Тетрадный формализм

Относительность с базисом, не выведенным из координат

Формализм тетрады — это подход к общей теории относительности , который обобщает выбор базиса для касательного расслоения с координатного базиса на менее ограничительный выбор локального базиса, т. е. локально определенного набора из четырех ^[a] линейно независимых векторных полей, называемых тетрадой или виербейном . ^[1] Это частный случай более общей идеи формализма виербейна , которая задается в (псевдо-) римановой геометрии . В этой статье, в ее нынешнем виде, часто упоминается общая теория относительности; однако почти все, что в ней говорится, в равной степени применимо к (псевдо-) римановым многообразиям в целом и даже к спиновым многообразиям . Большинство утверждений выполняются просто путем замены произвольного на . На немецком языке « vier » переводится как «четыре», а « viel » — как «много». ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$

Общая идея заключается в том, чтобы записать метрический тензор как произведение двух реперных точек , одной слева и одной справа. Эффект реперных точек заключается в изменении системы координат, используемой на касательном многообразии , на более простую или более подходящую для вычислений. Часто бывает так, что система координат реперных точек является ортонормированной, так как ее, как правило, проще всего использовать. Большинство тензоров становятся простыми или даже тривиальными в этой системе координат; таким образом, сложность большинства выражений оказывается артефактом выбора координат, а не врожденным свойством или физическим эффектом ^{[ требуется ссылка ]} . То есть, как формализм, он не изменяет предсказания; это скорее вычислительный метод.

Преимущество тетрадного формализма над стандартным подходом к общей теории относительности на основе координат заключается в возможности выбора тетрадного базиса для отражения важных физических аспектов пространства-времени. Абстрактная индексная нотация обозначает тензоры так, как если бы они были представлены своими коэффициентами относительно фиксированной локальной тетрады. По сравнению с полностью свободной от координат нотацией , которая часто концептуально более ясна, она позволяет легко и вычислительно явно обозначать сокращения.

Значимость тетрадического формализма проявляется в формулировке Эйнштейна–Картана общей теории относительности. Тетрадический формализм теории более фундаментален, чем его метрическая формулировка, поскольку невозможно преобразовать тетрадическую и метрическую формулировки фермионных действий, несмотря на то, что это возможно для бозонных действий ^{[ требуется ссылка ]} . Это фактически потому, что спиноры Вейля могут быть очень естественно определены на римановом многообразии ^{[2] [ требуется ссылка ],} и их естественная настройка приводит к спиновой связи . Эти спиноры принимают форму в системе координат референтного поля, а не в системе координат многообразия.

Привилегированный тетрадический формализм также появляется в деконструкции теорий гравитации Калуцы–Клейна более высокой размерности ^[3] и теорий массивной гравитации , в которых дополнительное измерение(я) заменяются сериями из N узлов решетки , так что метрика более высокой размерности заменяется набором взаимодействующих метрик, которые зависят только от 4D-компонентов. ^[4] Фильбейны обычно появляются в других общих установках в физике и математике. Фильбейны можно понимать как формы припоя .

Математическая формулировка

Формулировка тетрады является частным случаем более общей формулировки, известной как vielbein или n -bein формулировка, где n = 4. Обратите внимание на написание: в немецком языке «viel» означает «много», не путать с «vier», что означает «четыре».

В формализме Вильбейна ^{[5] выбирается} открытое покрытие пространственно - временного многообразия и локальный базис для каждого из этих открытых множеств: набор независимых векторных полей ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }}$

для того, чтобы вместе охватывать -мерное касательное расслоение в каждой точке множества. Дуально, рефербейн (или тетрада в 4 измерениях) определяет (и определяется) дуальным ко-рефербейном (ко-тетрадой) — множеством независимых 1-форм . ${\displaystyle a=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

такой что

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e_{b}{}^{\mu }=\delta _{b}^{a},}$

где — дельта Кронекера . Обычно репер определяется своими коэффициентами относительно координатного базиса, несмотря на то, что выбор набора (локальных) координат не является необходимым для спецификации тетрады. Каждый ковектор является формой припоя . ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ ${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

С точки зрения дифференциальной геометрии расслоений , n векторных полей определяют сечение расслоения фрейма , т.е. параллелизация которого эквивалентна изоморфизму . Поскольку не каждое многообразие параллелизуемо, репер может быть выбран, как правило, только локально ( т.е. только на координатной карте , а не на всех .) ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$

Все тензоры теории можно выразить в векторном и ковекторном базисе, представив их в виде линейных комбинаций членов (ко)виелбейна. Например, метрический тензор пространства-времени можно преобразовать из координатного базиса в тетрадный базис .

