи по формуле

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).}$$

В локальных голоморфных координатах форма Риччи имеет вид ${\displaystyle z^{\alpha }}$

$${\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)}$$

где ∂ — оператор Дольбо и

$${\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).}$$

Если тензор Риччи обращается в нуль, то каноническое расслоение плоское, поэтому структурную группу можно локально свести к подгруппе специальной линейной группы . Однако кэлеровы многообразия уже обладают голономией в , и поэтому (ограниченная) голономия Риччи-плоского кэлерова многообразия содержится в . И наоборот, если (ограниченная) голономия 2 -мерного риманова многообразия содержится в , то это многообразие является Риччи-плоским кэлеровым многообразием (Kobayashi & Nomizu 1996, IX, §4). ${\displaystyle SL(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle SU(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle SU(n)}$

Обобщение на аффинные связности

Тензор Риччи также можно обобщить на произвольные аффинные связности , где он является инвариантом, играющим особенно важную роль при изучении проективной геометрии (геометрии, связанной с непараметризованными геодезическими) (Nomizu & Sasaki 1994). Если обозначает аффинную связность, то тензором кривизны является (1,3)-тензор, определяемый формулой ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$

для любых векторных полей . Тензор Риччи определяется как след: ${\displaystyle X,Y,Z}$

$${\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.}$$

В этой более общей ситуации тензор Риччи симметричен тогда и только тогда, когда локально существует форма параллельного объема для связи.

Дискретная кривизна Риччи

Понятия кривизны Риччи на дискретных многообразиях были определены на графах и сетях, где они количественно определяют свойства локальной дивергенции ребер. Кривизна Риччи Оливье определяется с помощью теории оптимального переноса. ^[4] Другое (и более раннее) понятие, кривизна Риччи Формана, основано на топологических аргументах. ^[5]

Смотрите также

• Кривизна римановых многообразий
• Скалярная кривизна
• исчисление Риччи
• Разложение Риччи
• Риччи-плоское многообразие
• Символы Кристоффеля
• Введение в математику общей теории относительности

Сноски

1. Здесь предполагается, что многообразие имеет уникальную связь Леви-Чивита . Для общей аффинной связности тензор Риччи не обязательно должен быть симметричным.
2. Лотт, Джон; Виллани, Седрик (23 июня 2006 г.). «Кривизна Риччи для пространств метрической меры посредством оптимального транспорта». arXiv : math/0412127 .
3. Чоу, Беннетт (2004). Поток Риччи: введение. Дэн Кнопф. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3515-7. ОСЛК  54692148.
4. Оливье, Янн (1 февраля 2009 г.). «Кривизна Риччи цепей Маркова в метрических пространствах». Журнал функционального анализа . 256 (3): 810–864. дои : 10.1016/j.jfa.2008.11.001 . ISSN  0022-1236. S2CID  14316364.
5. Форман (1 февраля 2003 г.). «Метод Бохнера для клеточных комплексов и комбинаторной кривизны Риччи». Дискретная и вычислительная геометрия . 29 (3): 323–374. дои : 10.1007/s00454-002-0743-x . ISSN  1432-0444. S2CID  9584267.

Рекомендации

• Бесс, AL (1987), Многообразия Эйнштейна , Springer, ISBN 978-3-540-15279-8.
• Чоу, Беннет и Кнопф, Дэн (2004), Поток Риччи: введение , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3515-7.
• Эйзенхарт, Л.П. (1949), Риманова геометрия , Принстонский университет. Нажимать.
• Форман (2003), «Метод Бохнера для клеточных комплексов и комбинаторной кривизны Риччи», Дискретная и вычислительная геометрия , 29 (3): 323–374. doi: 10.1007/s00454-002-0743-x. ISSN 1432-0444
• Галлоуэй, Грегори (2000), «Принципы максимума для нулевых гиперповерхностей и теоремы о расщеплении нулей», Annales de l'Institut Henri Poincaré A , 1 (3): 543–567, arXiv : math/9909158 , Bibcode : 2000AnHP.... 1..543G, doi : 10.1007/s000230050006, S2CID  9619157.
• Кобаяши, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, Том 1 , Interscience.
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том. 2 , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-15732-8.
• Локамп, Иоахим (1994), «Метрики отрицательной кривизны Риччи», Annals of Mathematics , Вторая серия, Annals of Mathematics, 140 (3): 655–683, doi : 10.2307/2118620, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118620, MR  1307899.
• Морояну, Андрей (2007), Лекции по кэлеровой геометрии , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 69, Издательство Кембриджского университета , arXiv : math/0402223 , doi : 10.1017/CBO9780511618666, ISBN 978-0-521-68897-0, МР  2325093, S2CID  209824092
• Номидзу, Кацуми ; Сасаки, Такеши (1994), Аффинная дифференциальная геометрия , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-44177-3.
• Оливье, Янн (2009), «Кривизна Риччи цепей Маркова в метрических пространствах», Journal of Functional Analysis 256 (3): 810–864. doi:10.1016/j.jfa.2008.11.001. ISSN 0022-1236
• Риччи, Г. (1903–1904), «Direzioni e invarianti Principal in una varietà qualunque», Atti R. Inst. Венето , 63 (2): 1233–1239..
• Л. А. Сидоров (2001) [1994], «Тензор Риччи», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Л. А. Сидоров (2001) [1994], «Кривизна Риччи», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Наджман, Лоран и Ромон, Паскаль (2017): Современные подходы к дискретной кривизне, Спрингер (Чам), Конспекты лекций по математике

Внешние ссылки

• З. Шен, К. Сормани «Топология открытых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи» (обзор)
• Г. Вэй, «Многообразия с нижней границей кривизны Риччи» (обзор)