Формализм Ньюмена–Пенроуза

Обозначения в общей теории относительности

Формализм Ньюмена –Пенроуза ( NP ) ^{[1] [2]} — это набор обозначений, разработанный Эзрой Т. Ньюменом и Роджером Пенроузом для общей теории относительности (ОТО). Их обозначения — это попытка трактовать общую теорию относительности в терминах спинорной нотации, которая вводит комплексные формы обычных переменных, используемых в ОТО. Сам по себе формализм NP является частным случаем формализма тетрады , ^[3] где тензоры теории проецируются на полный векторный базис в каждой точке пространства-времени. Обычно этот векторный базис выбирается для отражения некоторой симметрии пространства-времени, что приводит к упрощенным выражениям для физических наблюдаемых. В случае формализма NP выбранным векторным базисом является нулевая тетрада: набор из четырех нулевых векторов — двух действительных и комплексно-сопряженной пары. Два действительных члена часто асимптотически направлены радиально внутрь и радиально наружу, и формализм хорошо приспособлен для рассмотрения распространения излучения в искривленном пространстве-времени. Скаляры Вейля , полученные из тензора Вейля , часто используются. В частности, можно показать, что один из этих скаляров — в соответствующей системе отсчета — кодирует исходящее гравитационное излучение асимптотически плоской системы. ^[4] ${\displaystyle \Psi _{4}}$

Ньюман и Пенроуз ввели следующие функции в качестве первичных величин, используя эту тетраду: ^{[1] [2]}

• Двенадцать комплексных спиновых коэффициентов (в трех группах), описывающих изменение тетрады от точки к точке: . ${\displaystyle \kappa ,\rho ,\sigma ,\tau \,;\lambda ,\mu ,\nu ,\pi \,;\epsilon ,\gamma ,\beta ,\alpha .}$
• Пять комплексных функций, кодирующих тензоры Вейля в базисе тетрады: . ${\displaystyle \Psi _{0},\ldots ,\Psi _{4}}$
• Десять функций, кодирующих тензоры Риччи в базисе тетрады: (действительные); (комплексные). ${\displaystyle \Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22},\Lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{01},\Phi _{10},\Phi _{02},\Phi _{20},\Phi _{12},\Phi _{21}}$

Во многих ситуациях — особенно в алгебраически специальных пространствах-временах или вакуумных пространствах-временах — формализм Ньюмена–Пенроуза существенно упрощается, поскольку многие функции стремятся к нулю. Это упрощение позволяет доказывать различные теоремы проще, чем при использовании стандартной формы уравнений Эйнштейна.

В этой статье мы будем использовать только тензорную, а не спинорную версию формализма NP, поскольку первая версия более понятна и более популярна в соответствующих работах. Можно обратиться к ^[5] для единой формулировки этих двух версий.

Нулевая тетрада и соглашение о знаках

Формализм разработан для четырехмерного пространства-времени с метрикой лоренцевой сигнатуры. В каждой точке вводится тетрада (набор из четырех векторов). Первые два вектора и являются просто парой стандартных (действительных) нулевых векторов , таких что . Например, мы можем мыслить в терминах сферических координат и взять в качестве исходящего нулевого вектора, а в качестве входящего нулевого вектора. Затем строится комплексный нулевой вектор путем объединения пары действительных ортогональных единичных пространственно-подобных векторов. В случае сферических координат стандартным выбором является ${\displaystyle l^{\mu }}$ ${\displaystyle n^{\mu }}$ ${\displaystyle l^{a}n_{a}=-1}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle n^{a}}$

${\displaystyle m^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {\theta }}+i{\hat {\phi }}\right)^{\mu }\ .}$

Комплексное сопряжение этого вектора образует четвертый элемент тетрады.

