Вектор поля

Присвоение вектора каждой точке в подмножестве евклидова пространства

Часть векторного поля (sin  y , sin  x )

В векторном исчислении и физике векторное поле — это присвоение вектора каждой точке пространства , чаще всего евклидова пространства . ^[1] Векторные поля на плоскости можно визуализировать как набор стрелок с заданными величинами и направлениями, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в трехмерном пространстве , такой как ветер , или величины и направления некоторой силы , такой как магнитная или гравитационная сила, при ее изменении от одной точки к другой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Элементы дифференциального и интегрального исчисления естественным образом распространяются на векторные поля. Когда векторное поле представляет силу , линейный интеграл векторного поля представляет работу , совершаемую силой, движущейся по пути, и при этой интерпретации сохранение энергии проявляется как частный случай фундаментальной теоремы исчисления . Векторные поля можно с пользой рассматривать как представляющие скорость движущегося потока в пространстве, и эта физическая интуиция приводит к таким понятиям, как дивергенция ( которая представляет скорость изменения объема потока) и ротор (который представляет вращение потока).

Векторные поля являются частным случаем векторнозначной функции , размерность домена которой не имеет отношения к размерности ее диапазона; например, вектор положения пространственной кривой определен только для меньшего подмножества окружающего пространства. Аналогично, n координат , векторное поле на домене в n -мерном евклидовом пространстве может быть представлено как векторнозначная функция, которая сопоставляет n -кортеж действительных чисел с каждой точкой домена. Это представление векторного поля зависит от системы координат, и существует четко определенный закон преобразования ( ковариантность и контравариантность векторов ) при переходе от одной системы координат к другой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Векторные поля часто обсуждаются на открытых подмножествах евклидова пространства, но также имеют смысл на других подмножествах, таких как поверхности , где они связывают стрелку, касательную к поверхности в каждой точке ( касательный вектор ). В более общем смысле векторные поля определяются на дифференцируемых многообразиях , которые представляют собой пространства, которые выглядят как евклидово пространство в малых масштабах, но могут иметь более сложную структуру в больших масштабах. В этой настройке векторное поле дает касательный вектор в каждой точке многообразия (то есть сечение касательного расслоения к многообразию). Векторные поля являются одним из видов тензорных полей .

Определение

Векторные поля на подмножествах евклидова пространства

Два представления одного и того же векторного поля: v ( x , y ) = − r . Стрелки изображают поле в дискретных точках, однако поле существует всюду.

Если задано подмножество S из R ⁿ , векторное поле представляется векторнозначной функцией V : S → R ⁿ в стандартных декартовых координатах ( x ₁ , …, x _n ) . Если каждый компонент V непрерывен, то V является непрерывным векторным полем. Обычно фокусируются на гладких векторных полях, имея в виду, что каждый компонент является гладкой функцией (дифференцируемой любое количество раз). Векторные поля можно визуализировать как назначение вектора отдельным точкам в n -мерном пространстве. ^[1]

Одной из стандартных нотаций является запись для единичных векторов в координатных направлениях. В этих терминах каждое гладкое векторное поле на открытом подмножестве может быть записано как ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

для некоторых гладких функций на . ^[2] Причина такого обозначения заключается в том, что векторное поле определяет линейное отображение из пространства гладких функций в себя, , заданное дифференцированием в направлении векторного поля. ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)}$

Пример : векторное поле описывает вращение против часовой стрелки вокруг начала координат в . Чтобы показать, что функция инвариантна относительно вращения, вычислите: ${\displaystyle -x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$

${\displaystyle {\bigg (}-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg )}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.}$

Для векторных полей V , W, определенных на S , и гладкой функции f, определенной на S , операции скалярного умножения и сложения векторов превращают гладкие векторные поля в модуль над кольцом гладких функций, где умножение функций определяется поточечно. $${\displaystyle (fV)(p):=f(p)V(p)}$$ $${\displaystyle (V+W)(p):=V(p)+W(p),}$$

Закон преобразования координат

В физике вектор дополнительно отличается тем, как изменяются его координаты при измерении того же вектора относительно другой фоновой системы координат. Свойства преобразования векторов отличают вектор как геометрически отличную сущность от простого списка скаляров или от ковектора .