Популярные тетрадные базисы в общей теории относительности включают ортонормированные тетрады и нулевые тетрады. Нулевые тетрады состоят из четырех нулевых векторов , поэтому часто используются в задачах, связанных с излучением, и являются основой формализма Ньюмена–Пенроуза и формализма GHP .

Отношение к стандартному формализму

Стандартный формализм дифференциальной геометрии (и общей теории относительности) состоит просто из использования тетрады координат в формализме тетрады. Тетрада координат — это канонический набор векторов, связанных с координатной картой . Тетрада координат обычно обозначается , тогда как дуальная котетрада обозначается . Эти касательные векторы обычно определяются как операторы производной по направлению : если задана карта , которая отображает подмножество многообразия в координатное пространство , и любое скалярное поле , векторы координат таковы, что: ${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$ ${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$ ${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

Определение котетрада использует обычное злоупотребление обозначениями для определения ковекторов (1-форм) на . Участие координатной тетрады обычно не делается явным в стандартном формализме. В формализме тетрады вместо того, чтобы полностью выписывать уравнения тензора (включая элементы тетрады и тензорные произведения , как выше), упоминаются только компоненты тензоров. Например, метрика записывается как " ". Когда тетрада не указана, это становится вопросом указания типа тензора, называемого абстрактной индексной нотацией . Она позволяет легко указывать сокращение между тензорами путем повторения индексов, как в соглашении Эйнштейна о суммировании. ${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

Изменение тетрад является рутинной операцией в стандартном формализме, поскольку она участвует в каждом преобразовании координат (т. е. изменении одного базиса тетрады координат на другой). Переключение между несколькими координатными картами необходимо, поскольку, за исключением тривиальных случаев, одна координатная карта не может покрыть все многообразие. Изменение в общие тетрады и между ними во многом похоже и одинаково необходимо (за исключением параллелизуемых многообразий ). Любой тензор можно локально записать в терминах этой тетрады координат или общей (ко)тетрады.

Например, метрический тензор можно выразить как: ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}$

(Здесь мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании ). Аналогично, метрику можно выразить относительно произвольного (ко)тетрада как

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

Здесь мы используем выбор алфавита ( латинского и греческого ) для индексных переменных, чтобы различать применимую основу.

Мы можем перевести из общей ко-тетрады в координатную ко-тетраду, расширив ковектор . Тогда мы получим ${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

откуда следует, что . Аналогично расширяя по общей тетраде, получаем ${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$ ${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

что показывает, что . ${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$

Манипулирование индексами

Манипуляция с коэффициентами тетрады показывает, что абстрактные формулы индекса могут быть, в принципе, получены из тензорных формул относительно координатной тетрады путем «замены греческих индексов на латинские». Однако необходимо позаботиться о том, чтобы формула координатной тетрады определяла настоящий тензор, когда задействовано дифференцирование. Поскольку координатные векторные поля имеют исчезающую скобку Ли (т.е. коммутируют: ), наивные подстановки формул, которые правильно вычисляют тензорные коэффициенты относительно координатной тетрады, могут неправильно определять тензор относительно общей тетрады, поскольку скобка Ли неисчезающая: . Таким образом, иногда говорят, что координаты тетрады обеспечивают неголономный базис . ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}$

Например, тензор кривизны Римана определяется для общих векторных полей как ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}$.