Для формализма NP используются два набора соглашений о сигнатуре и нормализации: и . Первое является исходным, принятым при разработке формализма NP ^{[1] [2]} и широко используемым ^{[6] [7]} в физике черных дыр, гравитационных волнах и различных других областях общей теории относительности. Однако именно последнее соглашение обычно применяется в современном изучении черных дыр с квазилокальных точек зрения ^[8] (таких как изолированные горизонты ^[9] и динамические горизонты ^{[10] [11]} ). В этой статье мы будем использовать для систематического обзора формализма NP (см. также ссылки ^{[12] [13] [14]} ). ${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$

Важно отметить, что при переходе от к определения спиновых коэффициентов, скаляров Вейля-НП и скаляров Риччи-НП необходимо изменить свои знаки; таким образом, уравнения Эйнштейна-Максвелла можно оставить неизменными. ${\displaystyle \{(+,-,-,-)\,,l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+)\,,l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

В формализме NP комплексная нулевая тетрада содержит два действительных нулевых (ко)вектора и два комплексных нулевых (ко)вектора . Будучи нулевыми (ко)векторами, самонормализация естественным образом исчезает, ${\displaystyle \{\ell \,,n\}}$ ${\displaystyle \{m\,,{\bar {m}}\}}$ ${\displaystyle \{\ell \,,n\}}$

${\displaystyle l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0}$,

поэтому приняты следующие две пары кросс -нормализации

${\displaystyle l_{a}n^{a}=-1=l^{a}n_{a}\,,\quad m_{a}{\bar {m}}^{a}=1=m^{a}{\bar {m}}_{a}\,,}$

в то время как сокращения между двумя парами также исчезают,

${\displaystyle l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0}$.

Здесь индексы могут быть повышены и понижены с помощью глобальной метрики , которая в свою очередь может быть получена через ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}\,,\quad g^{ab}=-l^{a}n^{b}-n^{a}l^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}\,.}$

NP-величины и тетрадные уравнения

Четыре ковариантных производных оператора

В соответствии с практикой формализма использования отдельных неиндексированных символов для каждого компонента объекта, оператор ковариантной производной выражается с помощью четырех отдельных символов ( ), которые называют оператор ковариантной производной по направлению для каждого направления тетрады. При наличии линейной комбинации векторов тетрады, , оператор ковариантной производной по направлению равен . ${\displaystyle \nabla _{a}}$ ${\displaystyle D,\Delta ,\delta ,{\bar {\delta }}}$ ${\displaystyle X^{a}=\mathrm {a} l^{a}+\mathrm {b} n^{a}+\mathrm {c} m^{a}+\mathrm {d} {\bar {m}}^{a}}$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle \nabla _{X}=X^{a}\nabla _{a}=(\mathrm {a} D+\mathrm {b} \Delta +\mathrm {c} \delta +\mathrm {d} {\bar {\delta }})}$

Операторы определяются как
${\displaystyle D:=\nabla _{\boldsymbol {l}}=l^{a}\nabla _{a}\,,\;\Delta :=\nabla _{\boldsymbol {n}}=n^{a}\nabla _{a}\,,}$
${\displaystyle \delta :=\nabla _{\boldsymbol {m}}=m^{a}\nabla _{a}\,,\;{\bar {\delta }}:=\nabla _{\boldsymbol {\bar {m}}}={\bar {m}}^{a}\nabla _{a}\,,}$

которые сводятся к при действии на скалярные функции. ${\displaystyle D=l^{a}\partial _{a}\,,\Delta =n^{a}\partial _{a}\,,\delta =m^{a}\partial _{a}\,,{\bar {\delta }}={\bar {m}}^{a}\partial _{a}}$

Двенадцать спиновых коэффициентов

В формализме NP вместо использования индексных обозначений, как в ортогональных тетрадах, каждому коэффициенту вращения Риччи в нулевой тетраде присваивается строчная греческая буква, которая составляет 12 комплексных спиновых коэффициентов (в трех группах), ${\displaystyle \gamma _{ijk}}$

${\displaystyle \kappa :=-m^{a}Dl_{a}=-m^{a}l^{b}\nabla _{b}l_{a}\,,\quad \tau :=-m^{a}\Delta l_{a}=-m^{a}n^{b}\nabla _{b}l_{a}\,,}$
${\displaystyle \sigma :=-m^{a}\delta l_{a}=-m^{a}m^{b}\nabla _{b}l_{a}\,,\quad \rho :=-m^{a}{\bar {\delta }}l_{a}=-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a}\,;}$