Таким образом, предположим, что ( x ₁ , ..., x _n ) — это выбор декартовых координат, в терминах которых компоненты вектора V являются и предположим, что ( y ₁ ,..., y _n ) — это n функций x _{i ,} определяющих другую систему координат. Тогда компоненты вектора V в новых координатах должны удовлетворять закону преобразования $${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$$

Такой закон преобразования называется контравариантным . Похожий закон преобразования характеризует векторные поля в физике: в частности, векторное поле представляет собой спецификацию n функций в каждой системе координат, подчиняющуюся закону преобразования ( 1 ), связывающему различные системы координат.

Векторные поля, таким образом, противопоставляются скалярным полям , которые связывают число или скаляр с каждой точкой пространства, а также противопоставляются простым спискам скалярных полей, которые не преобразуются при изменении координат.

Векторные поля на многообразиях

Вектор поля на сфере

При наличии дифференцируемого многообразия векторное поле на является назначением касательного вектора каждой точке в . ^[2] Точнее, векторное поле является отображением из в касательное расслоение , так что является тождественным отображением, где обозначает проекцию из в . Другими словами, векторное поле является сечением касательного расслоения . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle p\circ F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

Альтернативное определение: Гладкое векторное поле на многообразии — это линейное отображение, такое что является выводом : для всех . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$ ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$

Если многообразие гладкое или аналитическое — то есть изменение координат гладкое (аналитическое) — то можно понять понятие гладких (аналитических) векторных полей. Совокупность всех гладких векторных полей на гладком многообразии часто обозначается как или (особенно когда думаешь о векторных полях как о сечениях ); совокупность всех гладких векторных полей также обозначается как ( фрактурой "X"). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$ ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$

Примеры

Поле потока вокруг самолета представляет собой векторное поле в R ³ , здесь визуализированное пузырьками, которые следуют линиям тока, показывая вихрь на законцовке крыла .

Векторные поля обычно используются для создания узоров в компьютерной графике . Здесь: абстрактная композиция кривых, следующих за векторным полем, созданным с помощью шума OpenSimplex .

• Вектор движения воздуха на Земле будет ассоциировать для каждой точки на поверхности Земли вектор со скоростью и направлением ветра для этой точки. Это можно нарисовать с помощью стрелок, чтобы обозначить ветер; длина ( величина ) стрелки будет показателем скорости ветра. «Высокий» на обычной карте барометрического давления будет тогда выступать в качестве источника (стрелки направлены от), а «низкий» будет стоком (стрелки направлены к), поскольку воздух имеет тенденцию перемещаться из областей высокого давления в области низкого давления.
• Поле скорости движущейся жидкости . В этом случае вектор скорости связан с каждой точкой жидкости.
• Линии тока, линии штриховки и линии траектории — это 3 типа линий, которые можно создать из векторных полей (зависящих от времени). Это:
  • линии потока: линия, образованная частицами, проходящими через определенную фиксированную точку в течение разного времени
  • линии пути: показывают путь, по которому будет двигаться данная частица (нулевой массы).
  • линии тока (или линии поля): путь частицы, на которую влияет мгновенное поле (т. е. путь частицы, если поле остается фиксированным).
• Магнитные поля . Линии поля можно обнаружить с помощью мелких железных опилок.
• Уравнения Максвелла позволяют нам использовать заданный набор начальных и граничных условий, чтобы вывести для каждой точки евклидова пространства величину и направление силы, испытываемой заряженной пробной частицей в этой точке; результирующее векторное поле является электрическим полем .
• Гравитационное поле, создаваемое любым массивным объектом, также является векторным полем. Например, векторы гравитационного поля для сферически симметричного тела будут все направлены к центру сферы, а величина векторов будет уменьшаться по мере увеличения радиального расстояния от тела.

