Квантовая теория поля

В теоретической физике квантовая теория поля ( КТП ) представляет собой теоретическую структуру, объединяющую классическую теорию поля , специальную теорию относительности и квантовую механику . ^[1]^{: xi} КТП используется в физике элементарных частиц для построения физических моделей субатомных частиц и в физике конденсированного состояния для построения моделей квазичастиц . Текущая стандартная модель физики элементарных частиц основана на квантовой теории поля.

QFT рассматривает частицы как возбужденные состояния (также называемые квантовыми уровнями) их базовых квантовых полей , которые являются более фундаментальными, чем частицы. Уравнение движения частицы определяется минимизацией действия, вычисленного для лагранжиана , функции полей, связанных с частицей. Взаимодействия между частицами описываются членами взаимодействия в лагранжиане, включающими их соответствующие квантовые поля. Каждое взаимодействие может быть визуально представлено диаграммой Фейнмана согласно теории возмущений в квантовой механике .

История

Квантовая теория поля возникла из работы поколений физиков-теоретиков, охватывающей большую часть 20-го века. Ее развитие началось в 1920-х годах с описания взаимодействий между светом и электронами , достигнув кульминации в первой квантовой теории поля — квантовой электродинамике . Вскоре последовало серьезное теоретическое препятствие с появлением и сохранением различных бесконечностей в пертурбативных вычислениях, проблема, решенная только в 1950-х годах с изобретением процедуры перенормировки . Вторым серьезным препятствием стала очевидная неспособность КТП описывать слабые и сильные взаимодействия , до такой степени, что некоторые теоретики призвали отказаться от подхода теории поля. Развитие калибровочной теории и завершение Стандартной модели в 1970-х годах привели к возрождению квантовой теории поля.

Теоретическая основа

Линии магнитного поля, визуализированные с помощью железных опилок . Если посыпать лист бумаги железными опилками и поместить его над стержневым магнитом, опилки выстроятся в соответствии с направлением магнитного поля, образуя дуги, позволяющие наблюдателям четко видеть полюса магнита и видеть создаваемое магнитное поле.

Квантовая теория поля является результатом объединения классической теории поля , квантовой механики и специальной теории относительности . ^[1]^{: xi} Далее следует краткий обзор этих теоретических предшественников.

Самая ранняя успешная классическая теория поля возникла из закона всемирного тяготения Ньютона , несмотря на полное отсутствие концепции полей в его трактате 1687 года Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Сила гравитации, описанная Исааком Ньютоном, является « действием на расстоянии » — ее воздействие на удаленные объекты мгновенно, независимо от расстояния. Однако в обмене письмами с Ричардом Бентли Ньютон заявил, что «немыслимо, чтобы неодушевленная грубая материя могла без посредничества чего-то еще, что не является материальным, воздействовать на другую материю и влиять на нее без взаимного контакта». ^[2]^{: 4} Только в 18 веке физики-математики открыли удобное описание гравитации, основанное на полях — числовой величине ( в случае гравитационного поля — векторе ), приписанной каждой точке пространства, указывающей действие гравитации на любую частицу в этой точке. Однако это считалось просто математическим трюком. ^[3]^{: 18}

Поля начали обретать собственное существование с развитием электромагнетизма в 19 веке. Майкл Фарадей ввел английский термин «поле» в 1845 году. Он представил поля как свойства пространства (даже когда оно лишено материи), имеющие физические эффекты. Он выступал против «действия на расстоянии» и предполагал, что взаимодействие между объектами происходит посредством заполняющих пространство «силовых линий». Это описание полей сохраняется и по сей день. ^[2]^[4]^{: 301}^[5]^{: 2}

Теория классического электромагнетизма была завершена в 1864 году уравнениями Максвелла , которые описывали связь между электрическим полем , магнитным полем , электрическим током и электрическим зарядом . Уравнения Максвелла подразумевали существование электромагнитных волн , явления, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной точки пространства в другую с конечной скоростью, которая оказывается скоростью света . Таким образом, действие на расстоянии было окончательно опровергнуто. ^[2]^{: 19}

Несмотря на огромный успех классического электромагнетизма, он не смог объяснить ни дискретные линии в атомных спектрах , ни распределение излучения черного тела на разных длинах волн. ^{[6] Изучение} Максом Планком излучения черного тела ознаменовало начало квантовой механики. Он рассматривал атомы, которые поглощают и испускают электромагнитное излучение , как крошечные осцилляторы с решающим свойством, что их энергия может принимать только ряд дискретных, а не непрерывных значений. Они известны как квантовые гармонические осцилляторы . Этот процесс ограничения энергии дискретными значениями называется квантованием. ^[7]^{: Гл.2} Основываясь на этой идее, Альберт Эйнштейн в 1905 году предложил объяснение фотоэлектрического эффекта , что свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых фотонами (квантами света). Это означало, что электромагнитное излучение, будучи волнами в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц. ^[6]

В 1913 году Нильс Бор представил модель атомной структуры Бора , в которой электроны внутри атомов могут принимать только ряд дискретных, а не непрерывных энергий. Это еще один пример квантования. Модель Бора успешно объяснила дискретную природу атомных спектральных линий. В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу дуализма волны и корпуса , согласно которой микроскопические частицы проявляют как волновые, так и корпускулярные свойства при различных обстоятельствах. ^[6] Объединив эти разрозненные идеи, между 1925 и 1926 годами была сформулирована последовательная дисциплина — квантовая механика , при этом важный вклад внесли Макс Планк , Луи де Бройль , Вернер Гейзенберг , Макс Борн , Эрвин Шредингер , Поль Дирак и Вольфганг Паули . ^[3]^{: 22–23}

В том же году, когда была опубликована его статья о фотоэлектрическом эффекте, Эйнштейн опубликовал свою теорию специальной теории относительности , основанную на электромагнетизме Максвелла. Были даны новые правила, называемые преобразованиями Лоренца , для описания того, как изменяются временные и пространственные координаты события при изменении скорости наблюдателя, и различие между временем и пространством было размыто. ^[3]^{: 19} Было высказано предположение, что все физические законы должны быть одинаковыми для наблюдателей с разными скоростями, т. е. что физические законы должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Оставалось две трудности. С точки зрения наблюдений, уравнение Шредингера , лежащее в основе квантовой механики, могло объяснить вынужденное излучение излучения атомами, когда электрон испускает новый фотон под действием внешнего электромагнитного поля, но оно не могло объяснить спонтанное излучение , когда электрон спонтанно уменьшается в энергии и испускает фотон даже без воздействия внешнего электромагнитного поля. Теоретически, уравнение Шредингера не могло описывать фотоны и не соответствовало принципам специальной теории относительности — оно трактует время как обычное число, при этом переводя пространственные координаты в линейные операторы . ^[6]

Квантовая электродинамика

Квантовая теория поля естественным образом началась с изучения электромагнитных взаимодействий, поскольку электромагнитное поле было единственным известным классическим полем в 1920-х годах. ^[8]^{: 1}

Благодаря работам Борна, Гейзенберга и Паскуаля Джордана в 1925–1926 годах была разработана квантовая теория свободного электромагнитного поля (поля, не взаимодействующего с материей) посредством канонического квантования , рассматривающего электромагнитное поле как набор квантовых гармонических осцилляторов . ^[8]^{: 1} Однако, исключая взаимодействия, такая теория все еще не могла делать количественные предсказания относительно реального мира. ^[3]^{: 22}

В своей основополагающей статье 1927 года «Квантовая теория испускания и поглощения излучения » Дирак ввел термин «квантовая электродинамика» (КЭД), теорию, которая добавляет к терминам, описывающим свободное электромагнитное поле, дополнительный член взаимодействия между плотностью электрического тока и электромагнитным векторным потенциалом . Используя теорию возмущений первого порядка , он успешно объяснил явление спонтанного излучения. Согласно принципу неопределенности в квантовой механике, квантовые гармонические осцилляторы не могут оставаться неподвижными, но они имеют ненулевую минимальную энергию и всегда должны колебаться, даже в состоянии с наименьшей энергией ( основном состоянии ). Поэтому даже в идеальном вакууме остается осциллирующее электромагнитное поле, имеющее нулевую энергию . Именно эта квантовая флуктуация электромагнитных полей в вакууме «стимулирует» спонтанное излучение излучения электронами в атомах. Теория Дирака была чрезвычайно успешной в объяснении как излучения, так и поглощения излучения атомами; применяя теорию возмущений второго порядка, она смогла объяснить рассеяние фотонов, резонансную флуоресценцию и нерелятивистское комптоновское рассеяние . Тем не менее, применение теории возмущений более высокого порядка было сопряжено с проблемными бесконечностями в расчетах. ^[6]^{: 71}

В 1928 году Дирак записал волновое уравнение , описывающее релятивистские электроны: уравнение Дирака . Оно имело следующие важные следствия: спин электрона равен 1/2; g -фактор электрона равен 2; оно привело к правильной формуле Зоммерфельда для тонкой структуры атома водорода ; и его можно было использовать для вывода формулы Клейна–Нишины для релятивистского комптоновского рассеяния. Хотя результаты были плодотворными, теория также, по-видимому, подразумевала существование состояний с отрицательной энергией, которые могли бы привести к нестабильности атомов, поскольку они всегда могли бы распасться на состояния с более низкой энергией путем испускания излучения. ^[6]^{: 71–72}