${\displaystyle \pi :={\bar {m}}^{a}Dn_{a}={\bar {m}}^{a}l^{b}\nabla _{b}n_{a}\,,\quad \nu :={\bar {m}}^{a}\Delta n_{a}={\bar {m}}^{a}n^{b}\nabla _{b}n_{a}\,,}$
${\displaystyle \mu :={\bar {m}}^{a}\delta n_{a}={\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}n_{a}\,,\quad \lambda :={\bar {m}}^{a}{\bar {\delta }}n_{a}={\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}n_{a}\,;}$

${\displaystyle \varepsilon :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}Dl_{a}-{\bar {m}}^{a}Dm_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}l^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}l^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,,}$
${\displaystyle \gamma :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}\Delta l_{a}-{\bar {m}}^{a}\Delta m_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}n^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}n^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,,}$
${\displaystyle \beta :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}\delta l_{a}-{\bar {m}}^{a}\delta m_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}m^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,,}$
${\displaystyle \alpha :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}{\bar {\delta }}l_{a}-{\bar {m}}^{a}{\bar {\delta }}m_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,.}$

Коэффициенты спина являются основными величинами в формализме NP, с помощью которых все другие величины NP (как определено ниже) могут быть вычислены косвенно с использованием уравнений поля NP. Таким образом, формализм NP иногда также называют формализмом спиновых коэффициентов .

Уравнения переноса: ковариантные производные тетрадных векторов

Шестнадцать ковариантных производных тетрадных векторов по направлениям иногда называют уравнениями переноса/распространения, ^{[ необходима ссылка ]} , возможно, потому, что производные равны нулю, когда тетрадный вектор параллельно распространяется или переносится в направлении оператора производной.

Эти результаты в этой точной записи даны О'Доннеллом: ^{[5] : 57–58(3.220)}
${\displaystyle Dl^{a}=(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})l^{a}-{\bar {\kappa }}m^{a}-\kappa {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta l^{a}=(\gamma +{\bar {\gamma }})l^{a}-{\bar {\tau }}m^{a}-\tau {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta l^{a}=({\bar {\alpha }}+\beta )l^{a}-{\bar {\rho }}m^{a}-\sigma {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}l^{a}=(\alpha +{\bar {\beta }})l^{a}-{\bar {\sigma }}m^{a}-\rho {\bar {m}}^{a}\,;}$

${\displaystyle Dn^{a}=\pi m^{a}+{\bar {\pi }}{\bar {m}}^{a}-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})n^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta n^{a}=\nu m^{a}+{\bar {\nu }}{\bar {m}}^{a}-(\gamma +{\bar {\gamma }})n^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta n^{a}=\mu m^{a}+{\bar {\lambda }}{\bar {m}}^{a}-({\bar {\alpha }}+\beta )n^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}n^{a}=\lambda m^{a}+{\bar {\mu }}{\bar {m}}^{a}-(\alpha +{\bar {\beta }})n^{a}\,;}$

${\displaystyle Dm^{a}=(\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})m^{a}+{\bar {\pi }}l^{a}-\kappa n^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta m^{a}=(\gamma -{\bar {\gamma }})m^{a}+{\bar {\nu }}l^{a}-\tau n^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta m^{a}=(\beta -{\bar {\alpha }})m^{a}+{\bar {\lambda }}l^{a}-\sigma n^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}m^{a}=(\alpha -{\bar {\beta }})m^{a}+{\bar {\mu }}l^{a}-\rho n^{a}\,;}$

${\displaystyle D{\bar {m}}^{a}=({\bar {\varepsilon }}-\varepsilon ){\bar {m}}^{a}+\pi l^{a}-{\bar {\kappa }}n^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta {\bar {m}}^{a}=({\bar {\gamma }}-\gamma ){\bar {m}}^{a}+\nu l^{a}-{\bar {\tau }}n^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta {\bar {m}}^{a}=({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {m}}^{a}+\mu l^{a}-{\bar {\rho }}n^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}{\bar {m}}^{a}=({\bar {\beta }}-\alpha ){\bar {m}}^{a}+\lambda l^{a}-{\bar {\sigma }}n^{a}\,.}$

Интерпретация ${\displaystyle \kappa ,\varepsilon ,\nu ,\gamma }$от ${\displaystyle Dl^{a}}$и ${\displaystyle \Delta n^{a}}$

Два уравнения для ковариантной производной действительного нулевого вектора тетрады в его собственном направлении указывают, касается ли вектор геодезической линии, и если касается, имеет ли геодезическая аффинный параметр.