Градиентное поле в евклидовых пространствах

Векторное поле, имеющее циркуляцию вокруг точки, не может быть записано в виде градиента функции.

Векторные поля могут быть построены из скалярных полей с использованием оператора градиента (обозначаемого del : ∇). ^[4]

Вектор V, определенный на открытом множестве S, называется градиентным полем или консервативным полем, если существует вещественная функция (скалярное поле) f на S такая, что $${\displaystyle V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$$

Сопутствующий поток называетсяградиентный поток и используется в методеградиентного спуска.

Интеграл по траектории вдоль любой замкнутой кривой γ ( γ (0) = γ (1)) в консервативном поле равен нулю: $${\displaystyle \oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$$

Центральное поле в евклидовых пространствах

C ^∞ -векторное поле над R ⁿ \ {0} называется центральным полем, если где O( n , R ) — ортогональная группа . Мы говорим, что центральные поля инвариантны относительно ортогональных преобразований вокруг 0. $${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))}$$

Точка 0 называется центром поля.

Поскольку ортогональные преобразования на самом деле являются вращениями и отражениями, условия инвариантности означают, что векторы центрального поля всегда направлены к 0 или от него; это альтернативное (и более простое) определение. Центральное поле всегда является градиентным полем, поскольку определение его на одной полуоси и интегрирование дает антиградиент.

Операции над векторными полями

Интеграл линии

Распространенным приемом в физике является интегрирование векторного поля вдоль кривой , также называемое определением его линейного интеграла . Интуитивно это суммирование всех векторных компонентов в соответствии с касательными к кривой, выраженными в виде их скалярных произведений. Например, если задана частица в силовом поле (например, гравитация), где каждый вектор в некоторой точке пространства представляет силу, действующую там на частицу, линейный интеграл по определенному пути — это работа, совершаемая над частицей, когда она движется по этому пути. Интуитивно это сумма скалярных произведений вектора силы и малого касательного вектора в каждой точке вдоль кривой.

Линейный интеграл строится аналогично интегралу Римана и существует, если кривая спрямляема (имеет конечную длину), а векторное поле непрерывно.

Для заданного векторного поля V и кривой γ , параметризованной t в [ a , b ] (где a и b — действительные числа ) , линейный интеграл определяется как $${\displaystyle \int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Для отображения топологии векторного поля можно использовать линейную интегральную свертку .

Дивергенция

Дивергенция векторного поля в евклидовом пространстве является функцией (или скалярным полем ) . В трех измерениях дивергенция определяется как $${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$$

с очевидным обобщением на произвольные измерения. Дивергенция в точке представляет собой степень, в которой малый объем вокруг точки является источником или стоком для векторного потока, результат, который уточняется теоремой о дивергенции .

Дивергенция может быть также определена на римановом многообразии , то есть многообразии с римановой метрикой , которая измеряет длину векторов.

Завиток в трех измерениях

Ротор — это операция, которая берет векторное поле и создает другое векторное поле. Ротор определяется только в трех измерениях, но некоторые свойства ротора могут быть получены в более высоких измерениях с помощью внешней производной . В трех измерениях он определяется как $${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$$

Ротор измеряет плотность углового момента векторного потока в точке, то есть величину, с которой поток циркулирует вокруг фиксированной оси. Это интуитивное описание уточняется теоремой Стокса .

Индекс векторного поля

Индекс векторного поля — это целое число, которое помогает описать его поведение вокруг изолированного нуля (т. е. изолированной сингулярности поля). На плоскости индекс принимает значение −1 в сингулярности седла, но +1 в сингулярности источника или стока.