В то время преобладало мнение, что мир состоит из двух совершенно разных ингредиентов: материальных частиц (таких как электроны) и квантовых полей (таких как фотоны). Материальные частицы считались вечными, а их физическое состояние описывалось вероятностями нахождения каждой частицы в любой заданной области пространства или диапазоне скоростей. С другой стороны, фотоны считались просто возбужденными состояниями лежащего в их основе квантованного электромагнитного поля и могли свободно создаваться или уничтожаться. Между 1928 и 1930 годами Джордан, Юджин Вигнер , Гейзенберг, Паули и Энрико Ферми обнаружили, что материальные частицы также можно рассматривать как возбужденные состояния квантовых полей. Так же, как фотоны являются возбужденными состояниями квантованного электромагнитного поля, так и каждый тип частиц имел свое соответствующее квантовое поле: электронное поле, протонное поле и т. д. При наличии достаточной энергии теперь стало возможным создание материальных частиц. Основываясь на этой идее, Ферми в 1932 году предложил объяснение бета-распада, известное как взаимодействие Ферми . Атомные ядра не содержат электронов как таковых , но в процессе распада электрон создается из окружающего электронного поля, аналогично фотону, создаваемому из окружающего электромагнитного поля при радиационном распаде возбужденного атома. ^[3]^{: 22–23}

В 1929 году Дирак и другие поняли, что отрицательные энергетические состояния, подразумеваемые уравнением Дирака, можно устранить, предположив существование частиц с той же массой, что и электроны, но противоположным электрическим зарядом. Это не только обеспечило стабильность атомов, но и было первым предположением о существовании антиматерии . Действительно, доказательства существования позитронов были обнаружены в 1932 году Карлом Дэвидом Андерсоном в космических лучах . При достаточном количестве энергии, например, при поглощении фотона, может быть создана пара электрон-позитрон, процесс, называемый рождением пар ; обратный процесс, аннигиляция, также может происходить с испусканием фотона. Это показало, что число частиц не обязательно должно быть фиксированным во время взаимодействия. Однако исторически позитроны сначала считались «дырками» в бесконечном электронном море, а не новым типом частиц, и эта теория называлась теорией дырок Дирака . ^[6]^{: 72}^[3]^{: 23} КТП естественным образом включила античастицы в свой формализм. ^[3]^{: 24}

Бесконечности и перенормировка

Роберт Оппенгеймер показал в 1930 году, что пертурбативные вычисления высшего порядка в КЭД всегда приводили к бесконечным величинам, таким как собственная энергия электрона и энергия нулевой точки вакуума электронных и фотонных полей, ^[6] предполагая, что вычислительные методы того времени не могли должным образом обрабатывать взаимодействия, включающие фотоны с чрезвычайно высокими импульсами. ^[3]^{: 25} Только спустя 20 лет был разработан систематический подход к устранению таких бесконечностей.

В период с 1934 по 1938 год Эрнст Штюкельберг опубликовал ряд статей, в которых была установлена релятивистски инвариантная формулировка КТП. В 1947 году Штюкельберг также независимо разработал полную процедуру перенормировки. Такие достижения не были поняты и признаны теоретическим сообществом. ^[6]

Столкнувшись с этими бесконечностями, Джон Арчибальд Уилер и Гейзенберг предложили в 1937 и 1943 годах соответственно заменить проблемную КТП так называемой теорией S-матрицы . Поскольку конкретные детали микроскопических взаимодействий недоступны для наблюдений, теория должна была только попытаться описать отношения между небольшим числом наблюдаемых ( например, энергия атома) во взаимодействии, а не заниматься микроскопическими подробностями взаимодействия. В 1945 году Ричард Фейнман и Уилер смело предложили полностью отказаться от КТП и предложили действие на расстоянии в качестве механизма взаимодействия частиц. ^[3]^{: 26}

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Резерфорд измерили мельчайшую разницу в уровнях энергии ²S _1/2 и ²P _1/2 атома водорода, также называемую сдвигом Лэмба . Игнорируя вклад фотонов, энергия которых превышает массу электрона, Ганс Бете успешно оценил численное значение сдвига Лэмба. ^[6]^[3]^{: 28} Впоследствии Норман Майлз Кролл , Лэмб, Джеймс Брюс Френч и Виктор Вайскопф снова подтвердили это значение, используя подход, в котором бесконечности отменяли другие бесконечностей, чтобы получить конечные величины. Однако этот метод был неуклюжим и ненадежным и не мог быть обобщен на другие вычисления. ^[6]

Прорыв в конечном итоге произошел около 1950 года, когда Джулиан Швингер , Ричард Фейнман , Фримен Дайсон и Шиничиро Томонага разработали более надежный метод устранения бесконечностей . Основная идея заключается в замене вычисленных значений массы и заряда, хотя они могут быть бесконечными, их конечными измеренными значениями. Эта систематическая вычислительная процедура известна как перенормировка и может применяться к произвольному порядку в теории возмущений. ^[6] Как сказал Томонага в своей Нобелевской лекции:

Поскольку те части измененной массы и заряда, которые возникли из-за полевых реакций, [становятся бесконечными], их невозможно вычислить с помощью теории. Однако масса и заряд, наблюдаемые в экспериментах, не являются исходными массой и зарядом, а массой и зарядом, измененными полевыми реакциями, и они конечны. С другой стороны, масса и заряд, появляющиеся в теории, являются… значениями, измененными полевыми реакциями. Поскольку это так, и особенно поскольку теория неспособна вычислить измененную массу и заряд, мы можем принять процедуру феноменологической замены их экспериментальными значениями... Эта процедура называется перенормировкой массы и заряда... После долгих, трудоемких вычислений, менее искусных, чем у Швингера, мы получили результат... который согласуется с [американцами]. ^[9]

Применив процедуру перенормировки, наконец, были сделаны расчеты, объясняющие аномальный магнитный момент электрона (отклонение g -фактора электрона от 2) и поляризацию вакуума . Эти результаты в значительной степени согласуются с экспериментальными измерениями, тем самым ознаменовав конец «войны против бесконечностей». ^[6]

В то же время Фейнман ввел формулировку интеграла по траектории квантовой механики и диаграммы Фейнмана . ^[8]^{: 2} Последние можно использовать для визуальной и интуитивной организации и для помощи в вычислении членов возмущенного разложения. Каждая диаграмма может быть интерпретирована как пути частиц во взаимодействии, причем каждая вершина и линия имеют соответствующее математическое выражение, а произведение этих выражений дает амплитуду рассеяния взаимодействия, представленного диаграммой. ^[1]^{: 5}

Именно с изобретением процедуры перенормировки и диаграмм Фейнмана КТП, наконец, возникла как полная теоретическая структура. ^[8]^{: 2}

Неперенормируемость

Учитывая колоссальный успех QED, многие теоретики в течение нескольких лет после 1949 года считали, что QFT вскоре сможет обеспечить понимание всех микроскопических явлений, а не только взаимодействий между фотонами, электронами и позитронами. Вопреки этому оптимизму, QFT вступила в очередной период депрессии, который длился почти два десятилетия. ^[3]^{: 30}

Первым препятствием была ограниченная применимость процедуры перенормировки. В пертурбативных вычислениях в КЭД все бесконечные величины могли быть устранены путем переопределения небольшого (конечного) числа физических величин (а именно массы и заряда электрона). Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для небольшого класса теорий, называемых «перенормируемыми теориями», примером которых является КЭД. Однако большинство теорий, включая теорию Ферми слабого взаимодействия , являются «неперенормируемыми». Любое пертурбативное вычисление в этих теориях за пределами первого порядка привело бы к бесконечностям, которые нельзя было бы устранить путем переопределения конечного числа физических величин. ^[3]^{: 30}

Вторая серьезная проблема возникла из-за ограниченной применимости метода диаграммы Фейнмана, который основан на разложении ряда в теории возмущений. Для того чтобы ряд сходился и вычисления низкого порядка были хорошим приближением, константа связи , в которой разлагается ряд, должна быть достаточно малым числом. Константа связи в КЭД является константой тонкой структуры $α \approx 1/137$ , которая достаточно мала, чтобы в реалистичных расчетах нужно было рассматривать только самые простые диаграммы Фейнмана самого низкого порядка. Напротив, константа связи в сильном взаимодействии примерно порядка единицы, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка такими же важными, как и простые. Таким образом, не было способа получить надежные количественные предсказания для сильного взаимодействия с использованием методов пертурбативной КТП. ^[3]^{: 31}

С этими надвигающимися трудностями многие теоретики начали отворачиваться от КТП. Некоторые сосредоточились на принципах симметрии и законах сохранения , в то время как другие подхватили старую теорию S-матрицы Уиллера и Гейзенберга. КТП использовалась эвристически как руководящие принципы, но не как основа для количественных расчетов. ^[3]^{: 31}

Теория источника

Однако Швингер пошел другим путем. Более десяти лет он и его студенты были почти единственными сторонниками теории поля ^[10] , но в 1951 году ^[11]^[12] он нашел способ обойти проблему бесконечностей с помощью нового метода, используя внешние источники в качестве токов, связанных с калибровочными полями. ^[13] Мотивированный предыдущими открытиями, Швингер продолжал следовать этому подходу, чтобы «квантово» обобщить классический процесс связывания внешних сил с параметрами конфигурационного пространства, известными как множители Лагранжа. Он обобщил свою теорию источников в 1966 году ^[14], затем расширил приложения теории к квантовой электродинамике в своем трехтомном сборнике под названием: Частицы, источники и поля. ^[15]^[16]^[17] Развитие физики пионов, в которой новая точка зрения была применена наиболее успешно, убедило его в больших преимуществах математической простоты и концептуальной ясности, которые давало ее использование. ^[15]

В теории источников нет расходимостей и перенормировок. Ее можно рассматривать как вычислительный инструмент теории поля, но она более общая. ^[18] Используя теорию источников, Швингер смог вычислить аномальный магнитный момент электрона, что он и сделал в 1947 году, но на этот раз без «отвлекающих замечаний» о бесконечных величинах. ^[19]

Швингер также применил теорию источника к своей теории гравитации QFT и смог воспроизвести все четыре классических результата Эйнштейна: гравитационное красное смещение, отклонение и замедление света гравитацией и прецессию перигелия Меркурия. ^[20] Пренебрежение теорией источника со стороны физического сообщества стало для Швингера большим разочарованием:

Недостаток признания этих фактов другими был удручающим, но понятным. - Й. Швингер ^[15]

См. « инцидент с обувью » между Дж. Швингером и С. Вайнбергом . ^[21]

Стандартная модель

В 1954 году Ян Чен-Нин и Роберт Миллс обобщили локальную симметрию КЭД, что привело к неабелевым калибровочным теориям (также известным как теории Янга–Миллса), которые основаны на более сложных локальных группах симметрии . ^[22]^{: 5} В КЭД (электрически) заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, тогда как в неабелевой калибровочной теории частицы, несущие новый тип « заряда », взаимодействуют посредством обмена безмассовыми калибровочными бозонами . В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд. ^[3]^{: 32}^[23]

Шелдон Глэшоу разработал неабелеву калибровочную теорию, которая объединила электромагнитные и слабые взаимодействия в 1960 году. В 1964 году Абдус Салам и Джон Клайв Уорд пришли к той же теории другим путем. Эта теория, тем не менее, была неперенормируемой. ^[24]

Питер Хиггс , Роберт Браут , Франсуа Энглер , Джеральд Гуральник , Карл Хаген и Том Киббл в своих знаменитых статьях в Physical Review Letters предположили , что калибровочная симметрия в теориях Янга–Миллса может быть нарушена механизмом, называемым спонтанным нарушением симметрии , посредством которого изначально безмассовые калибровочные бозоны могут приобретать массу. ^[22]^{: 5–6}

Объединив более раннюю теорию Глэшоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, Стивен Вайнберг в 1967 году записал теорию, описывающую электрослабые взаимодействия между всеми лептонами и эффекты бозона Хиггса . Его теория сначала в основном игнорировалась, ^[24]^[22]^{: 6} пока она не была возвращена на свет в 1971 году доказательством Джерарда 'т Хоофта того, что неабелевы калибровочные теории перенормируемы. Электрослабая теория Вайнберга и Салама была расширена с лептонов на кварки в 1970 году Глэшоу, Джоном Илиопулосом и Лучано Майани , что ознаменовало ее завершение. ^[24]

Харальд Фрицш , Мюррей Гелл-Манн и Генрих Лейтвайлер в 1971 году обнаружили, что некоторые явления, связанные с сильным взаимодействием , также могут быть объяснены неабелевой калибровочной теорией. Так родилась квантовая хромодинамика (КХД). В 1973 году Дэвид Гросс , Фрэнк Вильчек и Хью Дэвид Политцер показали, что неабелевы калибровочные теории являются « асимптотически свободными », что означает, что при перенормировке константа связи сильного взаимодействия уменьшается с увеличением энергии взаимодействия. (Подобные открытия были сделаны много раз ранее, но они в значительной степени игнорировались.) ^[22]^{: 11} Следовательно, по крайней мере во взаимодействиях при высоких энергиях, константа связи в КХД становится достаточно малой, чтобы гарантировать разложение в ряд возмущений, что делает возможными количественные предсказания для сильного взаимодействия. ^[3]^{: 32}

Эти теоретические прорывы привели к возрождению КТП. Полная теория, включающая в себя электрослабую теорию и хромодинамику, сегодня называется Стандартной моделью элементарных частиц. ^[25] Стандартная модель успешно описывает все фундаментальные взаимодействия, за исключением гравитации , и ее многочисленные предсказания получили замечательное экспериментальное подтверждение в последующие десятилетия. ^[8]^{: 3} Бозон Хиггса , центральный в механизме спонтанного нарушения симметрии, был наконец обнаружен в 2012 году в ЦЕРНе , что ознаменовало полную проверку существования всех составляющих Стандартной модели. ^[26]

Другие разработки

В 1970-х годах появились непертурбативные методы в неабелевых калибровочных теориях. Монополь 'т Хоофта–Полякова был теоретически открыт 'т Хоофтом и Александром Поляковым , трубки потока — Хольгером Бехом Нильсеном и Полем Олесеном, а инстантоны — Поляковым и соавторами. Эти объекты недоступны через теорию возмущений. ^[8]^{: 4}

Суперсимметрия также появилась в тот же период. Первая суперсимметричная КТП в четырех измерениях была построена Юрием Гольфандом и Евгением Лихтманом в 1970 году, но их результат не привлек широкого внимания из-за железного занавеса . Суперсимметрия появилась в теоретическом сообществе только после работы Юлиуса Весса и Бруно Зумино в 1973 году. ^[8]^{: 7}

Среди четырех фундаментальных взаимодействий гравитация остается единственным, которому не хватает последовательного описания квантовой теории поля. Различные попытки теории квантовой гравитации привели к развитию теории струн , ^[8]^{: 6} сама по себе является типом двумерной квантовой теории поля с конформной симметрией . ^[27] Джоэл Шерк и Джон Шварц впервые предположили в 1974 году, что теория струн может быть квантовой теорией гравитации. ^[28]

Физика конденсированного состояния

Хотя квантовая теория поля возникла в результате изучения взаимодействий между элементарными частицами, она успешно применялась и к другим физическим системам, в частности к многочастичным системам в физике конденсированного состояния .

Исторически механизм Хиггса спонтанного нарушения симметрии был результатом применения Ёитиро Намбу теории сверхпроводимости к элементарным частицам, в то время как концепция перенормировки возникла из изучения фазовых переходов второго рода в веществе. ^[29]

Вскоре после введения фотонов Эйнштейн выполнил процедуру квантования колебаний в кристалле, что привело к первой квазичастице — фононам . Лев Ландау утверждал, что низкоэнергетические возбуждения во многих системах конденсированных сред могут быть описаны в терминах взаимодействий между набором квазичастиц. Метод диаграмм Фейнмана КТП естественным образом хорошо подходил для анализа различных явлений в системах конденсированных сред. ^[30]

Калибровочная теория используется для описания квантования магнитного потока в сверхпроводниках, сопротивления в квантовом эффекте Холла , а также соотношения между частотой и напряжением в эффекте Джозефсона переменного тока . ^[30]

Принципы

Для простоты в следующих разделах используются естественные единицы измерения , в которых приведенная постоянная Планка $ħ$ и скорость света $c$ приняты равными единице.

Классические поля

Классическое поле является функцией пространственных и временных координат. ^[31] Примерами служат гравитационное поле в ньютоновской гравитации $g (x, t)$ и электрическое поле $E (x, t)$ и магнитное поле $B (x, t)$ в классическом электромагнетизме . Классическое поле можно рассматривать как численную величину, назначенную каждой точке пространства, которая изменяется со временем. Следовательно, оно имеет бесконечно много степеней свободы . ^[31]^[32]

Многие явления, демонстрирующие квантово-механические свойства, не могут быть объяснены только классическими полями. Такие явления, как фотоэлектрический эффект, лучше всего объясняются дискретными частицами ( фотонами ), а не пространственно непрерывным полем. Цель квантовой теории поля — описать различные квантово-механические явления с помощью модифицированной концепции полей.

Каноническое квантование и интегралы по траекториям являются двумя распространенными формулировками КТП. ^[33]^{: 61} Чтобы мотивировать основы КТП, ниже приведен обзор классической теории поля.

Простейшее классическое поле — это действительное скалярное поле — действительное число в каждой точке пространства, которое изменяется со временем. Оно обозначается как $ϕ (x, t)$ , где $x$ — радиус-вектор, а $t$ — время. Предположим, что лагранжиан поля, , равен $L$

L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],

где — плотность лагранжиана, — производная поля по времени, $\nabla$ — оператор градиента, а $m$ — действительный параметр («масса» поля). Применяем уравнение Эйлера–Лагранжа к лагранжиану: ^[1]^{: 16} ${\mathcal {L}}$ ${\dot {\phi }}$

{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,

получаем уравнения движения поля, описывающие его изменение во времени и пространстве:

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.

Это известно как уравнение Клейна–Гордона . ^[1]^{: 17}

Уравнение Клейна–Гордона является волновым уравнением , поэтому его решения можно выразить в виде суммы нормальных мод (полученных с помощью преобразования Фурье ) следующим образом:

\phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),

где $a$ — комплексное число (нормализованное по соглашению), $*$ обозначает комплексное сопряжение , а $ω p$ — частота нормальной моды:

\omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.

Таким образом, каждая нормальная мода, соответствующая одному $p,$ может рассматриваться как классический гармонический осциллятор с частотой $ω p$ . ^[1]^{: 21,26}

Каноническое квантование

Процедура квантования для вышеуказанного классического поля в поле квантового оператора аналогична преобразованию классического гармонического осциллятора в квантовый гармонический осциллятор .

Смещение классического гармонического осциллятора описывается уравнением

x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},

где $a$ — комплексное число (нормализованное по соглашению), а $ω$ — частота осциллятора. Обратите внимание, что $x$ — это смещение частицы в простом гармоническом движении из положения равновесия, не путать с пространственной меткой $x$ квантового поля.

Для квантового гармонического осциллятора $x (t)$ преобразуется в линейный оператор : ${\hat {x}}(t)$

{\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.

Комплексные числа $a$ и $a *$ заменяются на оператор уничтожения и оператор рождения соответственно, где $†$ обозначает эрмитово сопряжение . Коммутационное соотношение между ними имеет вид ${\hat {a}}$ ${\hat {a}}^{\dagger }$

\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.

Гамильтониан простого гармонического осциллятора можно записать как

{\hat {H}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega .

Состояние вакуума , которое является состоянием с наименьшей энергией, определяется как $|0\rangle$

{\hat {a}}|0\rangle =0

и имеет энергию Можно легко проверить, что подразумевает, что увеличивает энергию простого гармонического осциллятора на . Например, состояние является собственным состоянием энергии . Любое собственное состояние энергии одного гармонического осциллятора может быть получено из путем последовательного применения оператора создания : ^[1]^{: 20} и любое состояние системы может быть выражено как линейная комбинация состояний ${\frac {1}{2}}\hbar \omega .$ $[{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger },$ ${\hat {a}}^{\dagger }$ $\hbar \omega$ ${\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle$ $3\hbar \omega /2$ $|0\rangle$ ${\hat {a}}^{\dagger }$

|n\rangle \propto \left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle .

Аналогичную процедуру можно применить к реальному скалярному полю $ϕ$ , преобразуя его в оператор квантового поля , в то время как оператор уничтожения , оператор рождения и угловая частота теперь имеют вид для конкретного $p$ : ${\hat {\phi }}$ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }$ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ $\omega _{\mathbf {p} }$

{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).

Их коммутационные соотношения следующие: ^[1]^{: 21}

\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=0,

где $δ$ — дельта-функция Дирака . Состояние вакуума определяется как $|0\rangle$

{\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{for all }}\mathbf {p} .

Любое квантовое состояние поля может быть получено путем последовательного применения операторов рождения (или линейной комбинации таких состояний), например ^[1]^{: 22} $|0\rangle$ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$

\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger }\right)^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger }\right)^{2}|0\rangle .

В то время как пространство состояний одного квантового гармонического осциллятора содержит все дискретные энергетические состояния одной колеблющейся частицы, пространство состояний квантового поля содержит дискретные энергетические уровни произвольного числа частиц. Последнее пространство известно как пространство Фока , что может объяснить тот факт, что числа частиц не фиксированы в релятивистских квантовых системах. ^[34] Процесс квантования произвольного числа частиц вместо одной частицы часто также называют вторичным квантованием . ^[1]^{: 19}

Вышеуказанная процедура является прямым применением нерелятивистской квантовой механики и может быть использована для квантования (комплексных) скалярных полей, полей Дирака , ^[1]^{: 52} векторных полей ( например, электромагнитного поля) и даже струн . ^[35] Однако операторы рождения и уничтожения хорошо определены только в простейших теориях, которые не содержат взаимодействий (так называемая свободная теория). В случае реального скалярного поля существование этих операторов было следствием разложения решений классических уравнений движения в сумму нормальных мод. Для выполнения вычислений по любой реалистичной взаимодействующей теории необходима теория возмущений .

Лагранжиан любого квантового поля в природе будет содержать члены взаимодействия в дополнение к свободным членам теории. Например, член взаимодействия четвертой степени может быть введен в лагранжиан реального скалярного поля: ^[1]^{: 77}

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )\left(\partial ^{\mu }\phi \right)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},

где $μ$ — индекс пространства-времени, и т.д. Суммирование по индексу $μ$ опущено в соответствии с обозначениями Эйнштейна . Если параметр $λ$ достаточно мал, то взаимодействующая теория, описываемая приведенным выше лагранжианом, может рассматриваться как малое возмущение свободной теории. $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$

Интегралы по траектории

Формулировка интеграла по траектории QFT связана с прямым вычислением амплитуды рассеяния определенного процесса взаимодействия, а не с установлением операторов и пространств состояний. Чтобы вычислить амплитуду вероятности для системы, чтобы эволюционировать из некоторого начального состояния в момент времени $t$ $= 0$ в некоторое конечное состояние в момент $времени t$ $=$ $T$ , общее время $T$ делится на $N$ небольших интервалов. Общая амплитуда является произведением амплитуды эволюции в пределах каждого интервала, интегрированной по всем промежуточным состояниям. Пусть $H$ будет гамильтонианом ( т.е. генератором эволюции во времени ), тогда ^[33]^{: 10} $|\phi _{I}\rangle$ $|\phi _{F}\rangle$

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .

Принимая предел $N \to \infty$ , указанное выше произведение интегралов становится интегралом Фейнмана по траектории: ^[1]^{: 282}^[33]^{: 12}

\langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},

где $L$ — лагранжиан, включающий $ϕ$ и его производные по пространственным и временным координатам, полученный из гамильтониана $H$ с помощью преобразования Лежандра . Начальные и конечные условия интеграла по траектории соответственно

\phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.

Другими словами, общая амплитуда представляет собой сумму амплитуд всех возможных путей между начальным и конечным состояниями, где амплитуда пути задается экспонентой в подынтегральном выражении.

Двухточечная корреляционная функция

В расчетах часто встречаются выражения типа в свободной или взаимодействующей теории соответственно. Здесь и — позиционные четыре-векторы , — оператор упорядочения времени , который перетасовывает свои операнды так, что временные компоненты и увеличиваются справа налево, а — основное состояние (вакуумное состояние) взаимодействующей теории, отличное от свободного основного состояния . Это выражение представляет амплитуду вероятности распространения поля от $y$ до $x$ и имеет несколько названий, например, двухточечный пропагатор , двухточечная корреляционная функция , двухточечная функция Грина или двухточечная функция для краткости. ^[1]^{: 82} $\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{or}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle$ $x$ $y$ $T$ $x^{0}$ $y^{0}$ $|\Omega \rangle$ $|0\rangle$

Свободная двухточечная функция, также известная как пропагатор Фейнмана , может быть найдена для действительного скалярного поля либо с помощью канонического квантования, либо с помощью интегралов по траекториям и равна ^[1]^{: 31,288}^[33]^{: 23}

\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.

В теории взаимодействия, где лагранжиан или гамильтониан содержит члены или описывающие взаимодействия, двухточечную функцию определить сложнее. Однако, как с помощью канонической формулировки квантования, так и с помощью формулировки интеграла по траектории, ее можно выразить через бесконечный ряд возмущений свободной двухточечной функции. $L_{I}(t)$ $H_{I}(t)$

В каноническом квантовании двухточечная корреляционная функция может быть записана как: ^[1]^{: 87}

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},

где $ε$ — бесконечно малое число, а $ϕ I$ — оператор поля в свободной теории. Здесь экспоненту следует понимать как ее разложение в степенной ряд . Например, в -теории взаимодействующий член гамильтониана равен , ^[1]^{: 84} и разложение двухточечного коррелятора в терминах становится Это разложение возмущения выражает взаимодействующую двухточечную функцию в терминах величин , которые оцениваются в свободной теории. $\phi ^{4}$ ${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$ $\lambda$ $\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.$ $\langle 0|\cdots |0\rangle$

В формулировке интеграла по траектории двухточечная корреляционная функция может быть записана ^[1]^{: 284}

\langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},

где — плотность Лагранжа. Как и в предыдущем абзаце, экспоненту можно разложить в ряд по $λ$ , сводя взаимодействующую двухточечную функцию к величинам в свободной теории. ${\mathcal {L}}$

Теорема Вика далее сводит любую $n$ -точечную корреляционную функцию в свободной теории к сумме произведений двухточечных корреляционных функций. Например,

{\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}

Поскольку взаимодействующие корреляционные функции могут быть выражены через свободные корреляционные функции, для вычисления всех физических величин в (пертурбативной) взаимодействующей теории необходимо оценивать только последние. ^[1]^{: 90} Это делает пропагатор Фейнмана одной из важнейших величин в квантовой теории поля.

Диаграмма Фейнмана

Корреляционные функции во взаимодействующей теории можно записать в виде ряда возмущений. Каждый член ряда является произведением пропагаторов Фейнмана в свободной теории и может быть визуально представлен диаграммой Фейнмана . Например, член $λ 1$ в двухточечной корреляционной функции в теории $ϕ 4$ равен

{\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .

После применения теоремы Вика один из членов имеет вид

12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z).

Этот термин можно получить из диаграммы Фейнмана

Диаграмма состоит из

внешние вершины , соединенные одним ребром и обозначенные точками (здесь обозначены и ). $x$ $y$
внутренние вершины , соединенные четырьмя ребрами и обозначенные точками (здесь обозначены ). $z$
ребра, соединяющие вершины и представленные линиями.

Каждая вершина соответствует одному фактору поля в соответствующей точке пространства-времени, в то время как ребра соответствуют пропагаторам между точками пространства-времени. Член в ряду возмущений, соответствующий диаграмме, получается путем записи выражения, которое следует из так называемых правил Фейнмана: $\phi$

Для каждой внутренней вершины запишите множитель . $z_{i}$ ${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$
Для каждого ребра, соединяющего две вершины и , запишите множитель . $z_{i}$ $z_{j}$ $D_{F}(z_{i}-z_{j})$
Разделите на коэффициент симметрии диаграммы.

С коэффициентом симметрии , следуя этим правилам, получаем точное выражение выше. Преобразуя пропагатор Фурье, правила Фейнмана можно переформулировать из пространства положений в пространство импульсов. ^[1]^{: 91–94} $2$

Чтобы вычислить $n$ -точечную корреляционную функцию до $k$ -го порядка, перечислите все действительные диаграммы Фейнмана с $n$ внешними точками и $k$ или менее вершинами, а затем используйте правила Фейнмана, чтобы получить выражение для каждого члена. Чтобы быть точным,

\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle

равно сумме (выражений, соответствующих) всем связанным диаграммам с $n$ внешними точками. (Связанные диаграммы — это те, в которых каждая вершина связана с внешней точкой посредством линий. Компоненты, которые полностью отключены от внешних линий, иногда называются «вакуумными пузырьками».) В теории взаимодействия $ϕ 4$ , обсуждавшейся выше, каждая вершина должна иметь четыре ножки. ^[1]^{: 98}

В реальных приложениях амплитуда рассеяния определенного взаимодействия или скорость распада частицы могут быть вычислены из S-матрицы , которая сама по себе может быть найдена с помощью метода диаграммы Фейнмана. ^[1]^{: 102–115}

Диаграммы Фейнмана, лишенные «петель», называются диаграммами древовидного уровня, которые описывают процессы взаимодействия самого низкого порядка; те, которые содержат $n$ петель, называются диаграммами $n$ -петлевых, которые описывают вклады более высокого порядка или радиационные поправки к взаимодействию. ^[33]^{: 44} Линии, конечные точки которых являются вершинами, можно рассматривать как распространение виртуальных частиц . ^[1]^{: 31}

Перенормировка

Правила Фейнмана можно использовать для прямой оценки диаграмм древовидного уровня. Однако наивное вычисление петлевых диаграмм, таких как показанная выше, приведет к расходящимся интегралам импульса, что, по-видимому, подразумевает, что почти все члены в пертурбативном разложении бесконечны. Процедура перенормировки представляет собой систематический процесс для удаления таких бесконечностей.