Нулевой касательный вектор касается аффинно параметризованной нулевой геодезической, если , то есть если вектор не изменяется при параллельном распространении или переносе в своем собственном направлении. ^{[15] : 41(3.3.1)} ${\displaystyle T^{a}}$ ${\displaystyle T^{b}\nabla _{b}T^{a}=0}$

${\displaystyle Dl^{a}=(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})l^{a}-{\bar {\kappa }}m^{a}-\kappa {\bar {m}}^{a}}$показывает, что касается геодезической тогда и только тогда, когда , и касается аффинно параметризованной геодезической, если вдобавок . Аналогично, показывает, что является геодезической тогда и только тогда, когда , и имеет аффинную параметризацию, когда . ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle (\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})=0}$ ${\displaystyle \Delta n^{a}=\nu m^{a}+{\bar {\nu }}{\bar {m}}^{a}-(\gamma +{\bar {\gamma }})n^{a}}$ ${\displaystyle n^{a}}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle (\gamma +{\bar {\gamma }})=0}$

(Комплексные нулевые тетрадные векторы и должны быть разделены на пространственноподобные базисные векторы и прежде чем спрашивать, являются ли один или оба из них касательными к пространственноподобным геодезическим.) ${\displaystyle m^{a}=x^{a}+iy^{a}}$ ${\displaystyle {\bar {m}}^{a}=x^{a}-iy^{a}}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle y^{a}}$

Коммутаторы

Метрическая совместимость или отсутствие кручения ковариантной производной преобразуется в коммутаторы производных по направлению ,

${\displaystyle \Delta D-D\Delta =(\gamma +{\bar {\gamma }})D+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\Delta -({\bar {\tau }}+\pi )\delta -(\tau +{\bar {\pi }}){\bar {\delta }}\,,}$
${\displaystyle \delta D-D\delta =({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})D+\kappa \Delta -({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\delta -\sigma {\bar {\delta }}\,,}$
${\displaystyle \delta \Delta -\Delta \delta =-{\bar {\nu }}D+(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\Delta +(\mu -\gamma +{\bar {\gamma }})\delta +{\bar {\lambda }}{\bar {\delta }}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}\delta -\delta {\bar {\delta }}=({\bar {\mu }}-\mu )D+({\bar {\rho }}-\rho )\Delta +(\alpha -{\bar {\beta }})\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,}$

что подразумевает, что

${\displaystyle \Delta l^{a}-Dn^{a}=(\gamma +{\bar {\gamma }})l^{a}+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})n^{a}-({\bar {\tau }}+\pi )m^{a}-(\tau +{\bar {\pi }}){\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta l^{a}-Dm^{a}=({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})l^{a}+\kappa n^{a}-({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})m^{a}-\sigma {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta n^{a}-\Delta m^{a}=-{\bar {\nu }}l^{a}+(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )n^{a}+(\mu -\gamma +{\bar {\gamma }})m^{a}+{\bar {\lambda }}{\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}m^{a}-\delta {\bar {m}}^{a}=({\bar {\mu }}-\mu )l^{a}+({\bar {\rho }}-\rho )n^{a}+(\alpha -{\bar {\beta }})m^{a}-({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {m}}^{a}\,.}$

Примечание: (i) Приведенные выше уравнения можно рассматривать либо как следствие коммутаторов, либо как комбинации уравнений переноса; (ii) В этих подразумеваемых уравнениях векторы можно заменить ковекторами, и уравнения по-прежнему будут справедливы. ${\displaystyle \{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$

Скаляры Вейля–НП и Риччи–НП

10 независимых компонент тензора Вейля можно закодировать в 5 комплексных скаляров Вейля-NP ,