Пусть n — размерность многообразия, на котором определено векторное поле. Возьмем замкнутую поверхность (гомеоморфную (n-1)-сфере) S вокруг нуля, так что никакие другие нули не лежат внутри S. Отображение из этой сферы на единичную сферу размерности n  − 1 можно построить, разделив каждый вектор на этой сфере на его длину, чтобы сформировать вектор единичной длины, который является точкой на единичной сфере S ^{n −1} . Это определяет непрерывное отображение из S в S ^{n −1} . Индекс векторного поля в точке является степенью этого отображения. Можно показать, что это целое число не зависит от выбора S и, следовательно, зависит только от самого векторного поля.

Индекс не определен ни в одной несингулярной точке (т. е. точке, где вектор не равен нулю). Он равен +1 вокруг источника и, в более общем случае, равен (−1)· ^k вокруг седла, имеющего k сжимающихся измерений и n − k расширяющихся измерений.

Индекс векторного поля в целом определяется, когда оно имеет лишь конечное число нулей. В этом случае все нули изолированы, а индекс векторного поля определяется как сумма индексов при всех нулях.

Для обычной (2-мерной) сферы в трехмерном пространстве можно показать, что индекс любого векторного поля на сфере должен быть равен 2. Это показывает, что каждое такое векторное поле должно иметь ноль. Это подразумевает теорему о волосатом шаре .

Для векторного поля на компактном многообразии с конечным числом нулей теорема Пуанкаре-Хопфа утверждает, что индекс векторного поля является эйлеровой характеристикой многообразия .

Физическая интуиция

Линии магнитного поля железного стержня ( магнитный диполь )

Майкл Фарадей в своей концепции силовых линий подчеркивал , что само поле должно быть объектом изучения, каковым оно и стало в физике в форме теории поля .

Помимо магнитного поля, Фарадей смоделировал и другие явления, включая электрическое поле и световое поле .

В последние десятилетия многие феноменологические формулировки необратимой динамики и эволюционных уравнений в физике, от механики сложных жидкостей и твердых тел до химической кинетики и квантовой термодинамики, сошлись к геометрической идее «наиболее крутого подъема энтропии» или «градиентного потока» как последовательной универсальной моделируемой структуры, которая гарантирует совместимость со вторым законом термодинамики и распространяет хорошо известные результаты, близкие к равновесию, такие как взаимность Онзагера, на далекую неравновесную область. ^[5]

Кривые потока

Рассмотрим поток жидкости через область пространства. В любой момент времени любая точка жидкости имеет определенную скорость, связанную с ней; таким образом, существует векторное поле, связанное с любым потоком. Обратное также верно: можно связать поток с векторным полем, имея это векторное поле в качестве своей скорости.

Если задано векторное поле на , то определяются кривые на таким образом, что для каждого из интервала , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.}$$

По теореме Пикара–Линделёфа , если является липшицево-непрерывным, то существует единственная -кривая для каждой точки в , так что для некоторого , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{x}(0)&=x\\\gamma '_{x}(t)&=V(\gamma _{x}(t))\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\subset \mathbb {R} .\end{aligned}}}$$

Кривые называются интегральными кривыми или траекториями (или реже линиями потока) векторного поля и разбиваются на классы эквивалентности . Не всегда возможно расширить интервал до всей действительной числовой прямой . Поток может, например, достичь края за конечное время. В двух или трех измерениях можно визуализировать векторное поле как порождающее поток на . Если мы бросим частицу в этот поток в точке , она будет двигаться вдоль кривой в потоке в зависимости от начальной точки . Если является стационарной точкой (т. е. векторное поле равно нулевому вектору в точке ), то частица останется в . ${\displaystyle \gamma _{x}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-\varepsilon ,+\varepsilon )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Типичными приложениями являются траектория в жидкости , геодезический поток и однопараметрические подгруппы , а также экспоненциальное отображение в группах Ли .

