Теория решеточной калибровки

Theory of quantum gauge fields on a lattice

В физике решеточная калибровочная теория — это изучение калибровочных теорий в пространстве-времени , дискретизированном в решетку .

Калибровочные теории важны в физике элементарных частиц и включают в себя преобладающие теории элементарных частиц : квантовую электродинамику , квантовую хромодинамику (КХД) и Стандартную модель физики элементарных частиц . Непертурбативные вычисления калибровочной теории в непрерывном пространстве-времени формально включают оценку бесконечномерного интеграла по траектории , который является вычислительно неразрешимым. Работая над дискретным пространством-временем , интеграл по траектории становится конечномерным и может быть оценен с помощью методов стохастического моделирования, таких как метод Монте-Карло . Когда размер решетки берется бесконечно большим, а ее узлы бесконечно близкими друг к другу, восстанавливается континуальная калибровочная теория. ^[1]

Основы

В решеточной калибровочной теории пространство-время поворачивается по Вику в евклидово пространство и дискретизируется в решетку с узлами, разделенными расстоянием и соединенными связями. В наиболее часто рассматриваемых случаях, таких как решеточная КХД , фермионные поля определяются в узлах решетки (что приводит к удвоению фермионов ), в то время как калибровочные поля определяются на связях. То есть, элемент U компактной группы Ли G (не алгебры ) назначается каждому звену. Следовательно, для моделирования КХД с группой Ли SU(3) на каждом звене определяется унитарная матрица 3×3 . Звену назначается ориентация, причем обратный элемент соответствует той же связи с противоположной ориентацией. И каждому узлу дается значение в (цветной 3-вектор, пространство, на котором действует фундаментальное представление SU(3)), биспинор (4-спинор Дирака), вектор n _f и переменная Грассмана . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

Таким образом, композиция элементов SU(3) связей вдоль пути (т.е. упорядоченное умножение их матриц) приближается к упорядоченной по пути экспоненте (геометрическому интегралу), из которой можно вычислить значения цикла Вильсона для замкнутых путей.

Действие Янга-Миллса

Действие Янга–Миллса записывается на решетке с использованием петель Вильсона (названных в честь Кеннета Г. Вильсона ), так что предел формально воспроизводит исходное действие континуума. ^[1] При наличии точного неприводимого представления ρ группы G действие Янга–Миллса на решетке, известное как _{действие} Вильсона , является суммой по всем узлам решетки (действительного компонента) следа по n связям e ₁ , ..., en в петле Вильсона, ${\displaystyle a\to 0}$

${\displaystyle S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.}$

Здесь χ — это символ . Если ρ — это действительное (или псевдодействительное ) представление, то взятие действительного компонента излишне, поскольку даже если ориентация петли Вильсона меняется на противоположную, ее вклад в действие остается неизменным.

Существует множество возможных действий Уилсона, в зависимости от того, какие петли Уилсона используются в действии. Простейшее действие Уилсона использует только петлю Уилсона 1×1 и отличается от непрерывного действия «решеточными артефактами», пропорциональными малому шагу решетки . Используя более сложные петли Уилсона для построения «улучшенных действий», решеточные артефакты можно уменьшить до пропорциональных , что делает вычисления более точными. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{2}}$

Измерения и расчеты

Этот результат вычисления решеточной КХД показывает мезон , состоящий из кварка и антикварка. (По М. Кардосо и др. ^[2] )

Такие величины, как массы частиц, рассчитываются стохастически с использованием таких методов, как метод Монте-Карло . Конфигурации калибровочных полей генерируются с вероятностями, пропорциональными , где — действие решетки, а связано с шагом решетки . Интересующая величина рассчитывается для каждой конфигурации и усредняется. Расчеты часто повторяются при разных шагах решетки, так что результат можно экстраполировать на континуум, . ${\displaystyle e^{-\beta S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\to 0}$

Такие вычисления часто чрезвычайно вычислительно интенсивны и могут потребовать использования самых больших доступных суперкомпьютеров . Чтобы уменьшить вычислительную нагрузку, можно использовать так называемое приближение quenched , в котором фермионные поля рассматриваются как нединамические «замороженные» переменные. Хотя это было обычным явлением в ранних расчетах решеточной КХД, «динамические» фермионы теперь являются стандартом. ^[3] Эти симуляции обычно используют алгоритмы, основанные на молекулярной динамике или алгоритмах микроканонического ансамбля . ^{[4] [5]}

Результаты вычислений решеточной КХД показывают, например, что в мезоне важны не только частицы (кварки и антикварки), но и « трубки потока » глюонных полей. ^{[ необходима цитата ]}

Квантовая тривиальность

Решеточная калибровочная теория также важна для изучения квантовой тривиальности группой ренормализации реального пространства . ^[6] Наиболее важной информацией в потоке РГ являются так называемые неподвижные точки .