Параметры, появляющиеся в лагранжиане, такие как масса $m$ и константа связи $λ$ , не имеют физического смысла — $m$ , $λ$ и напряженность поля $ϕ$ не являются экспериментально измеримыми величинами и называются здесь голой массой, голой константой связи и голым полем соответственно. Физическая масса и константа связи измеряются в некотором процессе взаимодействия и, как правило, отличаются от голых величин. При вычислении физических величин из этого процесса взаимодействия можно ограничить область расходящихся интегралов импульса так, чтобы она была ниже некоторого обрезания импульса $Λ$ , получить выражения для физических величин, а затем взять предел $Λ \to \infty$ . Это пример регуляризации , класса методов для обработки расходимостей в КТП, где $Λ$ является регулятором.

Подход, проиллюстрированный выше, называется голой теорией возмущений, поскольку вычисления включают только голые величины, такие как масса и константа связи. Другой подход, называемый перенормированной теорией возмущений, заключается в использовании физически значимых величин с самого начала. В случае теории $ϕ 4$ сначала переопределяется напряженность поля:

\phi =Z^{1/2}\phi _{r},

где $ϕ$ — голое поле, $ϕ r$ — перенормированное поле, а $Z$ — константа, которую необходимо определить. Плотность лагранжиана становится:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},

где $m r$ и $λ r$ — экспериментально измеряемые, перенормированные масса и константа связи соответственно, и

\delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}

константы, которые необходимо определить. Первые три члена представляют собой плотность Лагранжа $ϕ 4 ,$ записанную в терминах перенормированных величин, в то время как последние три члена называются «контрчленами». Поскольку Лагранжиан теперь содержит больше членов, диаграммы Фейнмана должны включать дополнительные элементы, каждый со своими собственными правилами Фейнмана. Процедура описывается следующим образом. Сначала выберите схему регуляризации (такую как регуляризация обрезания, введенная выше, или размерная регуляризация ); назовите регулятор $Λ$ . Вычислите диаграммы Фейнмана, в которых расходящиеся члены будут зависеть от $Λ$ . Затем определите $δ Z$ , $δ m$ и $δ λ$ таким образом, чтобы диаграммы Фейнмана для контрчленов точно отменили расходящиеся члены в обычных диаграммах Фейнмана, когда взят предел $Λ \to \infty$ . Таким образом, получаются осмысленные конечные величины. ^[1]^{: 323–326}

В перенормируемых теориях можно устранить все бесконечности, чтобы получить конечный результат, тогда как в неперенормируемых теориях бесконечности не могут быть устранены путем переопределения небольшого числа параметров. Стандартная модель элементарных частиц является перенормируемой КТП, ^[1]^{: 719–727} , тогда как квантовая гравитация неперенормируема. ^[1]^{: 798}^[33]^{: 421}

Группа ренормализации

Группа перенормировки , разработанная Кеннетом Уилсоном , представляет собой математический аппарат, используемый для изучения изменений физических параметров (коэффициентов в лагранжиане) при рассмотрении системы в разных масштабах. ^[1]^{: 393} То, как каждый параметр изменяется с масштабом, описывается его β- функцией . ^[1]^{: 417} Корреляционные функции, которые лежат в основе количественных физических предсказаний, изменяются с масштабом в соответствии с уравнением Каллана–Симанзика . ^[1]^{: 410–411}

Например, константа связи в КЭД, а именно элементарный заряд $e$ , имеет следующую β- функцию:

\beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O{\mathord {\left(e^{5}\right)}},

где $Λ$ — шкала энергий, в которой выполняется измерение $e$ . Это дифференциальное уравнение подразумевает, что наблюдаемый элементарный заряд увеличивается с увеличением шкалы. ^[36] Перенормированная константа связи, которая изменяется с энергетической шкалой, также называется бегущей константой связи. ^[1]^{: 420}

Константа связи $g$ в квантовой хромодинамике , неабелевой калибровочной теории, основанной на группе симметрии $SU(3)$ , имеет следующую β- функцию:

\beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O{\mathord {\left(g^{5}\right)}},

где $N f$ — число ароматов кварков . В случае, когда $N$ $f$ $\leq 16$ (в Стандартной модели $N$ $f$ $= 6$ ), константа связи $g$ уменьшается с ростом масштаба энергии. Следовательно, в то время как сильное взаимодействие сильно при низких энергиях, оно становится очень слабым при взаимодействиях с высокими энергиями, явление, известное как асимптотическая свобода . ^[1]^{: 531}

Конформные теории поля (КТП) — это специальные КТП, которые допускают конформную симметрию . Они нечувствительны к изменениям масштаба, поскольку все их константы связи имеют исчезающую β -функцию. (Однако обратное неверно — исчезновение всех β -функций не подразумевает конформную симметрию теории.) ^[37] Примерами служат теория струн ^[27] и $N = 4$ суперсимметричная теория Янга–Миллса . ^[38]

Согласно картине Уилсона, каждая КТП фундаментально сопровождается ее энергетическим обрезанием $Λ$ , т. е. что теория больше не действительна при энергиях выше $Λ$ , и все степени свободы выше масштаба $Λ$ должны быть опущены. Например, обрезание может быть обратным атомному расстоянию в системе конденсированного вещества, а в физике элементарных частиц оно может быть связано с фундаментальной «зернистостью» пространства-времени, вызванной квантовыми флуктуациями в гравитации. Масштаб обрезания теорий взаимодействий частиц лежит далеко за пределами современных экспериментов. Даже если бы теория была очень сложной в этом масштабе, пока ее связи достаточно слабы, она должна описываться при низких энергиях перенормируемой эффективной теорией поля . ^[1]^{: 402–403} Разница между перенормируемыми и неперенормируемыми теориями заключается в том, что первые нечувствительны к деталям при высоких энергиях, тогда как вторые зависят от них. ^[8]^{: 2} Согласно этой точке зрения, неперенормируемые теории следует рассматривать как низкоэнергетические эффективные теории более фундаментальной теории. Неспособность удалить обрезание $Λ$ из расчетов в такой теории просто указывает на то, что новые физические явления появляются в масштабах выше $Λ$ , где необходима новая теория. ^[33]^{: 156}

Другие теории

Процедуры квантования и перенормировки, описанные в предыдущих разделах, выполняются для свободной теории и теории ϕ 4 реального скалярного поля. Подобный процесс может быть выполнен для других типов полей, включая комплексное скалярное поле, векторное поле и поле Дирака , а также других типов членов взаимодействия, включая электромагнитное взаимодействие и взаимодействие Юкавы .

Например, квантовая электродинамика содержит поле Дирака $ψ,$ представляющее электронное поле, и векторное поле $A μ,$ представляющее электромагнитное поле ( поле фотона ). (Несмотря на свое название, квантовое электромагнитное «поле» на самом деле соответствует классическому электромагнитному четырехпотенциалу , а не классическим электрическим и магнитным полям.) Полная плотность лагранжиана КЭД равна:

{\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },

где $γ μ$ — матрицы Дирака , , и — напряженность электромагнитного поля . Параметрами в этой теории являются (голая) масса электрона $m$ и (голый) элементарный заряд $e$ . Первый и второй члены в плотности лагранжиана соответствуют свободному полю Дирака и свободным векторным полям соответственно. Последний член описывает взаимодействие между полями электрона и фотона, которое рассматривается как возмущение из свободных теорий. ^[1]^{: 78} ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$

Выше показан пример диаграммы Фейнмана на уровне дерева в КЭД. Она описывает электрон и позитрон, которые аннигилируют, создавая фотон вне оболочки , а затем распадаются на новую пару электрона и позитрона. Время идет слева направо. Стрелки, направленные вперед во времени, представляют распространение электронов, в то время как направленные назад во времени, представляют распространение позитронов. Волнистая линия представляет распространение фотона. Каждая вершина в диаграммах Фейнмана КЭД должна иметь входящую и выходящую фермионную (позитрон/электрон) ножку, а также фотонную ножку.

Симметрия калибровок

$Если в каждой точке пространства-времени x$ выполняется следующее преобразование полей (локальное преобразование), то лагранжиан КЭД остается неизменным или инвариантным:

\psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},

где $α (x)$ — любая функция пространственно-временных координат. Если лагранжиан теории (или, точнее, действие ) инвариантен относительно определенного локального преобразования, то преобразование называется калибровочной симметрией теории. ^[1]^{: 482–483} Калибровочные симметрии образуют группу в каждой точке пространства-времени. В случае КЭД последовательное применение двух различных локальных преобразований симметрии и является еще одним преобразованием симметрии . Для любого $α$ $($ $x$ $)$ , является элементом группы $U(1)$ , поэтому говорят, что КЭД имеет калибровочную симметрию $U(1)$ . ^[1]^{: 496} Фотонное поле $A$ $μ$ можно назвать калибровочным бозоном $U(1)$ . $e^{i\alpha (x)}$ $e^{i\alpha '(x)}$ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ $e^{i\alpha (x)}$

$U(1)$ — абелева группа , что означает, что результат одинаков независимо от порядка применения ее элементов. КТП также могут быть построены на неабелевых группах , что приводит к неабелевым калибровочным теориям (также известным как теории Янга–Миллса). ^[1]^{: 489} Квантовая хромодинамика , описывающая сильное взаимодействие, является неабелевой калибровочной теорией с калибровочной симметрией $SU(3)$ . Она содержит три поля Дирака $ψ i, i = 1,2,3,$ представляющие кварковые поля, а также восемь векторных полей $A a,μ, a = 1,...,8,$ представляющие глюонные поля, которые являются калибровочными бозонами $SU(3)$ . ^[1]^{: 547} Плотность лагранжиана КХД равна: ^[1]^{: 490–491}

{\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},

где $D μ$ — калибровочно- ковариантная производная :

D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},

где $g$ — константа связи, $t a$ — восемь генераторов SU $(3)$ в фундаментальном представлении ( матрицы $3\times3$ ),

F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},

и $f abc$ — структурные константы SU $(3)$ . Повторяющиеся индексы $i, j, a$ неявно суммируются по следующим обозначениям Эйнштейна. Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования:

\psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x),

где $U (x)$ — элемент $SU(3)$ в каждой точке пространства-времени $x$ :

U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.

