Функция Швингера

Распределения Евклида-Уайтмана

В квантовой теории поля распределения Вайтмана могут быть аналитически продолжены до аналитических функций в евклидовом пространстве с областью определения, ограниченной упорядоченным множеством точек в евклидовом пространстве без совпадающих точек. ^[1] Эти функции называются функциями Швингера (названы в честь Джулиана Швингера ), и они являются вещественно-аналитическими, симметричными относительно перестановки аргументов (антисимметричными для фермионных полей ), евклидово ковариантными и удовлетворяют свойству, известному как положительность отражения . Свойства функций Швингера известны как аксиомы Остервальдера–Шрадера (названы в честь Конрада Остервальдера и Роберта Шрадера ). ^[2] Функции Швингера также называются евклидовыми корреляционными функциями .

Аксиомы Остервальдера–Шредера

Здесь мы описываем аксиомы Остервальдера–Шрадера (ОС) для евклидовой квантовой теории поля эрмитова скалярного поля , . Отметим, что типичная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много локальных операторов, включая также составные операторы, и их корреляторы также должны удовлетворять аксиомам ОС, аналогичным описанным ниже. ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Функции Швингера обозначаются как ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv \langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\rangle ,\quad x_{k}\in \mathbb {R} ^{d}.}$

Аксиомы ОС из ^[2] пронумерованы (E0)-(E4) и имеют следующее значение:

• (E0) Умеренность
• (E1) Евклидова ковариация
• (E2) Позитивность
• (E3) Симметрия
• (E4) Кластерное свойство

Умеренность

Аксиома темперированности (E0) гласит, что функции Швингера являются темперированными распределениями вдали от совпадающих точек. Это означает, что их можно интегрировать с тестовыми функциями Шварца , которые исчезают со всеми их производными в конфигурациях, где совпадают две или более точек. Из этой аксиомы и других аксиом ОС (но не из условия линейного роста) можно показать, что функции Швингера на самом деле являются вещественно-аналитическими вдали от совпадающих точек.

Евклидова ковариация

Аксиома ковариантности Евклида (E1) гласит, что функции Швингера преобразуются ковариантно при вращениях и переносах, а именно:

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(Rx_{1}+b,\ldots ,Rx_{n}+b)}$

для произвольной матрицы вращения и произвольного вектора трансляции . Аксиомы ОС могут быть сформулированы для функций Швингера полей, преобразующихся в произвольных представлениях группы вращения. ^{[2] [3]} ${\displaystyle R\in SO(d)}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{d}}$

Симметрия

Аксиома симметрии (E3) гласит, что функции Швингера инвариантны относительно перестановок точек:

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(x_{\pi (1)},\ldots ,x_{\pi (n)})}$,

где — произвольная перестановка . Функции Швингера фермионных полей, напротив, антисимметричны; для них это уравнение будет иметь знак ±, равный сигнатуре перестановки. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

Кластерное свойство

Свойство кластера (E4) гласит, что функция Швингера сводится к произведению , если две группы точек отделены друг от друга большим постоянным сдвигом: ${\displaystyle S_{p+q}}$ ${\displaystyle S_{p}S_{q}}$

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }S_{p+q}(x_{1},\ldots ,x_{p},x_{p+1}+b,\ldots ,x_{p+q}+b)=S_{p}(x_{1},\ldots ,x_{p})S_{q}(x_{p+1},\ldots ,x_{p+q})}$.

Предел понимается в смысле распределений. Также есть техническое предположение, что две группы точек лежат по обе стороны гиперплоскости , а вектор параллелен ей: ${\displaystyle x^{0}=0}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x_{1}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}>0,\quad x_{p+1}^{0},\ldots ,x_{p+q}^{0}<0,\quad b^{0}=0.}$

Отражение позитива

Аксиомы положительности (E2) утверждают следующее свойство, называемое (Остервальдера–Шрадера) положительностью отражения. Выберите любую произвольную координату τ и выберите тестовую функцию f _N с N точками в качестве ее аргументов. Предположим, что f _N имеет свой носитель в «упорядоченном по времени» подмножестве из N точек с 0 < τ ₁ < ... < τ _N . Выберите одну такую ​​f _N для каждого положительного N , причем f равны нулю для всех N, больших некоторого целого числа M . Для данной точки , пусть будет отраженной точкой относительно гиперплоскости τ = 0 . Тогда, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\theta }}$

${\displaystyle \sum _{m,n}\int d^{d}x_{1}\cdots d^{d}x_{m}\,d^{d}y_{1}\cdots d^{d}y_{n}S_{m+n}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})f_{m}(x_{1}^{\theta },\dots ,x_{m}^{\theta })^{*}f_{n}(y_{1},\dots ,y_{n})\geq 0}$

где * представляет комплексное сопряжение .