Возможные макроскопические состояния системы в больших масштабах задаются этим набором фиксированных точек. Если эти фиксированные точки соответствуют теории свободного поля, то говорят, что теория тривиальна или невзаимодействующая. Многочисленные фиксированные точки появляются при изучении теорий решеточного Хиггса, но природа квантовых теорий поля, связанных с ними, остается открытым вопросом. ^[7]

Тривиальность еще не доказана строго, но решеточные вычисления предоставили веские доказательства этого ^{[ требуется ссылка ]} . Этот факт важен, поскольку квантовая тривиальность может быть использована для ограничения или даже предсказания параметров, таких как масса бозона Хиггса . Решеточные вычисления были полезны в этом контексте. ^[8]

Другие приложения

Первоначально решаемые двумерные решеточные калибровочные теории были введены в 1971 году как модели с интересными статистическими свойствами теоретиком Францем Вегнером , работавшим в области фазовых переходов . ^[9]

Когда в действии появляются только петли Вильсона 1×1, можно показать, что теория решеточной калибровки в точности дуальна моделям спиновой пены . ^[10]

Смотрите также

• Гамильтонова решеточная калибровочная теория
• Теория решетчатого поля
• Решётка КХД
• Квантовая тривиальность
• действие Уилсона

Ссылки

1. Wilson, K. (1974). "Удержание кварков". Physical Review D. 10 ( 8): 2445. Bibcode :1974PhRvD..10.2445W. doi :10.1103/PhysRevD.10.2445.
2. Кардозо, М.; Кардозо, Н.; Бикудо, П. (2010-02-03). "Расчет цветовых полей на решетке с помощью КХД для статической гибридной системы кварк-глюон-антикварк и микроскопическое исследование масштабирования Казимира". Physical Review D. 81 ( 3): 034504. arXiv : 0912.3181 . Bibcode : 2010PhRvD..81c4504C. doi : 10.1103/physrevd.81.034504. ISSN  1550-7998. S2CID  119216789.
3. А. Базавов и др. (2010). «Непертурбативные симуляции КХД с 2+1 ароматами улучшенных ступенчатых кварков». Reviews of Modern Physics . 82 (2): 1349–1417. arXiv : 0903.3598 . Bibcode : 2010RvMP...82.1349B. doi : 10.1103/RevModPhys.82.1349. S2CID  119259340.
4. Дэвид Дж. Э. Каллауэй и Анисур Рахман (1982). «Микроканоническая ансамблевая формулировка теории решеточной калибровки». Physical Review Letters . 49 (9): 613–616. Bibcode : 1982PhRvL..49..613C. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.613.
5. Дэвид Дж. Э. Каллауэй и Анисур Рахман (1983). «Теория решеточной калибровки в микроканоническом ансамбле» (PDF) . Physical Review . D28 (6): 1506–1514. Bibcode : 1983PhRvD..28.1506C. doi : 10.1103/PhysRevD.28.1506.
6. Уилсон, Кеннет Г. (1975-10-01). «Группа перенормировки: критические явления и проблема Кондо». Reviews of Modern Physics . 47 (4). Американское физическое общество (APS): 773–840. Bibcode : 1975RvMP...47..773W. doi : 10.1103/revmodphys.47.773. ISSN  0034-6861.
7. DJE Callaway (1988). «Погоня за тривиальностью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Physics Reports . 167 (5): 241–320. Bibcode : 1988PhR...167..241C. doi : 10.1016/0370-1573(88)90008-7.
8. Например, Callaway, DJE; Petronzio, R. (1987). «Предсказуема ли масса Хиггса стандартной модели?». Nuclear Physics B. 292 : 497–526. Bibcode : 1987NuPhB.292..497C. doi : 10.1016/0550-3213(87)90657-2.Хеллер, Урс; Маркус Кломфасс; Герберт Нойбергер; Паволс Вранас (1993-09-20). "Численный анализ тривиальности границы массы Хиггса". Nuclear Physics B . 405 (2–3): 555–573. arXiv : hep-ph/9303215 . Bibcode :1993NuPhB.405..555H. doi :10.1016/0550-3213(93)90559-8. S2CID  7146602., что предполагает M _H < 710 ГэВ .
9. F. Wegner, "Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter", J. Math. Phys. 12 (1971) 2259-2272. Перепечатано в Claudio Rebbi (ред.), Lattice Gauge Theories and Monte-Carlo-Simulations , World Scientific, Singapore (1983), стр. 60-73. Аннотация
10. R. Oeckl; H. Pfeiffer (2001). "Двойственная к чистой неабелевой решеточной калибровочной теории теория как модель спиновой пены". Nuclear Physics B . 598 (1–2): 400–426. arXiv : hep-th/0008095 . Bibcode :2001NuPhB.598..400O. doi :10.1016/S0550-3213(00)00770-7. S2CID  3606117.

Дальнейшее чтение

• Крейтц, М., Кварки, глюоны и решетки , Cambridge University Press, Кембридж, (1985). ISBN 978-0521315357 
• Монтвей, И., Мюнстер, Г., Квантовые поля на решетке , Cambridge University Press, Кембридж, (1997). ISBN 978-0521599177 
• Макеенко, Ю., Методы современной калибровочной теории , Cambridge University Press, Кембридж, (2002). ISBN 0-521-80911-8 . 
• Смит, Дж. , Введение в квантовые поля на решетке , Cambridge University Press, Кембридж, (2002). ISBN 978-0521890519 
• Роте, Х., Теории решеточной калибровки, Введение , World Scientific, Сингапур, (2005). ISBN 978-9814365857 
• ДеГранд, Т., ДеТар, К., Решеточные методы для квантовой хромодинамики , World Scientific, Сингапур, (2006). ISBN 978-9812567277 
• Гаттингер, К., Ланг, К.Б., Квантовая хромодинамика на решетке , Springer, (2010). ISBN 978-3642018497 
• Кнехтли, Ф., Гюнтер, М., Пирдон, М., Решеточная квантовая хромодинамика: Практические основы , Springer, (2016). ISBN 978-9402409970 
• Weisz Peter, Majumdar Pushan (2012). "Теории решеточной калибровки". Scholarpedia . 7 (4): 8615. Bibcode :2012SchpJ...7.8615W. doi : 10.4249/scholarpedia.8615 .

Внешние ссылки

• Библиотека FermiQCD для теории решеточного поля
• Библиотеки программного обеспечения квантовой хромодинамики решетки США