действие Уилсона

Действие теории решеточной калибровки

В решеточной теории поля действие Вильсона является дискретной формулировкой действия Янга–Миллса , образуя основу решеточной калибровочной теории . Вместо использования калибровочных полей со значениями алгебры Ли в качестве фундаментальных параметров теории используются групповые поля связей, которые соответствуют наименьшим линиям Вильсона на решетке . В современных симуляциях чистой калибровочной теории действие обычно модифицируется путем введения операторов более высокого порядка посредством улучшения Симанзика, что значительно уменьшает ошибки дискретизации. Действие было введено Кеннетом Вильсоном в его основополагающей статье 1974 года ^[1] , положившей начало изучению решеточной теории поля.

Ссылки и плакетки

Решеточная калибровочная теория формулируется в терминах элементов компактной калибровочной группы, а не в терминах калибровочных полей со значениями алгебры Ли , где — генераторы группы . Линия Вильсона, описывающая параллельный перенос элементов группы Ли через пространство-время вдоль пути , определяется в терминах калибровочного поля как ${\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$ ${\displaystyle T^{a}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle W[x,y]={\mathcal {P}}e^{i\int _{C}A_{\mu }dx^{\mu }},}$

где — оператор упорядочения путей . Дискретизируя пространство-время как решетку с точками, индексированными вектором , калибровочное поле принимает значения только в этих точках . Для первого порядка в шаге решетки наименьшие возможные линии Вильсона, те, что между двумя соседними точками, известны как связи ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{\mu }(n)}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle U_{\mu }(n)=W[n,n+{\hat {\mu }}]+{\mathcal {O}}(a),}$

где — единичный вектор в направлении. Поскольку в первом порядке оператор упорядочения путей выпадает, связь связана с дискретизированным калибровочным полем как . Они являются фундаментальными переменными калибровочной теории решеточной калибровочной теории, с мерой интеграла по путям (математикой) по связям, заданной мерой Хаара в каждой точке решетки. ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U_{\mu }(n)=e^{iaA_{\mu }(n)}}$

Работая в некотором представлении калибровочной группы, связи являются матрично- значными и ориентированными . Связи противоположной ориентации определяются так, что произведение связи от до со связью в противоположном направлении равно тождеству, что в случае калибровочных групп означает, что . При калибровочном преобразовании связь преобразуется так же, как линия Вильсона ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+{\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle U_{-\mu }(n)=U_{\mu }(n-{\hat {\mu }})^{\dagger }}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle U_{\mu }(n)\rightarrow \Omega (n)U_{\mu }(n)\Omega (n+{\hat {\mu }})^{\dagger }.}$

Наименьшая нетривиальная петля полей связей на решетке известна как плакетка , образованная четырьмя связями вокруг квадрата в плоскости [ ^3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=U_{\mu }(n)U_{\nu }(n+{\hat {\mu }})U_{\mu }(n+{\hat {\nu }})^{\dagger }U_{\nu }(n)^{\dagger }.}$

След плакетки — это калибровочно-инвариантная величина, аналогичная петле Вильсона в континууме . Используя формулу БЧХ и выражение калибровочного поля решетки для переменной связи, плакетку можно записать в низшем порядке по шагу решетки в терминах дискретизированного тензора напряженности поля

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=e^{ia^{2}F_{\mu \nu }(n)+{\mathcal {O}}(a^{3})}.}$

Действие решетчатого калибра

Изменяя масштаб калибровочного поля с помощью калибровочной связи и работая в представлении с индексом , определяемым через , действие Янга–Миллса в континууме можно переписать как ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\text{tr}}[T^{a}T^{b}]=\rho \delta ^{ab}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2g^{2}\rho }}\int d^{4}x\ {\text{tr}}[F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }],}$

где тензор напряженности поля имеет значение алгебры Ли . Поскольку плакеты связывают переменные связи с дискретизированным тензором напряженности поля, это позволяет построить решеточную версию действия Янга–Миллса с их использованием. Это действие Вильсона, заданное в терминах суммы по всем плакетам одной ориентации на решетке ^[4] ${\displaystyle F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^{a}T^{a}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{g^{2}\rho }}\sum _{n}\sum _{\mu <\nu }{\text{Re}}\ {\text{tr}}[1-U_{\mu \nu }(n)].}$

Он сводится к дискретизированному действию Янга–Миллса с артефактами решетки, появляющимися в порядке . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$

Это действие далеко не уникально. ^[5] Действие решеточной калибровки может быть построено из любой дискретизированной петли Вильсона. Пока петли соответствующим образом усреднены по ориентациям и трансляциям в пространстве-времени, чтобы дать начало правильным симметриям , действие будет уменьшаться обратно до результата континуума. Преимущество использования плакетов заключается в его простоте и в том, что действие хорошо подходит для программ улучшения, используемых для уменьшения артефактов решетки.