${\displaystyle \Psi _{0}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}l^{c}m^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{1}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}l^{c}m^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{2}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}{\bar {m}}^{c}n^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{3}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}{\bar {m}}^{c}n^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{4}:=C_{abcd}n^{a}{\bar {m}}^{b}n^{c}{\bar {m}}^{d}\,.}$

10 независимых компонент тензора Риччи закодированы в 4 действительных скаляра , , , и 3 комплексных скаляра (с их комплексно сопряженными), ${\displaystyle \{\Phi _{00}}$ ${\displaystyle \Phi _{11}}$ ${\displaystyle \Phi _{22}}$ ${\displaystyle \Lambda \}}$ ${\displaystyle \{\Phi _{10},\Phi _{20},\Phi _{21}\}}$

${\displaystyle \Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\,;}$

${\displaystyle \Phi _{01}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi _{01}}}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi _{02}}}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi _{12}}}\,.}$

В этих определениях может быть заменена его бесследовой частью ^[13] или тензором Эйнштейна из-за нормировочных соотношений. Также сводится к для электровакуума ( ). ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle \displaystyle Q_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R}$ ${\displaystyle \displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R}$ ${\displaystyle \Phi _{11}}$ ${\displaystyle \Phi _{11}={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}}$ ${\displaystyle \Lambda =0}$

Уравнения Эйнштейна–Максвелла–НП

Уравнения поля NP

В комплексной нулевой тетраде тождества Риччи приводят к следующим уравнениям поля NP, связывающим спиновые коэффициенты, скаляры Вейля-NP и Риччи-NP (напомним, что в ортогональной тетраде коэффициенты вращения Риччи будут соответствовать первому и второму структурным уравнениям Картана ), ^{[5] [13]}