Иногда в литературе по теоретической физике положительность отражения формулируется как требование, чтобы функция Швингера произвольного четного порядка была неотрицательной, если точки вставлены симметрично относительно гиперплоскости : ${\displaystyle \tau =0}$

${\displaystyle S_{2n}(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n}^{\theta },\dots ,x_{1}^{\theta })\geq 0}$.

Это свойство действительно следует из положительности отражения, но оно слабее, чем положительность полного отражения.

Интуитивное понимание

Один из способов (формального) построения функций Швингера, удовлетворяющих указанным выше свойствам, — через евклидов интеграл по траектории . В частности, евклидовы интегралы по траектории (формально) удовлетворяют положительности отражения. Пусть F — любой полиномиальный функционал поля φ , который зависит только от значения φ ( x ) для тех точек x, чьи координаты τ неотрицательны. Тогда

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi F[\phi (x)]F[\phi (x^{\theta })]^{*}e^{-S[\phi ]}=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\int _{\phi _{+}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{+}F[\phi _{+}]e^{-S_{+}[\phi _{+}]}\int _{\phi _{-}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{-}F[(\phi _{-})^{\theta }]^{*}e^{-S_{-}[\phi _{-}]}.}$

Поскольку действие S является действительным и может быть разделено на , которое зависит только от φ на положительном полупространстве ( ), и которое зависит только от φ на отрицательном полупространстве ( ), и если S также оказывается инвариантным относительно совместного действия отражения и комплексного сопряжения всех полей, то предыдущая величина должна быть неотрицательной. ${\displaystyle S_{+}}$ ${\displaystyle \phi _{+}}$ ${\displaystyle S_{-}}$ ${\displaystyle \phi _{-}}$

Теорема Остервальдера – Шредера

Теорема Остервальдера –Шрадера ^[4] утверждает, что евклидовы функции Швингера, удовлетворяющие приведенным выше аксиомам (E0)–(E4) и дополнительному свойству (E0'), называемому условием линейного роста , могут быть аналитически продолжены до лоренцевских распределений Вайтмана, которые удовлетворяют аксиомам Вайтмана и, таким образом, определяют квантовую теорию поля .

Условие линейного роста

Это условие, называемое (E0') в ^[4], утверждает, что когда функция Швингера порядка спаривается с произвольной тестовой функцией Шварца , которая обращается в нуль в совпадающих точках, мы имеем следующую границу: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle |S_{n}(f)|\leq \sigma _{n}|f|_{C\cdot n},}$

где — целая константа, — полунорма пространства Шварца порядка , т.е. ${\displaystyle C\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle |f|_{C\cdot n}}$ ${\displaystyle N=C\cdot n}$

${\displaystyle |f|_{N}=\sup _{|\alpha |\leq N,x\in \mathbb {R} ^{d}}|(1+|x|)^{N}D^{\alpha }f(x)|,}$

и последовательность констант факториального роста , т.е. с некоторыми константами . ${\displaystyle \sigma _{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{n}\leq A(n!)^{B}}$ ${\displaystyle A,B}$

Условие линейного роста является тонким, поскольку оно должно быть выполнено для всех функций Швингера одновременно. Оно также не было выведено из аксиом Вайтмана , так что система аксиом ОС (E0)-(E4) плюс условие линейного роста (E0') представляется более сильной, чем аксиомы Вайтмана .

История

Сначала Остервальдер и Шрадер заявили более сильную теорему о том, что аксиомы (E0)-(E4) сами по себе подразумевают аксиомы Вайтмана , ^[2] однако их доказательство содержало ошибку, которую нельзя было исправить без добавления дополнительных предположений. Два года спустя они опубликовали новую теорему с условием линейного роста, добавленным в качестве предположения, и правильным доказательством. ^[4] Новое доказательство основано на сложном индуктивном аргументе (предложенном также Владимиром Глазером ), ^[5] с помощью которого область аналитичности функций Швингера постепенно расширяется в сторону пространства Минковского, а распределения Вайтмана восстанавливаются как предел. Условие линейного роста (E0') критически используется для того, чтобы показать, что предел существует и является умеренным распределением.

В статье Остервальдера и Шрадера также содержится еще одна теорема, заменяющая (E0') еще одним предположением, называемым . ^[4] Эта другая теорема используется редко, поскольку ее трудно проверить на практике. ^[3] ${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$ ${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$

Другие аксиомы для функций Швингера

Аксиомы Глимма и Джаффе

Альтернативный подход к аксиоматизации евклидовых корреляторов описан Глиммом и Джаффе в их книге. ^[6] В этом подходе предполагается, что дана мера на пространстве распределений . Затем рассматривается производящий функционал ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle S(f)=\int e^{\phi (f)}d\mu ,\quad f\in D(\mathbb {R} ^{d})}$

который, как предполагается, удовлетворяет свойствам OS0-OS4:

• (OS0) Аналитичность. Это утверждает, что

${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto S\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}f_{i}\right)}$

является полностью аналитической функцией для любого набора компактно поддерживаемых тестовых функций . Интуитивно это означает, что мера затухает быстрее, чем любая экспонента. ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle d\mu }$

