Конформная теория поля

Квантовая теория поля, обладающая конформной симметрией

Конформная теория поля ( КТП ) — это квантовая теория поля , инвариантная относительно конформных преобразований . В двух измерениях существует бесконечномерная алгебра локальных конформных преобразований, и конформные теории поля иногда могут быть точно решены или классифицированы.

Конформная теория поля имеет важные приложения ^[1] в физике конденсированного состояния , статистической механике , квантовой статистической механике и теории струн . Статистические и конденсированные системы действительно часто конформно инвариантны в своих термодинамических или квантовых критических точках .

Масштабная инвариантность против конформной инвариантности

В квантовой теории поля масштабная инвариантность является обычной и естественной симметрией, поскольку любая фиксированная точка ренормгруппы по определению масштабно-инвариантна. Конформная симметрия сильнее масштабной инвариантности, и нужны дополнительные предположения ^[2] , чтобы утверждать, что она должна проявляться в природе. Основная идея, лежащая в основе его правдоподобия, заключается в том, что теории инвариантов локального масштаба имеют свои течения, определяемые формулой где - вектор Киллинга и - сохраняющийся оператор (тензор напряжений) размерности ровно . Чтобы связанные симметрии включали масштаб, но не конформные преобразования, след должен быть ненулевой полной производной, что означает наличие несохраняющегося оператора размерности ровно . ${\displaystyle T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle \xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$ ${\displaystyle d-1}$

При некоторых предположениях можно полностью исключить этот тип неперенормировки и, следовательно, доказать, что масштабная инвариантность влечет за собой конформную инвариантность в квантовой теории поля, например, в унитарных компактных конформных теориях поля в двух измерениях.

Хотя квантовая теория поля может быть масштабно-инвариантной , но не конформно-инвариантной, примеры редки. ^[3] По этой причине эти термины часто используются как взаимозаменяемые в контексте квантовой теории поля.

Два измерения против более высоких измерений

Число независимых конформных преобразований бесконечно в двух измерениях и конечно в более высоких измерениях. Это делает конформную симметрию гораздо более ограничивающей в двух измерениях. ^{[ нужны разъяснения ]} Все конформные теории поля разделяют идеи и методы конформного бутстрапа . Но полученные уравнения более эффективны в двух измерениях, где они иногда могут быть точно решены (например, в случае минимальных моделей ), в отличие от более высоких измерений, где доминируют численные подходы.

Развитие конформной теории поля в двумерном случае произошло раньше и глубже, в частности после статьи Белавина, Полякова и Замолодчикова 1983 года. ^[4] Термин «конформная теория поля» иногда использовался в значении двумерной конформной теории поля , как в названии учебника 1997 года. ^[5] Конформные теории поля более высокой размерности стали более популярными благодаря соответствию AdS/CFT в конце 1990-х годов и развитию численных методов конформного бутстрапа в 2000-х годах.

Глобальная и локальная конформная симметрия в двух измерениях

Глобальная конформная группа сферы Римана — это группа преобразований Мёбиуса , которая конечномерна. С другой стороны, бесконечно малые конформные преобразования образуют бесконечномерную алгебру Витта : конформные уравнения Киллинга в двух измерениях сводятся к просто уравнениям Коши-Римана, бесконечность мод произвольных аналитических преобразований координат дает бесконечность векторных полей Киллинга. . ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~}$ ${\displaystyle \partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})}$ ${\displaystyle \xi (z)}$ ${\displaystyle z^{n}\partial _{z}}$

Строго говоря, двумерная конформная теория поля может быть локальной (в смысле наличия тензора напряжений), но при этом проявлять лишь инвариантность относительно глобального . Оказывается, это уникально для неунитарных теорий; примером является бигармонический скаляр. ^[6] Это свойство следует рассматривать как даже более специальное, чем масштаб без конформной инвариантности, поскольку оно должно быть полной второй производной. ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$

Глобальная конформная симметрия в двух измерениях является частным случаем конформной симметрии в более высоких измерениях и изучается с помощью тех же методов. Это делается не только в теориях, которые имеют глобальную, но не локальную конформную симметрию, но также и в теориях, которые имеют локальную конформную симметрию, с целью проверки методов или идей многомерной КТМ. В частности, методы численного бутстрапа можно протестировать, применив их к минимальным моделям и сравнив результаты с известными аналитическими результатами, которые следуют из локальной конформной симметрии.

Конформные теории поля с алгеброй симметрии Вирасоро

В конформно-инвариантной двумерной квантовой теории алгебра Витта бесконечно малых конформных преобразований должна быть центрально расширена . Таким образом, алгебра квантовой симметрии — это алгебра Вирасоро , которая зависит от числа, называемого центральным зарядом . Это центральное расширение также можно понимать в терминах конформной аномалии .