Полные векторные поля

По определению, векторное поле на называется полным, если каждая из его кривых потока существует для всех времен. ^[6] В частности, компактные векторные поля на многообразии являются полными. Если — полное векторное поле на , то однопараметрическая группа диффеоморфизмов , порожденная потоком вдоль , существует для всех времен; она описывается гладким отображением ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times M\to M.}$

На компактном многообразии без границы каждое гладкое векторное поле является полным. Пример неполного векторного поля на вещественной прямой дается формулой . Так как дифференциальное уравнение с начальным условием имеет своим единственным решением, если (и для всех , если ). Следовательно , для не определено при , поэтому не может быть определено для всех значений . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V(x)=x^{2}}$ ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle x(t)=0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$ ${\displaystyle t}$

Скобка Ли

Потоки, связанные с двумя векторными полями, не обязательно коммутируют друг с другом. Их некоммутативность описывается скобкой Ли двух векторных полей, которая снова является векторным полем. Скобка Ли имеет простое определение в терминах действия векторных полей на гладкие функции : ${\displaystyle f}$

${\displaystyle [X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).}$

ф-родственность

При наличии гладкой функции между многообразиями , производная является индуцированным отображением на касательных расслоениях , . При наличии векторных полей и мы говорим, что -связано с , если уравнение выполняется. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f_{*}:TM\to TN}$ ${\displaystyle V:M\to TM}$ ${\displaystyle W:N\to TN}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W\circ f=f_{*}\circ V}$

Если -связано с , , то скобка Ли -связана с . ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle [V_{1},V_{2}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [W_{1},W_{2}]}$

Обобщения

Замена векторов на p -векторы ( p -я внешняя степень векторов) дает p -векторные поля; взятие дуального пространства и внешних степеней дает дифференциальные k -формы , а их объединение дает общие тензорные поля .

Алгебраически векторные поля можно охарактеризовать как производные алгебры гладких функций на многообразии, что приводит к определению векторного поля на коммутативной алгебре как производного на алгебре, что развито в теории дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами .

Смотрите также

• Математический портал

• Формула подписи Эйзенбуда–Левина–Химшиашвили
• Линия поля
• Напряженность поля
• Градиентный поток и сбалансированный поток в атмосферной динамике
• производная Ли
• Скалярное поле
• Зависимое от времени векторное поле
• Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах
• Тензорные поля
• Наклонное поле

Ссылки

1. Гальбис, Антонио; Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления. Спрингер. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
2. Tu, Loring W. (2010). "Векторные поля". Введение в многообразия . Springer. стр. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3.
3. Лерман, Юджин (19 августа 2011 г.). «Введение в дифференциальную геометрию» (PDF) . Определение 3.23.
4. Доубер, ПГ (1987). Векторы и векторные операторы. CRC Press. стр. 29. ISBN 978-0-85274-585-4.
5. Беретта, Джан Паоло (2020-05-01). "Четвертый закон термодинамики: наискорейший подъем энтропии". Philosophical Transactions of the Royal Society A . 378 (2170): 20190168. arXiv : 1908.05768 . Bibcode :2020RSPTA.37890168B. doi :10.1098/rsta.2019.0168. ISSN  1471-2962. S2CID  201058607.
6. Шарп, Р. (1997). Дифференциальная геометрия . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.

Библиография

• Хаббард, Дж. Х .; Хаббард, Б. Б. (1999). Вектор исчисления, линейная алгебра и дифференциальные формы. Единый подход . Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.
• Уорнер, Франк (1983) [1971]. Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.
• Бутби, Уильям (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Чистая и прикладная математика, том 120 (второе изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X.

Внешние ссылки

• Онлайн-редактор векторных полей
• «Векторное поле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Векторные поля — Mathworld
• Векторные поля — PlanetMath
• 3D-просмотрщик магнитного поля
• Векторные поля и линии поля
• Моделирование векторного поля Интерактивное приложение для демонстрации эффектов векторных полей.