• (OS1) Регулярность . Это требует ограничения роста в терминах , например . Точное условие см. в ^{[6] .} ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |S(f)|\leq \exp \left(C\int d^{d}x|f(x)|\right)}$
• (OS2) Евклидова инвариантность. Это означает, что функционал инвариантен относительно евклидовых преобразований . ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f(x)\mapsto f(Rx+b)}$
• (OS3) Положительность отражения. Возьмем конечную последовательность тестовых функций , которые все поддерживаются в верхнем полупространстве, т.е. в . Обозначим через , где — операция отражения, определенная выше. Эта аксиома гласит, что матрица должна быть положительно полуопределенной. ${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle x^{0}>0}$ ${\displaystyle \theta f_{i}(x)=f_{i}(\theta x)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle M_{ij}=S(f_{i}+\theta f_{j})}$
• (OS4) Эргодичность. Полугруппа временного сдвига действует эргодически на пространстве мер . Точное условие см. в ^{[6] .} ${\displaystyle (D'(\mathbb {R} ^{d}),d\mu )}$

Связь с аксиомами Остервальдера – Шредера.

Хотя вышеуказанные аксиомы были названы Глиммом и Джаффе (OS0)-(OS4) в честь Остервальдера и Шредера, они не эквивалентны аксиомам Остервальдера–Шредера.

Учитывая (OS0)-(OS4), можно определить функции Швингера как моменты меры и показать, что эти моменты удовлетворяют аксиомам Остервальдера–Шрадера (E0)-(E4), а также условиям линейного роста (E0'). Затем можно обратиться к теореме Остервальдера–Шрадера, чтобы показать, что функции Вайтмана являются умеренными распределениями. В качестве альтернативы, и гораздо проще, можно вывести аксиомы Вайтмана непосредственно из (OS0)-(OS4). ^[6] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d\mu }$

Однако следует отметить, что полная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много других локальных операторов помимо , таких как , и других составных операторов, построенных из и его производных. Нелегко извлечь эти функции Швингера из меры и показать, что они удовлетворяют аксиомам ОС, как это и должно быть. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{2}}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d\mu }$

Подводя итог, можно сказать, что аксиомы, называемые Глиммом и Джаффе (OS0)-(OS4), сильнее аксиом ОС в том, что касается корреляторов поля , но слабее полного набора аксиом ОС, поскольку они мало что говорят о корреляторах составных операторов. ${\displaystyle \phi }$

Аксиомы Нельсона

Эти аксиомы были предложены Эдвардом Нельсоном . ^[7] См. также их описание в книге Барри Саймона. ^[8] Как и в приведенных выше аксиомах Глимма и Джаффе, предполагается, что поле является случайным распределением с мерой . Эта мера достаточно регулярна, так что поле имеет регулярность пространства Соболева отрицательного производного порядка. Важнейшей особенностью этих аксиом является рассмотрение поля, ограниченного поверхностью. Одной из аксиом является свойство Маркова , которое формализует интуитивное представление о том, что состояние поля внутри замкнутой поверхности зависит только от состояния поля на поверхности. ${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \phi }$

Смотрите также

• Вращение фитиля
• Аксиоматическая квантовая теория поля
• Аксиомы Уайтмана

Ссылки

1. Стритер, Р. Ф.; Уайтман, А. С. (2000). PCT, спин и статистика, и все такое . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07062-9. OCLC  953694720.
2. Остервальдер, К. и Шрадер, Р.: «Аксиомы для евклидовых функций Грина», Comm. Math. Phys. 31 (1973), 83–112; 42 (1975), 281–305.
3. Кравчук, Петр; Цяо, Цзясинь; Рычков, Слава (2021-04-05). "Распределения в CFT II. Пространство Минковского". arXiv : 2104.02090v1 .
4. Остервальдер, Конрад; Шрадер, Роберт (1975). «Аксиомы для евклидовых функций Грина II». Сообщения по математической физике . 42 (3). Springer Science and Business Media LLC: 281–305. doi :10.1007/bf01608978. ISSN  0010-3616. S2CID  119389461.
5. Glaser, V. (1974). «Об эквивалентности евклидовой и уайтмановской формулировок теории поля». Communications in Mathematical Physics . 37 (4). Springer Science and Business Media LLC: 257–272. doi :10.1007/bf01645941. ISSN  0010-3616. S2CID  121257568.
6. Глимм, Джеймс; Джаффе, Артур (1987). Квантовая физика: функциональная интегральная точка зрения . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9. OCLC  852790676.
7. Нельсон, Эдвард (1 января 1973 г.). «Построение квантовых полей из полей Маркова». Журнал функционального анализа . 12 (1): 97–112. doi : 10.1016/0022-1236(73)90091-8 . ISSN  0022-1236.
8. Саймон, Барри (1974). P(phi)_2 Евклидова (квантовая) теория поля . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-08144-1. OCLC  905864308.