Вращение фитиля

В физике вращение Вика , названное в честь итальянского физика Джан Карло Вика , представляет собой метод нахождения решения математической задачи в пространстве Минковского из решения связанной задачи в евклидовом пространстве с помощью преобразования, которое заменяет мнимую числовую переменную на действительную.

Вращения Вика полезны из-за аналогии между двумя важными, но, казалось бы, разными областями физики: статистической механикой и квантовой механикой . В этой аналогии обратная температура играет в статистической механике роль, формально родственную мнимому времени в квантовой механике: то есть, $it$ , где $t$ — время, а $i$ — мнимая единица ( $i 2 = -1$ ).

Точнее, в статистической механике мера Гиббса $exp(- H / k B T)$ описывает относительную вероятность того, что система будет находиться в любом заданном состоянии при температуре $T$ , где $H$ — функция, описывающая энергию каждого состояния, а $k B$ — постоянная Больцмана . В квантовой механике преобразование $exp(- itH / ħ)$ описывает эволюцию во времени, где $H$ — оператор, описывающий энергию ( гамильтониан ), а $ħ$ — приведенная постоянная Планка . Первое выражение напоминает второе, когда мы заменяем $его / ħ$ на $1/ k B T$ , и эта замена называется вращением Вика. ^[1]

Вращение Вика называется вращением, потому что когда мы представляем комплексные числа в виде плоскости , умножение комплексного числа на мнимую единицу эквивалентно вращению против часовой стрелки вектора, представляющего это число, на угол величиной $π /2$ вокруг начала координат. ^[2]

Обзор

Вращение Вика мотивировано наблюдением, что метрика Минковского в натуральных единицах (с метрической сигнатурой $(- + + +)$ )

ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

и четырехмерная евклидова метрика

ds^{2}=d\tau^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

эквивалентны, если разрешить координате $t$ принимать мнимые значения. Метрика Минковского становится евклидовой, когда $t$ ограничивается мнимой осью , и наоборот. Взяв задачу, выраженную в пространстве Минковского с координатами $x$ , $y$ , $z$ , $t$ , и подставив $t = - iτ,$ иногда получаем задачу в действительных евклидовых координатах $x$ , $y$ , $z$ , $τ,$ которую легче решить. Это решение может затем, при обратной подстановке, дать решение исходной задачи.

Статистическая и квантовая механика

Вращение Вика связывает статистическую механику с квантовой механикой , заменяя обратную температуру мнимым временем или , точнее, заменяя $1/ k B T$ на $it / ħ$ , где $T$ — температура, $k B$ — постоянная Больцмана , $t$ — время, а $ħ$ — приведенная постоянная Планка .

Например, рассмотрим квантовую систему, гамильтониан $которой$ имеет собственные значения $E j$ . Когда эта система находится в тепловом равновесии при температуре $T$ , вероятность нахождения ее в $j$ -ом собственном энергетическом состоянии пропорциональна $exp(- E j / k B T)$ . Таким образом, ожидаемое значение любой наблюдаемой $Q$ , которая коммутирует с гамильтонианом, равно, с точностью до нормирующей константы,

\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}},

где $j$ пробегает все собственные энергетические состояния, а $Q j$ — значение $Q$ в $j$ -м собственном состоянии.

В качестве альтернативы рассмотрим эту систему в суперпозиции энергетических собственных состояний , эволюционирующих в течение времени $t$ под действием гамильтониана $H.$ После времени $t$ относительное изменение фазы $j$ -го собственного состояния равно $exp(- E j it / ħ)$ . Таким образом, амплитуда вероятности того, что равномерная (равновзвешенная) суперпозиция состояний

|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle

эволюционирует в произвольную суперпозицию

|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle

с точностью до нормировочной константы

\left\langle Q\left|e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}\right|\psi \right\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}.

Обратите внимание, что эту формулу можно получить из формулы теплового равновесия, заменив $1$ $/ k B T$ на $/$ $ħ$ .