Александр Замолодчиков показал , что существует функция, которая монотонно убывает под действием ренормгруппового потока двумерной квантовой теории поля и равна центральному заряду для двумерной конформной теории поля. Это известно как C-теорема Замолодчикова и говорит нам, что поток ренормгруппы в двух измерениях необратим. ^[7]

Алгебра симметрий конформно-инвариантной квантовой теории не только центрально расширена, но и комплексуется, в результате чего возникают две копии алгебры Вирасоро. В евклидовой КТМ эти копии называются голоморфными и антиголоморфными. В лоренцевой КТМ их называют левосторонними и праводвижущими. Обе копии имеют один и тот же центральный заряд.

Пространство состояний теории является представлением произведения двух алгебр Вирасоро. Это пространство является гильбертовым , если теория унитарна. Это пространство может содержать состояние вакуума или, в статистической механике, тепловое состояние. Если центральный заряд не исчезнет, ​​не может существовать состояние, в котором вся бесконечномерная конформная симметрия не будет нарушена. Лучшее, что мы можем иметь, — это состояние, инвариантное относительно генераторов алгебры Вирасоро, базой которой является . Он содержит генераторы глобальных конформных преобразований. Остальная часть конформной группы спонтанно разрушается. ${\displaystyle L_{n\geq -1}}$ ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}}$

Конформная симметрия

Определение и якобиан

Для данного пространства-времени и метрики конформное преобразование — это преобразование, сохраняющее углы. Мы сосредоточимся на конформных преобразованиях плоскомерного евклидова пространства или пространства Минковского . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,d-1}}$

Если – конформное преобразование, то якобиан имеет вид ${\displaystyle x\to f(x)}$ ${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}}$

${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)=\Omega (x)R_{\nu }^{\mu }(x),}$

где – масштабный коэффициент, а – вращение (т.е. ортогональная матрица) или преобразование Лоренца. ${\displaystyle \Omega (x)}$ ${\displaystyle R_{\nu }^{\mu }(x)}$

Конформная группа

Конформная группа локально изоморфна (Евклидовой) или (Минковского). Сюда входят сдвиги, повороты (Евклидовы) или преобразования Лоренца (Минковский), а также расширения, т.е. масштабные преобразования. ${\displaystyle SO(1,d+1)}$ ${\displaystyle SO(2,d)}$

${\displaystyle x^{\mu }\to \lambda x^{\mu }.}$

Сюда же относятся специальные конформные преобразования. Для любого перевода существует специальное конформное преобразование. ${\displaystyle T_{a}(x)=x+a}$

${\displaystyle S_{a}=I\circ T_{a}\circ I,}$

где инверсия такая, что ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I\left(x^{\mu }\right)={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}.}$

В сфере инверсия меняется с . Трансляции оставляют фиксированными, а специальные конформные преобразования оставляют фиксированными. ${\displaystyle S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$

Конформная алгебра

Коммутационные соотношения соответствующей алгебры Ли имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\[][D,K_{\mu }]&=-K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\\[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}}$

где генерировать сдвиги , генерировать расширения, генерировать специальные конформные преобразования и генерировать вращения или преобразования Лоренца. Тензор — это плоская метрика. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Глобальные проблемы в пространстве Минковского

В пространстве Минковского конформная группа не сохраняет причинность . Наблюдаемые, такие как корреляционные функции, инвариантны относительно конформной алгебры, но не относительно конформной группы. Как показали Люшер и Мак, можно восстановить инвариантность относительно конформной группы, расширив плоское пространство Минковского до лоренцева цилиндра. ^[8] Исходное пространство Минковского конформно эквивалентно области цилиндра, называемой заплаткой Пуанкаре. В цилиндре глобальные конформные преобразования не нарушают причинность: вместо этого они могут перемещать точки за пределы пятна Пуанкаре.

Корреляционные функции и конформный бутстрап

В подходе конформного бутстрепа конформная теория поля представляет собой набор корреляционных функций, которые подчиняются ряду аксиом.

-точечная корреляционная функция является функцией положений и других параметров полей . В бутстреп-подходе сами поля имеют смысл только в контексте корреляционных функций и могут рассматриваться как эффективные обозначения для записи аксиом корреляционных функций. Корреляционные функции линейно зависят от полей, в частности . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{n}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle }$

Мы ориентируемся на ЦФТ в евклидовом пространстве . В данном случае корреляционные функции являются функциями Швингера . Они определены для и не зависят от порядка полей. В пространстве Минковского корреляционные функции являются функциями Вайтмана . Они могут зависеть от порядка полей, поскольку поля коммутируют, только если они разделены пространственно. Евклидова КТМ может быть связана с КТМ Минковского вращением Вика , например, благодаря теореме Остервальдера-Шредера . В таких случаях корреляционные функции Минковского получаются из евклидовых корреляционных функций аналитическим продолжением, зависящим от порядка полей. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$