Эти уравнения в различных обозначениях можно найти в нескольких текстах. ^{[3] : 46–47(310(a)-(r))  [13] : 671–672(E.12)} Обозначения у Фролова и Новикова ^[13] идентичны.
${\displaystyle D\rho -{\bar {\delta }}\kappa =(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho -{\bar {\kappa }}\tau -\kappa (3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )+\Phi _{00}\,,}$
${\displaystyle D\sigma -\delta \kappa =(\rho +{\bar {\rho }})\sigma +(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma -(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa +\Psi _{0}\,,}$
${\displaystyle D\tau -\Delta \kappa =(\tau +{\bar {\pi }})\rho +({\bar {\tau }}+\pi )\sigma +(\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\tau -(3\gamma +{\bar {\gamma }})\kappa +\Psi _{1}+\Phi _{01}\,,}$
${\displaystyle D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon =(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha +\beta {\bar {\sigma }}-{\bar {\beta }}\varepsilon -\kappa \lambda -{\bar {\kappa }}\gamma +(\varepsilon +\rho )\pi +\Phi _{10}\,,}$
${\displaystyle D\beta -\delta \varepsilon =(\alpha +\pi )\sigma +({\bar {\rho }}-{\bar {\varepsilon }})\beta -(\mu +\gamma )\kappa -({\bar {\alpha }}-{\bar {\pi }})\varepsilon +\Psi _{1}\,,}$
${\displaystyle D\gamma -\Delta \varepsilon =(\tau +{\bar {\pi }})\alpha +({\bar {\tau }}+\pi )\beta -(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon +\tau \pi -\nu \kappa +\Psi _{2}+\Phi _{11}-\Lambda \,,}$
${\displaystyle D\lambda -{\bar {\delta }}\pi =(\rho \lambda +{\bar {\sigma }}\mu )+\pi ^{2}+(\alpha -{\bar {\beta }})\pi -\nu {\bar {\kappa }}-(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\lambda +\Phi _{20}\,,}$
${\displaystyle D\mu -\delta \pi =({\bar {\rho }}\mu +\sigma \lambda )+\pi {\bar {\pi }}-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\mu -({\bar {\alpha }}-\beta )\pi -\nu \kappa +\Psi _{2}+2\Lambda \,,}$
${\displaystyle D\nu -\Delta \pi =(\pi +{\bar {\tau }})\mu +({\bar {\pi }}+\tau )\lambda +(\gamma -{\bar {\gamma }})\pi -(3\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\nu +\Psi _{3}+\Phi _{21}\,,}$
${\displaystyle \Delta \lambda -{\bar {\delta }}\nu =-(\mu +{\bar {\mu }})\lambda -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\lambda +(3\alpha +{\bar {\beta }}+\pi -{\bar {\tau }})\nu -\Psi _{4}\,,}$
${\displaystyle \delta \rho -{\bar {\delta }}\sigma =\rho ({\bar {\alpha }}+\beta )-\sigma (3\alpha -{\bar {\beta }})+(\rho -{\bar {\rho }})\tau +(\mu -{\bar {\mu }})\kappa -\Psi _{1}+\Phi _{01}\,,}$
${\displaystyle \delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta =(\mu \rho -\lambda \sigma )+\alpha {\bar {\alpha }}+\beta {\bar {\beta }}-2\alpha \beta +\gamma (\rho -{\bar {\rho }})+\varepsilon (\mu -{\bar {\mu }})-\Psi _{2}+\Phi _{11}+\Lambda \,,}$
${\displaystyle \delta \lambda -{\bar {\delta }}\mu =(\rho -{\bar {\rho }})\nu +(\mu -{\bar {\mu }})\pi +(\alpha +{\bar {\beta }})\mu +({\bar {\alpha }}-3\beta )\lambda -\Psi _{3}+\Phi _{21}\,,}$
${\displaystyle \delta \nu -\Delta \mu =(\mu ^{2}+\lambda {\bar {\lambda }})+(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu -{\bar {\nu }}\pi +(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu +\Phi _{22}\,,}$
${\displaystyle \delta \gamma -\Delta \beta =(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma +\mu \tau -\sigma \nu -\varepsilon {\bar {\nu }}-(\gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta +\alpha {\bar {\lambda }}+\Phi _{12}\,,}$
${\displaystyle \delta \tau -\Delta \sigma =(\mu \sigma +{\bar {\lambda }}\rho )+(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma -\kappa {\bar {\nu }}+\Phi _{02}\,,}$
${\displaystyle \Delta \rho -{\bar {\delta }}\tau =-(\rho {\bar {\mu }}+\sigma \lambda )+({\bar {\beta }}-\alpha -{\bar {\tau }})\tau +(\gamma +{\bar {\gamma }})\rho +\nu \kappa -\Psi _{2}-2\Lambda \,,}$
${\displaystyle \Delta \alpha -{\bar {\delta }}\gamma =(\rho +\varepsilon )\nu -(\tau +\beta )\lambda +({\bar {\gamma }}-{\bar {\mu }})\alpha +({\bar {\beta }}-{\bar {\tau }})\gamma -\Psi _{3}\,.}$

Кроме того, скаляры Вейля-НП и скаляры Риччи-НП можно вычислить косвенно из приведенных выше уравнений поля НП после получения спиновых коэффициентов, а не напрямую, используя их определения. ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

Скаляры Максвелла–NP, уравнения Максвелла в формализме NP

Шесть независимых компонентов 2-формы Фарадея-Максвелла (т.е. тензора напряженности электромагнитного поля ) можно закодировать в три комплексных скаляра Максвелла-NP ^[12] ${\displaystyle F_{ab}}$

${\displaystyle \phi _{0}:=F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:={\frac {1}{2}}F_{ab}{\big (}l^{a}n^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{2}:=F_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}\,,}$

и поэтому восемь действительных уравнений Максвелла и (как ) можно преобразовать в четыре комплексных уравнения, ${\displaystyle d\mathbf {F} =0}$ ${\displaystyle d^{\star }\mathbf {F} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =dA}$

${\displaystyle D\phi _{1}-{\bar {\delta }}\phi _{0}=(\pi -2\alpha )\phi _{0}+2\rho \phi _{1}-\kappa \phi _{2}\,,}$
${\displaystyle D\phi _{2}-{\bar {\delta }}\phi _{1}=-\lambda \phi _{0}+2\pi \phi _{1}+(\rho -2\varepsilon )\phi _{2}\,,}$
${\displaystyle \Delta \phi _{0}-\delta \phi _{1}=(2\gamma -\mu )\phi _{0}-2\tau \phi _{1}+\sigma \phi _{2}\,,}$
${\displaystyle \Delta \phi _{1}-\delta \phi _{2}=\nu \phi _{0}-2\mu \phi _{1}+(2\beta -\tau )\phi _{2}\,,}$