Предшествующее обсуждение симметрий находится на уровне лагранжиана. Другими словами, это «классические» симметрии. После квантования некоторые теории больше не будут демонстрировать свои классические симметрии, явление, называемое аномалией . Например, в формулировке интеграла по траекториям, несмотря на инвариантность плотности лагранжиана при определенном локальном преобразовании полей, мера интеграла по траекториям может измениться. ^[33]^{: 243} Чтобы теория, описывающая природу, была последовательной, она не должна содержать никаких аномалий в своей калибровочной симметрии. Стандартная модель элементарных частиц является калибровочной теорией, основанной на группе $SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ , в которой все аномалии точно сокращаются. ^[1]^{: 705–707} ${\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]$ ${\textstyle \int {\mathcal {D}}\phi }$

Теоретическую основу общей теории относительности , принцип эквивалентности , можно также понимать как форму калибровочной симметрии, что делает общую теорию относительности калибровочной теорией, основанной на группе Лоренца . ^[39]

Теорема Нётер утверждает, что каждая непрерывная симметрия, т.е. параметр в преобразовании симметрии является непрерывным, а не дискретным, приводит к соответствующему закону сохранения . ^[1]^{: 17–18}^[33]^{: 73} Например, симметрия $U(1)$ КЭД подразумевает сохранение заряда . ^[40]

Калибровочные преобразования не связывают различные квантовые состояния. Скорее, они связывают два эквивалентных математических описания одного и того же квантового состояния. Например, фотонное поле $A μ$ , будучи четырехвектором , имеет четыре кажущиеся степени свободы, но фактическое состояние фотона описывается его двумя степенями свободы, соответствующими поляризации . Оставшиеся две степени свободы называются «избыточными» — по-видимому, различные способы записи $A μ$ могут быть связаны друг с другом калибровочным преобразованием и фактически описывать одно и то же состояние фотонного поля. В этом смысле калибровочная инвариантность — это не «реальная» симметрия, а отражение «избыточности» выбранного математического описания. ^[33]^{: 168}

Для учета избыточности калибровки в формулировке интеграла по траектории необходимо выполнить так называемую процедуру фиксации калибровки Фаддеева–Попова . В неабелевых калибровочных теориях такая процедура вводит новые поля, называемые «призраками». Частицы, соответствующие полям-призракам, называются частицами-призраками, которые не могут быть обнаружены извне. ^[1]^{: 512–515} Более строгое обобщение процедуры Фаддеева–Попова дается BRST-квантованием . ^[1]^{: 517}

Спонтанное нарушение симметрии

Спонтанное нарушение симметрии — это механизм, посредством которого симметрия лагранжиана нарушается системой, описываемой им. ^[1]^{: 347}

Чтобы проиллюстрировать механизм, рассмотрим линейную сигма-модель, содержащую $N$ действительных скалярных полей, описываемых плотностью Лагранжа:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu }\phi ^{i}\right)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\phi ^{i}\phi ^{i}\right)^{2},

где $μ$ и $λ$ — действительные параметры. Теория допускает глобальную симметрию $O(N)$ :

\phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).

Низшим энергетическим состоянием (основным состоянием или вакуумным состоянием) классической теории является любое однородное поле $ϕ 0 ,$ удовлетворяющее условию

\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.

Без потери общности пусть основное состояние находится в $N$ -ом направлении:

\phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).

Исходные $N$ полей можно переписать как:

\phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),

и исходная плотность Лагранжа как:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\pi ^{k}\right)\left(\partial ^{\mu }\pi ^{k}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\sigma \right)\left(\partial ^{\mu }\sigma \right)-{\frac {1}{2}}\left(2\mu ^{2}\right)\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\pi ^{k}\pi ^{k}\right)^{2},

где $k = 1, ..., N - 1.$ Первоначальная глобальная симметрия $O(N)$ больше не проявляется, остается только подгруппа $O(N - 1)$ . Большая симметрия до спонтанного нарушения симметрии называется «скрытой» или спонтанно нарушенной. ^[1]^{: 349–350}

Теорема Голдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении симметрии каждая нарушенная непрерывная глобальная симметрия приводит к безмассовому полю, называемому бозоном Голдстоуна. В приведенном выше примере $O(N)$ имеет $N (N - 1)/2$ непрерывных симметрий (размерность его алгебры Ли ), тогда как $O(N - 1)$ имеет $(N - 1)(N - 2)/2$ . Число нарушенных симметрий равно их разности, $N - 1$ , что соответствует $N - 1$ безмассовым полям $π k$ . ^[1]^{: 351}

С другой стороны, когда калибровочная (в отличие от глобальной) симметрия спонтанно нарушается, результирующий бозон Голдстоуна «съедается» соответствующим калибровочным бозоном, становясь дополнительной степенью свободы для калибровочного бозона. Теорема эквивалентности бозонов Голдстоуна утверждает, что при высокой энергии амплитуда испускания или поглощения продольно поляризованного массивного калибровочного бозона становится равной амплитуде испускания или поглощения бозона Голдстоуна, который был съеден калибровочным бозоном. ^[1]^{: 743–744}

В квантовой теории поля ферромагнетизма спонтанное нарушение симметрии может объяснить выравнивание магнитных диполей при низких температурах. ^[33]^{: 199} В Стандартной модели элементарных частиц бозоны W и Z , которые в противном случае были бы безмассовыми в результате калибровочной симметрии, приобретают массу посредством спонтанного нарушения симметрии бозона Хиггса , процесса, называемого механизмом Хиггса . ^[1]^{: 690}

Суперсимметрия

Все экспериментально известные симметрии в природе связывают бозоны с бозонами и фермионы с фермионами. Теоретики выдвинули гипотезу о существовании типа симметрии, называемой суперсимметрией , которая связывает бозоны и фермионы. ^[1]^{: 795}^[33]^{: 443}

Стандартная модель подчиняется симметрии Пуанкаре , генераторами которой являются пространственно-временные трансляции $P μ$ и преобразования Лоренца $J μν$ . ^[41]^{: 58–60} В дополнение к этим генераторам суперсимметрия в (3+1)-измерениях включает в себя дополнительные генераторы $Q α$ , называемые суперзарядами , которые сами преобразуются как фермионы Вейля . ^[1]^{: 795}^[33]^{: 444} Группа симметрии, генерируемая всеми этими генераторами, известна как группа суперПуанкаре . В общем случае может быть более одного набора генераторов суперсимметрии, $Q α I, I = 1, ..., N$ , которые генерируют соответствующую суперсимметрию $N = 1$ , суперсимметрию $N = 2$ и так далее. ^[1]^{: 795}^[33]^{: 450} Суперсимметрия может быть также построена в других измерениях, ^[42] особенно в измерениях (1+1) для ее применения в теории суперструн . ^[43]

Лагранжиан суперсимметричной теории должен быть инвариантен относительно действия супергруппы Пуанкаре. ^[33]^{: 448} Примерами таких теорий являются: Минимальная суперсимметричная стандартная модель (MSSM), $N = 4$ суперсимметричная теория Янга–Миллса , ^[33]^{: 450} и теория суперструн. В суперсимметричной теории каждый фермион имеет бозонного суперпартнера и наоборот. ^[33]^{: 444}

Если суперсимметрия повышается до локальной симметрии, то результирующая калибровочная теория является расширением общей теории относительности, называемой супергравитацией . ^[44]

Суперсимметрия является потенциальным решением многих современных проблем в физике. Например, проблема иерархии Стандартной модели — почему масса бозона Хиггса не исправляется радиационно (при перенормировке) до очень высокого масштаба, такого как масштаб великого объединения или масштаб Планка — может быть решена путем связывания поля Хиггса и его суперпартнера, Хиггсино . Радиационные поправки из-за петель бозона Хиггса в диаграммах Фейнмана отменяются соответствующими петлями Хиггсино. Суперсимметрия также предлагает ответы на великое объединение всех калибровочных констант связи в Стандартной модели, а также на природу темной материи . ^[1]^{: 796–797}^[45]

Тем не менее, эксперименты еще не предоставили доказательств существования суперсимметричных частиц. Если бы суперсимметрия была истинной симметрией природы, то она должна была бы быть нарушенной симметрией, и энергия нарушения симметрии должна быть выше, чем те, которые достижимы в современных экспериментах. ^[1]^{: 797}^[33]^{: 443}

Другие пространства-времена

Теория $ϕ 4$ , QED, QCD, а также вся Стандартная модель предполагают (3+1)-мерное пространство Минковского (3 пространственных и 1 временное измерение) в качестве фона, на котором определяются квантовые поля. Однако QFT априори не накладывает никаких ограничений на количество измерений или геометрию пространства-времени.