Поведение при конформных преобразованиях

Любое конформное преобразование действует линейно на полях , таких, что является представлением конформной группы, а корреляционные функции инвариантны: ${\displaystyle x\to f(x)}$ ${\displaystyle O(x)\to \pi _{f}(O)(x)}$ ${\displaystyle f\to \pi _{f}}$

${\displaystyle \left\langle \pi _{f}(O_{1})(x_{1})\cdots \pi _{f}(O_{n})(x_{n})\right\rangle =\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle .}$

Первичные поля — это поля, которые преобразуются в себя посредством . Поведение первичного поля характеризуется числом, называемым его конформной размерностью , и представлением вращения или группы Лоренца. Тогда для основного поля мы имеем ${\displaystyle \pi _{f}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }\rho (R(x'))O(x'),\quad {\text{where}}\ x'=f^{-1}(x).}$

Здесь и – масштабный коэффициент и вращение, связанные с конформным преобразованием . Представление тривиально в случае скалярных полей, которые преобразуются как . Для векторных полей представление является фундаментальным представлением, и мы будем иметь . ${\displaystyle \Omega (x)}$ ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')}$

Первичное поле, которое характеризуется конформной размерностью и представлением, ведет себя как вектор с наибольшим весом в индуцированном представлении конформной группы из подгруппы, созданной расширениями и вращениями. В частности, конформная размерность характеризует представление подгруппы расширений. В двух измерениях тот факт, что это индуцированное представление является модулем Верма, упоминается во всей литературе. Для многомерных CFT (в которых максимально компактная подалгебра больше, чем подалгебра Картана ) недавно было оценено, что это представление представляет собой параболический или обобщенный модуль Верма . ^[9] ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Delta }$

Производные (любого порядка) первичных полей называются полями-потомками . Их поведение при конформных преобразованиях более сложное. Например, если является основным полем, то это линейная комбинация и . Корреляционные функции полей-потомков можно вывести из корреляционных функций первичных полей. Однако даже в общем случае, когда все поля являются либо первичными, либо их потомками, поля-потомки играют важную роль, поскольку конформные блоки и разложения продуктов операторов включают суммы по всем полям-потомкам. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }O}$ ${\displaystyle O}$

Совокупность всех первичных полей , характеризующихся их масштабными размерностями и представлениями , называется спектром теории. ${\displaystyle O_{p}}$ ${\displaystyle \Delta _{p}}$ ${\displaystyle \rho _{p}}$

Зависимость от полевых позиций

Инвариантность корреляционных функций относительно конформных преобразований существенно ограничивает их зависимость от положения полей. В случае двух- и трехточечных функций эта зависимость определяется с точностью до конечного числа постоянных коэффициентов. Функции высших точек обладают большей свободой и определяются только с точностью до функций конформно-инвариантных комбинаций позиций.

Двухточечная функция двух первичных полей обращается в нуль, если их конформные размерности различны.

${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}\implies \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\right\rangle =0.}$

Если оператор растяжения диагонализуем (т.е. если теория не логарифмична), существует базис примарных полей такой, что двухточечные функции диагональны, т.е. В этом случае двухточечная функция скалярного первичного поля равна ^[10] ${\displaystyle i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle O(x_{1})O(x_{2})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

где мы выбираем нормировку поля такую, чтобы постоянный коэффициент, не определяемый конформной симметрией, был равен единице. Аналогично определяются двухточечные функции нескалярных первичных полей с точностью до коэффициента, который можно принять равным единице. В случае симметричного бесследового тензора ранга двухточечная функция равна ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\langle O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{1})O_{\nu _{1},\dots ,\nu _{\ell }}(x_{2})\right\rangle ={\frac {\prod _{i=1}^{\ell }I_{\mu _{i},\nu _{i}}(x_{1}-x_{2})-{\text{traces}}}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

где тензор определяется как ${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)}$

${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)=\eta _{\mu \nu }-{\frac {2x_{\mu }x_{\nu }}{x^{2}}}.}$

Трехточечная функция трех скалярных первичных полей равна

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{3}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

где и – трехточечная структурная константа . Поскольку первичные поля не обязательно являются скалярами, конформная симметрия допускает конечное число тензорных структур, и для каждой тензорной структуры существует структурная константа. В случае двух скалярных полей и симметричного бесследового тензора ранга существует только одна тензорная структура, а трехточечная функция равна ${\displaystyle x_{ij}=x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle C_{123}}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}}-{\text{traces}}\right)}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