со скалярами Риччи-NP, связанными со скалярами Максвелла по ^[12] ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,.}$

Стоит отметить, что дополнительное уравнение справедливо только для электромагнитных полей; например, в случае полей Янга-Миллса будет , где — скаляры Янга-Миллса-NP. ^[16] ${\displaystyle \Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})}$ ${\displaystyle \digamma _{i}(i\in \{0,1,2\})}$

Подводя итог, можно сказать, что вышеупомянутые уравнения переноса, уравнения поля NP и уравнения Максвелла-NP вместе составляют уравнения Эйнштейна-Максвелла в формализме Ньюмена-Пенроуза.

Применение формализма NP к полю гравитационного излучения

Скаляр Вейля был определен Ньюманом и Пенроузом как ${\displaystyle \Psi _{4}}$

${\displaystyle \Psi _{4}=-C_{\alpha \beta \gamma \delta }n^{\alpha }{\bar {m}}^{\beta }n^{\gamma }{\bar {m}}^{\delta }}$

(отметим, однако, что общий знак произволен , и что Ньюман и Пенроуз работали с «временной» метрической сигнатурой ). В пустом пространстве уравнения поля Эйнштейна сводятся к . Из определения тензора Вейля мы видим, что это означает, что он равен тензору Римана , . Мы можем сделать стандартный выбор для тетрады на бесконечности: ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ ${\displaystyle R_{\alpha \beta }=0}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta \gamma \delta }=R_{\alpha \beta \gamma \delta }}$

${\displaystyle l^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {t}}+{\hat {r}}\right)\ ,}$

${\displaystyle n^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {t}}-{\hat {r}}\right)\ ,}$

${\displaystyle m^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {\theta }}+i{\hat {\phi }}\right)\ .}$

В поперечно-бесследовой калибровке простой расчет показывает, что линеаризованные гравитационные волны связаны с компонентами тензора Римана следующим образом:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)=-R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}{\hat {\theta }}}=-R_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}=-R_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=R_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}{\hat {\phi }}}=R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=R_{{\hat {r}}{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}\ ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}{\hat {\phi }}}=-R_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}=R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}=R_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}{\hat {\phi }}}\ ,}$

предполагая распространение в направлении. Объединяя их и используя определение выше, мы можем записать ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle \Psi _{4}}$

${\displaystyle \Psi _{4}={\frac {1}{2}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)+i{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\ddot {h}}_{+}+i{\ddot {h}}_{\times }\ .}$

Вдали от источника, в почти плоском пространстве, поля и кодируют все о гравитационном излучении, распространяющемся в заданном направлении. Таким образом, мы видим, что кодирует в едином комплексном поле все о (исходящих) гравитационных волнах. ${\displaystyle h_{+}}$ ${\displaystyle h_{\times }}$ ${\displaystyle \Psi _{4}}$

Излучение от конечного источника

Используя формализм генерации волн, обобщенный Торном ^[17], мы можем довольно компактно записать поле излучения в терминах массового мультиполя, токового мультиполя и спин-взвешенных сферических гармоник :

${\displaystyle \Psi _{4}(t,r,\theta ,\phi )=-{\frac {1}{r{\sqrt {2}}}}\sum _{l=2}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left[{}^{(l+2)}I^{lm}(t-r)-i\ {}^{(l+2)}S^{lm}(t-r)\right]{}_{-2}Y_{lm}(\theta ,\phi )\ .}$

Здесь верхние индексы с приставкой указывают на производные по времени. То есть мы определяем

${\displaystyle {}^{(l)}G(t)=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{l}G(t)\ .}$

Компоненты и являются мультиполями массы и тока соответственно. — сферическая гармоника со спиновым весом -2. ${\displaystyle I^{lm}}$ ${\displaystyle S^{lm}}$ ${\displaystyle {}_{-2}Y_{lm}}$

Смотрите также

• Координаты светового конуса
• Формализм ГХП
• Тетрадный формализм
• Теорема Голдберга–Сакса