В координатной тетраде это дает тензорные коэффициенты

${\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).}$

Наивная замена последнего выражения «греческий на латынь»

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}}$

неверно, поскольку для фиксированных c и d , является, в общем случае, дифференциальным оператором первого порядка, а не оператором нулевого порядка, который определяет тензорный коэффициент. Подставляя общий тетрадный базис в абстрактную формулу, мы находим правильное определение кривизны в абстрактной индексной нотации, однако: ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}$

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}$

где . Обратите внимание, что выражение действительно является оператором нулевого порядка, следовательно (( c d )-компонентой) тензора. Поскольку оно согласуется с координатным выражением для кривизны при специализации до координатной тетрады, ясно, даже не используя абстрактное определение кривизны, что оно определяет тот же тензор, что и выражение базиса координат. ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}$ ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}$

Пример: группы Ли

При заданном векторе (или ковекторе) в касательном (или котангенсивном) многообразии экспоненциальное отображение описывает соответствующую геодезическую этого касательного вектора. Запись , параллельный перенос дифференциала соответствует ${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

Вышесказанное можно легко проверить, просто приняв это за матрицу. ${\displaystyle X}$

Для частного случая алгебры Ли можно взять элемент алгебры, экспонента — экспоненциальное отображение группы Ли , а элементы группы соответствуют геодезическим касательного вектора. Выбрав базис для алгебры Ли и записав для некоторых функций коммутаторы можно явно выписать. Легко вычислить, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle X^{i},}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

для структурных констант алгебры Ли. Ряд можно записать более компактно как ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

с бесконечным рядом

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

Здесь — матрица, матричные элементы которой равны . Тогда матрица является репером; она выражает дифференциал в терминах «плоских координат» (при этом ортонормальных) . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle dX^{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

При наличии некоторого отображения из некоторого многообразия в некоторую группу Ли метрический тензор на многообразии становится обратным образом метрического тензора на группе Ли : ${\displaystyle N\to G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

Метрический тензор на группе Ли — это метрика Картана, также известная как форма Киллинга . Обратите внимание, что как матрица вторая W является транспонированной. Для (псевдо-) риманова многообразия метрика является (псевдо-) римановой метрикой . Вышеизложенное обобщается на случай симметричных пространств . ^[6] Эти реперы используются для выполнения вычислений в сигма-моделях , частным случаем которых являются теории супергравитации . ^[7] ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle N}$

Смотрите также

• Рамка связка
• Ортонормальный рамочный пучок
• Основной пакет
• Спин-пучок
• Связь (математика)
• G-структура
• Спин-коллектор
• Спиновая структура
• Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

Примечания

1. Тот же подход можно использовать для пространства-времени произвольной размерности, где фрейм расслоения фреймов называется n-бейном или виэльбейном .

Цитаты

1. Де Феличе, Ф.; Кларк, CJS (1990), Относительность на искривленных многообразиях , Cambridge University Press, стр. 133, ISBN 0-521-26639-4
2. Йост, Юрген (1995), Риманова геометрия и геометрический анализ , Springer, ISBN 3-540-57113-2
3. Аркани-Хамед, Нима; Коэн, Эндрю Г.; Джорджи, Говард (май 2001 г.). «(Де)конструирование измерений». Physical Review Letters . 86 (21): 4757–4761. arXiv : hep-th/0104005 . Bibcode : 2001PhRvL..86.4757A. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.4757. ISSN  0031-9007. PMID  11384341. S2CID  4540121.
4. de Rham, Claudia (декабрь 2014 г.). "Massive Gravity". Living Reviews in Relativity . 17 (1): 7. arXiv : 1401.4173 . Bibcode : 2014LRR....17....7D. doi : 10.12942/lrr-2014-7 . ISSN  2367-3613. PMC 5256007. PMID 28179850  . 
5. Тору Эгучи, Питер Б. Джилки и Эндрю Дж. Хэнсон, «Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия», Physics Reports 66 (1980) стр. 213-393.
6. Неджат Тевфик Йылмаз, (2007) «О кинематике симметричной пространственной сигма-модели» arXiv:0707.2150 [hep-th]
7. Арьян Кеурентьес (2003) «Групповая теория окисления», arXiv:0210178 [hep-th]

Ссылки

• Де Феличе, Ф.; Кларк, CJS (1990), Относительность на криволинейных многообразиях (впервые опубликовано в издании 1990 г.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
• Бенн, IM; Такер, RW (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в изд. 1987 г.), Адам Хильгер, ISBN 0-85274-169-3

Внешние ссылки

• Общая теория относительности с тетрадами