Статика и динамика

Вращение фитиля связывает задачи статики в $n$ измерениях с задачами динамики в $n - 1$ измерениях, обменивая одно измерение пространства на одно измерение времени. Простой пример, где $n = 2,$ — это висящая пружина с фиксированными концами в гравитационном поле. Форма пружины — кривая $y (x)$ . Пружина находится в равновесии, когда энергия, связанная с этой кривой, находится в критической точке (экстремуме); эта критическая точка обычно является минимумом, поэтому эту идею обычно называют «принципом наименьшей энергии». Чтобы вычислить энергию, мы интегрируем пространственную плотность энергии по пространству:

E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V{\big (}y(x){\big )}\right]dx,

где $k$ — константа пружины, а $V (y (x))$ — гравитационный потенциал.

Соответствующая динамическая задача — это задача камня, брошенного вверх. Путь, по которому следует камень, — это тот, который экстремумизирует действие ; как и прежде, этот экстремум обычно является минимумом, поэтому это называется « принципом наименьшего действия ». Действие — это временной интеграл Лагранжиана :

S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V{\big (}y(t){\big )}\right]dt.

Решение задачи динамики (с точностью до множителя $i$ ) получаем из задачи статики путем вращения Вика, заменяя $y (x)$ на $y (it),$ а жесткость пружины $k$ на массу породы $m$ :

iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dt}}\right)^{2}+V{\big (}y(it){\big )}\right]dt=i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(it)}{dit}}\right)^{2}-V{\big (}y(it){\big )}\right]d(it).

Как тепловые/квантовые, так и статические/динамические

Взятые вместе, предыдущие два примера показывают, как формулировка интеграла по траектории квантовой механики связана со статистической механикой. Из статистической механики, форма каждой пружины в наборе при температуре $T$ будет отклоняться от формы с наименьшей энергией из-за тепловых флуктуаций; вероятность найти пружину с заданной формой уменьшается экспоненциально с разницей энергии от формы с наименьшей энергией. Аналогично, квантовая частица, движущаяся в потенциале, может быть описана суперпозицией траекторий, каждая из которых имеет фазу $exp(iS)$ : тепловые изменения формы по всему набору превратились в квантовую неопределенность на пути квантовой частицы.

Дополнительные подробности

Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности также связаны вращением Вика.

Вращение Вика также связывает квантовую теорию поля при конечной обратной температуре $β$ со статистико-механической моделью над "трубкой" $R 3 \times S 1$ с мнимой временной координатой $τ$ , периодической с периодом $β$ . Однако есть небольшое различие. Статистико-механические $n$ -точечные функции удовлетворяют положительности, тогда как квантовые теории поля с вращением Вика удовлетворяют положительности отражения . ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]}

Однако следует отметить, что вращение Вика нельзя рассматривать как вращение в комплексном векторном пространстве, снабженном обычной нормой и метрикой, индуцированными скалярным произведением , поскольку в этом случае вращение будет отменено и не будет иметь никакого эффекта.

Строгое доказательство

Дирк Шлингеманн доказал, что более строгую связь между евклидовой и квантовой теорией поля можно построить с помощью аксиом Остервальдера–Шрадера . ^[3]

Смотрите также

Ссылки

^ Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Princeton University Press. стр. 289. ISBN 978-1-4008-3532-4.
^ Ланкастер, Том; Бланделл, Стивен Дж. (2014-04-17), «Статистическая теория поля», Квантовая теория поля для одаренных любителей , Oxford University Press, стр. 228–229 , получено 12 ноября 2023 г.
^ Шлингеманн, Дирк (1999). «От евклидовой теории поля к квантовой теории поля». Обзоры по математической физике . 11 (9): 1151–78. arXiv : hep-th/9802035 . Bibcode :1999RvMaP..11.1151S. doi :10.1142/S0129055X99000362. ISSN 0129-055X. S2CID 9851483.

Wick, GC (1954). «Свойства волновых функций Бете–Солпитера». Physical Review . 96 (4): 1124–1134. Bibcode : 1954PhRv...96.1124W. doi : 10.1103/PhysRev.96.1124.

Внешние ссылки

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с вращением Вика .

Пружина во мнимом времени – рабочий лист по механике Лагранжа, иллюстрирующий, как замена длины на мнимое время превращает параболу висящей пружины в перевернутую параболу брошенной частицы.
Евклидова гравитация – краткая заметка Рэя Стритера о программе «Евклидова гравитация».