Ссылки

1. Эзра Т. Ньюман и Роджер Пенроуз (1962). «Подход к гравитационному излучению с помощью метода спиновых коэффициентов». Журнал математической физики . 3 (3): 566–768. Bibcode : 1962JMP.....3..566N. doi : 10.1063/1.1724257. Оригинальная статья Ньюмена и Пенроуза, в которой представлен формализм и используется его для получения примеров результатов.
2. Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Опечатки: Подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов . Журнал математической физики, 1963, 4 (7): 998.
3. Chandrasekhar, S. (1998). Математическая теория черных дыр (Oxford Classics Series ed.). Oxford University Press. стр. 40. ISBN 0-19850370-9. Получено 31 мая 2019 г. Формализм Ньюмена–Пенроуза — это тетрадный формализм со специальным выбором базисных векторов.
4. Saul Teukolsky (1973). «Возмущения вращающейся черной дыры». Astrophysical Journal . 185 : 635–647. Bibcode : 1973ApJ...185..635T. doi : 10.1086/152444.
5. Питер О'Доннелл. Введение в 2-спиноры в общей теории относительности . Сингапур: World Scientific, 2003.
6. Субраманьян Чандрасекар. Математическая теория черных дыр . Чикаго: Издательство Чикагского университета, 1983.
7. Дж. Б. Гриффитс. Столкновение плоских волн в общей теории относительности . Оксфорд: Oxford University Press, 1991.
8. Иван Бут. Границы черных дыр . Канадский журнал физики, 2005, 83 (11): 1073-1099. [arxiv.org/abs/gr-qc/0508107 arXiv:gr-qc/0508107v2]
9. Абхай Аштекар, Кристофер Битл, Ежи Левандовски. Геометрия общих изолированных горизонтов . Классическая и квантовая гравитация, 2002, 19 (6): 1195-1225. arXiv:gr-qc/0111067v2
10. Абхай Аштекар, Бадри Кришнан. Динамические горизонты: энергия, угловой момент, потоки и законы баланса . Physical Review Letters, 2002, 89 (26): 261101. [arxiv.org/abs/gr-qc/0207080 arXiv:gr-qc/0207080v3]
11. Абхай Аштекар, Бадри Кришнан. Динамические горизонты и их свойства . Physical Review D, 2003, 68 (10): 104030. [arxiv.org/abs/gr-qc/0308033 arXiv:gr-qc/0308033v4]
12. Джереми Брэнсом Гриффитс, Иржи Подольский. Точные пространства-времена в общей теории относительности Эйнштейна . Кембридж: Cambridge University Press, 2009. Глава 2.
13. Валерий П. Фролов, Игорь Д. Новиков. Физика черных дыр: основные концепции и новые разработки . Берлин: Springer, 1998. Приложение E.
14. Абхай Аштекар, Стивен Фэрхерст, Бадри Кришнан. Изолированные горизонты: гамильтонианская эволюция и первый закон . Physical Review D, 2000, 62 (10): 104025. Приложение B. gr-qc/0005083
15. Роберт М. Уолд (1984). Общая теория относительности . ISBN 9780226870335.
16. ET Newman, KP Tod. Асимптотически плоские пространства-времена , Приложение A.2. В A Held (редактор): Общая теория относительности и гравитация: сто лет после рождения Альберта Эйнштейна . Том (2), стр. 27. Нью-Йорк и Лондон: Plenum Press, 1980.
17. Торн, Кип С. (апрель 1980 г.). «Мультипольные разложения гравитационного излучения» (PDF) . Rev. Mod. Phys . 52 (2): 299–339. Bibcode :1980RvMP...52..299T. doi :10.1103/RevModPhys.52.299.Широкое изложение математического формализма, используемого в литературе по гравитационному излучению.

• Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2.Вальд рассматривает более лаконичную версию формализма Ньюмена–Пенроуза в терминах более современной спинорной нотации.
• SW Hawking и GFR Ellis (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Cambridge University Press . ISBN 0-226-87033-2.Хокинг и Эллис используют этот формализм при обсуждении конечного состояния коллапсирующей звезды.

Внешние ссылки

• Формализм Ньюмена-Пенроуза на Scholarpedia