Улучшение Symanzik

Ошибки действия Вильсона можно уменьшить с помощью усовершенствования Symanzik, при котором к действию добавляются дополнительные операторы более высокого порядка для отмены этих артефактов решетки. Существует много операторов более высокого порядка, которые можно добавить к действию Вильсона, соответствующих различным петлям связей. Для калибровочных теорий действие Люшера–Вайса использует прямоугольники и параллелограммы, образованные связями вокруг куба ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle 2\times 1}$ ${\displaystyle U_{rt}}$ ${\displaystyle U_{pg}}$

${\displaystyle S[U]={\frac {\beta }{N}}\sum _{pl}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{\mu \nu })+{\frac {\beta _{rt}}{N}}\sum _{rt}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{rt})+{\frac {\beta _{pg}}{N}}\sum _{pg}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{pg}),}$

где — константа обратной связи, а и — коэффициенты, настроенные для минимизации артефактов решетки. ${\displaystyle \beta =2N/g^{2}}$ ${\displaystyle \beta _{rt}}$ ${\displaystyle \beta _{pg}}$

Значение двух префакторов можно вычислить либо с помощью действия для моделирования известных результатов и настройки параметров для минимизации ошибок, либо вычислив их с помощью теории возмущений , улучшенной с помощью головастика . Для случая калибровочной теории последний метод дает ^{[7] [8]} ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$

${\displaystyle \beta _{rt}=-{\frac {\beta _{pl}}{20u_{0}^{2}}}(1+0.4805\alpha _{s}),\ \ \ \ \ \ \ \ \beta _{pg}=-{\frac {\beta }{u_{0}^{2}}}0.03325\alpha _{s},}$

где — значение средней связи, — постоянная тонкой структуры квантовой хромодинамики ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle u_{0}={\big (}{\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu }\rangle {\big )}^{1/4},\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha _{s}=-{\frac {\ln({\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu })}{3.06839}}.}$

Ссылки

1. Wilson, KG (1974). «Удержание кварков». Phys. Rev. D. 10 ( 8): 2445–2459. Bibcode : 1974PhRvD..10.2445W. doi : 10.1103/PhysRevD.10.2445. Архивировано из оригинала 2022-01-13.
2. Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "2". Квантовая хромодинамика на решетке: Вводная презентация . Lecture Notes in Physics 788. Springer. стр. 33–39. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
3. Шварц, MD (2014). "25". Квантовая теория поля и стандартная модель . Cambridge University Press. стр. 503–505. ISBN 9781107034730.
4. Смит, Ян (2002). "4". Введение в квантовое поле на решетке . Cambridge Lecture Notes in Physics. Кембридж: Cambridge University Press. стр. 90–95. doi :10.1017/CBO9780511583971. ISBN 9780511583971.
5. Тонг, Д. (2018), "4", Lecture Notes on Gauge Theory , стр. 204–207, архивировано из оригинала 2022-05-07 , извлечено 2022-06-05
6. Люшер, М.; Вайс, П. (1985). «Улучшенные решеточные калибровочные теории на оболочке». Communications in Mathematical Physics . 97 (1): 59–77. Bibcode : 1985CMaPh..97...59L. doi : 10.1007/BF01206178. S2CID  189831578. Архивировано из оригинала 2022-06-05.
7. Alford, MG; et al. (1995). "Решеточная КХД на малых компьютерах". Phys. Lett. B . 361 (1–4): 87–94. arXiv : hep-lat/9507010 . Bibcode :1995PhLB..361...87A. doi :10.1016/0370-2693(95)01131-9. S2CID  2309344.
8. Gattringer, C.; Hoffmann, R.; Roland, S. (2002). «Установка шкалы для действия Люшера-Вайса». Phys. Rev. D. 65 ( 9): 094503. arXiv : hep-lat/0112024 . Bibcode : 2002PhRvD..65i4503G. doi : 10.1103/PhysRevD.65.094503. S2CID  11055902.