В физике конденсированного состояния КТП используется для описания (2+1)-мерных электронных газов . ^[46] В физике высоких энергий теория струн является типом (1+1)-мерной КТП, ^[33]^{: 452}^[27] в то время как теория Калуцы–Клейна использует гравитацию в дополнительных измерениях для создания калибровочных теорий в более низких измерениях. ^[33]^{: 428–429}

В пространстве Минковского плоская метрика $η μν$ используется для повышения и понижения индексов пространства-времени в лагранжиане, например:

A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

где $η μν$ — это обратная величина $η μν,$ удовлетворяющая $η μρ η ρν = δ μ ν$ . Для квантовых теорий поля в искривленном пространстве-времени, с другой стороны, используется общая метрика (например, метрика Шварцшильда, описывающая черную дыру ):

A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,

где $g μν$ — это обратная величина $g μν$ . Для реального скалярного поля плотность лагранжиана в общем пространственно-временном фоне равна

{\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),

где $g = det(g μν)$ , а $\nabla μ$ обозначает ковариантную производную . ^[47] Лагранжиан КТП, а следовательно, и его вычислительные результаты и физические предсказания, зависят от геометрии фона пространства-времени.

Топологическая квантовая теория поля

Корреляционные функции и физические предсказания QFT зависят от метрики пространства-времени $g μν$ . Для специального класса QFT, называемых топологическими квантовыми теориями поля (TQFT), все корреляционные функции не зависят от непрерывных изменений метрики пространства-времени. ^[48]^{: 36} QFT в искривленном пространстве-времени обычно изменяются в соответствии с геометрией (локальной структурой) фона пространства-времени, в то время как TQFT инвариантны относительно диффеоморфизмов пространства-времени , но чувствительны к топологии (глобальной структуре) пространства-времени. Это означает, что все результаты вычислений TQFT являются топологическими инвариантами базового пространства-времени. Теория Черна-Саймонса является примером TQFT и использовалась для построения моделей квантовой гравитации. ^[49] Приложения TQFT включают дробный квантовый эффект Холла и топологические квантовые компьютеры . ^[50]^{: 1–5} Траектория мировой линии фракционированных частиц (известных как анионы ) может образовывать конфигурацию связи в пространстве-времени, ^[51] которая связывает статистику сплетения анионов в физике с инвариантами связи в математике. Топологические квантовые теории поля (TQFT), применимые к передовым исследованиям топологических квантовых вопросов, включают калибровочные теории Черна-Саймонса-Виттена в 2+1 пространственно-временных измерениях, другие новые экзотические TQFT в 3+1 пространственно-временных измерениях и за их пределами. ^[52]

Пертурбативные и непертурбативные методы

Using perturbation theory, the total effect of a small interaction term can be approximated order by order by a series expansion in the number of virtual particles participating in the interaction. Every term in the expansion may be understood as one possible way for (physical) particles to interact with each other via virtual particles, expressed visually using a Feynman diagram. The electromagnetic force between two electrons in QED is represented (to first order in perturbation theory) by the propagation of a virtual photon. In a similar manner, the W and Z bosons carry the weak interaction, while gluons carry the strong interaction. The interpretation of an interaction as a sum of intermediate states involving the exchange of various virtual particles only makes sense in the framework of perturbation theory. In contrast, non-perturbative methods in QFT treat the interacting Lagrangian as a whole without any series expansion. Instead of particles that carry interactions, these methods have spawned such concepts as 't Hooft–Polyakov monopole, domain wall, flux tube, and instanton.^[8] Examples of QFTs that are completely solvable non-perturbatively include minimal models of conformal field theory^[53] and the Thirring model.^[54]

Mathematical rigor

In spite of its overwhelming success in particle physics and condensed matter physics, QFT itself lacks a formal mathematical foundation. For example, according to Haag's theorem, there does not exist a well-defined interaction picture for QFT, which implies that perturbation theory of QFT, which underlies the entire Feynman diagram method, is fundamentally ill-defined.^[55]

However, perturbative quantum field theory, which only requires that quantities be computable as a formal power series without any convergence requirements, can be given a rigorous mathematical treatment. In particular, Kevin Costello's monograph Renormalization and Effective Field Theory^[56] provides a rigorous formulation of perturbative renormalization that combines both the effective-field theory approaches of Kadanoff, Wilson, and Polchinski, together with the Batalin-Vilkovisky approach to quantizing gauge theories. Furthermore, perturbative path-integral methods, typically understood as formal computational methods inspired from finite-dimensional integration theory,^[57] can be given a sound mathematical interpretation from their finite-dimensional analogues.^[58]

Since the 1950s,^[59] theoretical physicists and mathematicians have attempted to organize all QFTs into a set of axioms, in order to establish the existence of concrete models of relativistic QFT in a mathematically rigorous way and to study their properties. This line of study is called constructive quantum field theory, a subfield of mathematical physics,^[60]^: 2 which has led to such results as CPT theorem, spin–statistics theorem, and Goldstone's theorem,^[59] and also to mathematically rigorous constructions of many interacting QFTs in two and three spacetime dimensions, e.g. two-dimensional scalar field theories with arbitrary polynomial interactions,^[61] the three-dimensional scalar field theories with a quartic interaction, etc.^[62]

Compared to ordinary QFT, topological quantum field theory and conformal field theory are better supported mathematically — both can be classified in the framework of representations of cobordisms.^[63]

Algebraic quantum field theory is another approach to the axiomatization of QFT, in which the fundamental objects are local operators and the algebraic relations between them. Axiomatic systems following this approach include Wightman axioms and Haag–Kastler axioms.^[60]^: 2–3 One way to construct theories satisfying Wightman axioms is to use Osterwalder–Schrader axioms, which give the necessary and sufficient conditions for a real time theory to be obtained from an imaginary time theory by analytic continuation (Wick rotation).^[60]^: 10

Yang–Mills existence and mass gap, one of the Millennium Prize Problems, concerns the well-defined existence of Yang–Mills theories as set out by the above axioms. The full problem statement is as follows.^[64]

Prove that for any compact simple gauge group $G$ , a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on $\mathbb {R} ^{4}$ and has a mass gap $Δ > 0$ . Existence includes establishing axiomatic properties at least as strong as those cited in Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973) and Osterwalder & Schrader (1975).

References

^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak al am an ao ap aq ar as at au av aw ax ay az Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 978-0-201-50397-5.
^ a b c Hobson, Art (2013). "There are no particles, there are only fields". American Journal of Physics. 81 (211): 211–223. arXiv:1204.4616. Bibcode:2013AmJPh..81..211H. doi:10.1119/1.4789885. S2CID 18254182.
^ a b c d e f g h i j k l m n o p Weinberg, Steven (1977). "The Search for Unity: Notes for a History of Quantum Field Theory". Daedalus. 106 (4): 17–35. JSTOR 20024506.
^ John L. Heilbron (14 February 2003). The Oxford Companion to the History of Modern Science. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-974376-6.
^ Joseph John Thomson (1893). Notes on Recent Researches in Electricity and Magnetism: Intended as a Sequel to Professor Clerk-Maxwell's 'Treatise on Electricity and Magnetism'. Dawsons.
^ a b c d e f g h i j k l m Weisskopf, Victor (November 1981). "The development of field theory in the last 50 years". Physics Today. 34 (11): 69–85. Bibcode:1981PhT....34k..69W. doi:10.1063/1.2914365.
^ Werner Heisenberg (1999). Physics and Philosophy: The Revolution in Modern Science. Prometheus Books. ISBN 978-1-57392-694-2.
^ a b c d e f g h i j Shifman, M. (2012). Advanced Topics in Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19084-8.
^ Tomonaga, Shinichiro (1966). "Development of Quantum Electrodynamics". Science. 154 (3751): 864–868. Bibcode:1966Sci...154..864T. doi:10.1126/science.154.3751.864. PMID 17744604.
^ Mehra and Milton (2000). Climbing the Mountain: The scientific biography of Julian Schwinger. Oxford University Press. p. 454.
^ Schwinger, Julian (July 1951). "On the Green's functions of quantized fields. I". Proceedings of the National Academy of Sciences. 37 (7): 452–455. Bibcode:1951PNAS...37..452S. doi:10.1073/pnas.37.7.452. ISSN 0027-8424. PMC 1063400. PMID 16578383.
^ Schwinger, Julian (July 1951). "On the Green's functions of quantized fields. II". Proceedings of the National Academy of Sciences. 37 (7): 455–459. Bibcode:1951PNAS...37..455S. doi:10.1073/pnas.37.7.455. ISSN 0027-8424. PMC 1063401. PMID 16578384.
^ Schweber, Silvan S. (2005-05-31). "The sources of Schwinger's Green's functions". Proceedings of the National Academy of Sciences. 102 (22): 7783–7788. doi:10.1073/pnas.0405167101. ISSN 0027-8424. PMC 1142349. PMID 15930139.
^ Schwinger, Julian (1966). "Particles and Sources". Phys Rev. 152 (4): 1219. Bibcode:1966PhRv..152.1219S. doi:10.1103/PhysRev.152.1219.
^ a b c Schwinger, Julian (1998). Particles, Sources and Fields vol. 1. Reading, MA: Perseus Books. p. xi. ISBN 0-7382-0053-0.
^ Schwinger, Julian (1998). Particles, sources, and fields. 2 (1. print ed.). Reading, Mass: Advanced Book Program, Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0054-5.
^ Schwinger, Julian (1998). Particles, sources, and fields. 3 (1. print ed.). Reading, Mass: Advanced Book Program, Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0055-2.
^ C.R. Hagen; et al., eds. (1967). Proc of the 1967 Int. Conference on Particles and Fields. NY: Interscience. p. 128.
^ Mehra and Milton (2000). Climbing the Mountain: The scientific biography of Julian Schwinger. Oxford University Press. p. 467.
^ Schwinger, Julian (1998). Particles, Sources and Fields vol. 1. Reading, MA: Perseus Bookks. pp. 82–85.
^ Mehra, Jagdish; Milton, Kimball A. (2005). Climbing the mountain: the scientific biography of Julian Schwinger (Reprinted ed.). Oxford: Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-852745-9.
^ a b c d 't Hooft, Gerard (2015-03-17). "The Evolution of Quantum Field Theory". The Standard Theory of Particle Physics. Advanced Series on Directions in High Energy Physics. Vol. 26. pp. 1–27. arXiv:1503.05007. Bibcode:2016stpp.conf....1T. doi:10.1142/9789814733519_0001. ISBN 978-981-4733-50-2. S2CID 119198452.
^ Yang, C. N.; Mills, R. L. (1954-10-01). "Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance". Physical Review. 96 (1): 191–195. Bibcode:1954PhRv...96..191Y. doi:10.1103/PhysRev.96.191.
^ a b c Coleman, Sidney (1979-12-14). "The 1979 Nobel Prize in Physics". Science. 206 (4424): 1290–1292. Bibcode:1979Sci...206.1290C. doi:10.1126/science.206.4424.1290. JSTOR 1749117. PMID 17799637.
^ Sutton, Christine. "Standard model". britannica.com. Encyclopædia Britannica. Retrieved 2018-08-14.
^ Kibble, Tom W. B. (2014-12-12). "The Standard Model of Particle Physics". arXiv:1412.4094 [physics.hist-ph].
^ a b c Polchinski, Joseph (2005). String Theory. Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67227-6.
^ Schwarz, John H. (2012-01-04). "The Early History of String Theory and Supersymmetry". arXiv:1201.0981 [physics.hist-ph].
^ "Common Problems in Condensed Matter and High Energy Physics" (PDF). science.energy.gov. Office of Science, U.S. Department of Energy. 2015-02-02. Retrieved 2018-07-18.
^ a b Wilczek, Frank (2016-04-19). "Particle Physics and Condensed Matter: The Saga Continues". Physica Scripta. 2016 (T168): 014003. arXiv:1604.05669. Bibcode:2016PhST..168a4003W. doi:10.1088/0031-8949/T168/1/014003. S2CID 118439678.
^ a b Tong 2015, Chapter 1
^ In fact, its number of degrees of freedom is uncountable, because the vector space dimension of the space of continuous (differentiable, real analytic) functions on even a finite dimensional Euclidean space is uncountable. On the other hand, subspaces (of these function spaces) that one typically considers, such as Hilbert spaces (e.g. the space of square integrable real valued functions) or separable Banach spaces (e.g. the space of continuous real-valued functions on a compact interval, with the uniform convergence norm), have denumerable (i. e. countably infinite) dimension in the category of Banach spaces (though still their Euclidean vector space dimension is uncountable), so in these restricted contexts, the number of degrees of freedom (interpreted now as the vector space dimension of a dense subspace rather than the vector space dimension of the function space of interest itself) is denumerable.
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t Zee, A. (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01019-9.
^ Fock, V. (1932-03-10). "Konfigurationsraum und zweite Quantelung". Zeitschrift für Physik (in German). 75 (9–10): 622–647. Bibcode:1932ZPhy...75..622F. doi:10.1007/BF01344458. S2CID 186238995.
^ Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John H. (2007). String Theory and M-Theory. Cambridge University Press. p. 36. ISBN 978-0-521-86069-7.
^ Fujita, Takehisa (2008-02-01). "Physics of Renormalization Group Equation in QED". arXiv:hep-th/0606101.
^ Aharony, Ofer; Gur-Ari, Guy; Klinghoffer, Nizan (2015-05-19). "The Holographic Dictionary for Beta Functions of Multi-trace Coupling Constants". Journal of High Energy Physics. 2015 (5): 31. arXiv:1501.06664. Bibcode:2015JHEP...05..031A. doi:10.1007/JHEP05(2015)031. S2CID 115167208.
^ Kovacs, Stefano (1999-08-26). " $N = 4$ supersymmetric Yang–Mills theory and the AdS/SCFT correspondence". arXiv:hep-th/9908171.
^ Veltman, M. J. G. (1976). Methods in Field Theory, Proceedings of the Les Houches Summer School, Les Houches, France, 1975.
^ Brading, Katherine A. (March 2002). "Which symmetry? Noether, Weyl, and conservation of electric charge". Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 33 (1): 3–22. Bibcode:2002SHPMP..33....3B. CiteSeerX 10.1.1.569.106. doi:10.1016/S1355-2198(01)00033-8.
^ Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55001-7.
^ de Wit, Bernard; Louis, Jan (1998-02-18). "Supersymmetry and Dualities in various dimensions". arXiv:hep-th/9801132.
^ Polchinski, Joseph (2005). String Theory. Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67228-3.
^ Nath, P.; Arnowitt, R. (1975). "Generalized Super-Gauge Symmetry as a New Framework for Unified Gauge Theories". Physics Letters B. 56 (2): 177. Bibcode:1975PhLB...56..177N. doi:10.1016/0370-2693(75)90297-x.
^ Munoz, Carlos (2017-01-18). "Models of Supersymmetry for Dark Matter". EPJ Web of Conferences. 136: 01002. arXiv:1701.05259. Bibcode:2017EPJWC.13601002M. doi:10.1051/epjconf/201713601002. S2CID 55199323.
^ Morandi, G.; Sodano, P.; Tagliacozzo, A.; Tognetti, V. (2000). Field Theories for Low-Dimensional Condensed Matter Systems. Springer. ISBN 978-3-662-04273-1.
^ Parker, Leonard E.; Toms, David J. (2009). Quantum Field Theory in Curved Spacetime. Cambridge University Press. p. 43. ISBN 978-0-521-87787-9.
^ Ivancevic, Vladimir G.; Ivancevic, Tijana T. (2008-12-11). "Undergraduate Lecture Notes in Topological Quantum Field Theory". arXiv:0810.0344v5 [math-th].
^ Carlip, Steven (1998). Quantum Gravity in 2+1 Dimensions. Cambridge University Press. pp. 27–29. arXiv:2312.12596. doi:10.1017/CBO9780511564192. ISBN 9780511564192.
^ Carqueville, Nils; Runkel, Ingo (2018). "Introductory lectures on topological quantum field theory". Banach Center Publications. 114: 9–47. arXiv:1705.05734. doi:10.4064/bc114-1. S2CID 119166976.
^ Witten, Edward (1989). "Quantum Field Theory and the Jones Polynomial". Communications in Mathematical Physics. 121 (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. doi:10.1007/BF01217730. MR 0990772. S2CID 14951363.
^ Putrov, Pavel; Wang, Juven; Yau, Shing-Tung (2017). "Braiding Statistics and Link Invariants of Bosonic/Fermionic Topological Quantum Matter in 2+1 and 3+1 dimensions". Annals of Physics. 384 (C): 254–287. arXiv:1612.09298. Bibcode:2017AnPhy.384..254P. doi:10.1016/j.aop.2017.06.019. S2CID 119578849.
^ Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pierre; Sénéchal, David (1997). Conformal Field Theory. Springer. ISBN 978-1-4612-7475-9.
^ Thirring, W. (1958). "A Soluble Relativistic Field Theory?". Annals of Physics. 3 (1): 91–112. Bibcode:1958AnPhy...3...91T. doi:10.1016/0003-4916(58)90015-0.
^ Haag, Rudolf (1955). "On Quantum Field Theories" (PDF). Dan Mat Fys Medd. 29 (12).
^ Kevin Costello, Renormalization and Effective Field Theory, Mathematical Surveys and Monographs Volume 170, American Mathematical Society, 2011, ISBN 978-0-8218-5288-0
^ Gerald B. Folland, Quantum Field Theory: A Tourist Guide for Mathematicians, Mathematical Surveys and Monographs Volume 149, American Mathematical Society, 2008, ISBN 0821847058 | chapter=8
^ Nguyen, Timothy (2016). "The perturbative approach to path integrals: A succinct mathematical treatment". J. Math. Phys. 57 (9): 092301. arXiv:1505.04809. Bibcode:2016JMP....57i2301N. doi:10.1063/1.4962800. S2CID 54813572.
^ a b Buchholz, Detlev (2000). "Current Trends in Axiomatic Quantum Field Theory". Quantum Field Theory. Lecture Notes in Physics. Vol. 558. pp. 43–64. arXiv:hep-th/9811233. Bibcode:2000LNP...558...43B. doi:10.1007/3-540-44482-3_4. ISBN 978-3-540-67972-1. S2CID 5052535.
^ a b c Summers, Stephen J. (2016-03-31). "A Perspective on Constructive Quantum Field Theory". arXiv:1203.3991v2 [math-ph].
^ Simon, Barry (1974). The P(phi)_2 Euclidean (quantum) field theory. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08144-1. OCLC 905864308.
^ Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987). Quantum Physics : a Functional Integral Point of View. New York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9. OCLC 852790676.
^ Sati, Hisham; Schreiber, Urs (2012-01-06). "Survey of mathematical foundations of QFT and perturbative string theory". arXiv:1109.0955v2 [math-ph].
^ Jaffe, Arthur; Witten, Edward. "Quantum Yang–Mills Theory" (PDF). Clay Mathematics Institute. Archived from the original (PDF) on 2015-03-30. Retrieved 2018-07-18.

Bibliography

Streater, R.; Wightman, A. (1964). PCT, Spin and Statistics and all That. W. A. Benjamin.
Osterwalder, K.; Schrader, R. (1973). "Axioms for Euclidean Green's functions". Communications in Mathematical Physics. 31 (2): 83–112. Bibcode:1973CMaPh..31...83O. doi:10.1007/BF01645738. S2CID 189829853.
Osterwalder, K.; Schrader, R. (1975). "Axioms for Euclidean Green's functions II". Communications in Mathematical Physics. 42 (3): 281–305. Bibcode:1975CMaPh..42..281O. doi:10.1007/BF01608978. S2CID 119389461.

External links

Media related to Quantum field theory at Wikimedia Commons

One-dimensional quantum field theory on Wikiversity

"Quantum field theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Quantum Field Theory", by Meinard Kuhlmann.
Siegel, Warren, 2005. Fields. arXiv:hep-th/9912205.
Quantum Field Theory by P. J. Mulders