где мы вводим вектор

${\displaystyle V_{\mu }={\frac {x_{13}^{\mu }x_{23}^{2}-x_{23}^{\mu }x_{13}^{2}}{|x_{12}||x_{13}||x_{23}|}}.}$

Четырехточечные функции скалярных примарных полей определяются с точностью до произвольных функций двух двойных отношений ${\displaystyle g(u,v)}$

${\displaystyle u={\frac {x_{12}^{2}x_{34}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}\ ,\ v={\frac {x_{14}^{2}x_{23}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}.}$

Тогда четырехточечная функция равна ^[11]

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle ={\frac {\left({\frac {|x_{24}|}{|x_{14}|}}\right)^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac {|x_{14}|}{|x_{13}|}}\right)^{\Delta _{3}-\Delta _{4}}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}}|x_{34}|^{\Delta _{3}+\Delta _{4}}}}g(u,v).}$

Расширение продукта оператора

Расширение произведения оператора ( ОПЕ) более эффективно в конформной теории поля, чем в более общих квантовых теориях поля. Это связано с тем, что в конформной теории поля радиус сходимости операторного произведения конечен (т. е. он не равен нулю). ^[12] При условии, что положения двух полей достаточно близки, оператор разложения произведения переписывает произведение этих двух полей как линейную комбинацию полей в заданной точке, которую можно выбрать для технического удобства. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Разложение операторского продукта двух полей имеет вид

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),}$

где – некоторая коэффициентная функция, и сумма в принципе пробегает все поля теории. (Точно так же, согласно соотношению состояние-поле, сумма пробегает все состояния в пространстве состояний.) Некоторые поля могут фактически отсутствовать, в частности, из-за ограничений симметрии: конформной симметрии или дополнительных симметрий. ${\displaystyle c_{12k}(x)}$

Если все поля являются первичными или дочерними, сумму по полям можно свести к сумме по первичным полям, переписав вклад любого потомка через вклад соответствующего первичного поля:

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})O_{p}(x_{2}),}$

где все поля являются первичными, и является трехточечной структурной константой (которая по этой причине также называется коэффициентом OPE ). Дифференциальный оператор представляет собой бесконечный ряд по производным, который определяется конформной симметрией и поэтому в принципе известен. ${\displaystyle O_{p}}$ ${\displaystyle C_{12p}}$ ${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$

Рассмотрение ОПЭ как связи между корреляционными функциями показывает, что ОПЭ должно быть ассоциативным. Более того, если пространство евклидово, ОПЭ должно быть коммутативным, поскольку корреляционные функции не зависят от порядка полей, т.е. ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})}$

Существование расширения продукта оператора является фундаментальной аксиомой конформного бутстрапа. Однако обычно нет необходимости вычислять разложения произведений операторов и, в частности, дифференциальные операторы . Скорее, необходимо разложение корреляционных функций на структурные константы и конформные блоки. OPE в принципе можно использовать для вычисления конформных блоков, но на практике существуют более эффективные методы. ${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$

Конформные блоки и перекрестная симметрия

Используя OPE , четырехточечную функцию можно записать как комбинацию трехточечных структурных констант и конформных блоков s-канала , ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{12p}C_{p34}G_{p}^{(s)}(x_{i}).}$

Конформный блок представляет собой сумму вкладов первичного поля и его потомков. Это зависит от полей и их положения. Если трехточечные функции или включают несколько независимых тензорных структур, структурные константы и конформные блоки зависят от этих тензорных структур, а первичное поле вносит вклад в несколько независимых блоков. Конформные блоки определяются конформной симметрией и в принципе известны. Для их вычисления существуют рекурсивные соотношения ^[9] и интегрируемые методы. ^[13] ${\displaystyle G_{p}^{(s)}(x_{i})}$ ${\displaystyle O_{p}}$ ${\displaystyle O_{i}}$ ${\displaystyle \left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle }$ ${\displaystyle O_{p}}$

Используя OPE или , одна и та же четырехточечная функция записывается в терминах конформных блоков t-канала или конформных блоков u-канала , ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})}$ ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{14p}C_{p23}G_{p}^{(t)}(x_{i})=\sum _{p}C_{13p}C_{p24}G_{p}^{(u)}(x_{i}).}$

Равенство разложений s-, t- и u-каналов называется перекрестной симметрией : ограничение на спектр первичных полей и на константы трехточечной структуры.

Конформные блоки подчиняются тем же ограничениям конформной симметрии, что и четырехточечные функции. В частности, конформные блоки s-канала можно записать в терминах функций перекрестных отношений. Хотя OPE сходится только при , конформные блоки могут быть аналитически продолжены до всех (не попарно совпадающих) значений позиций. В евклидовом пространстве конформные блоки представляют собой однозначные вещественно-аналитические функции положений, за исключением случаев, когда четыре точки лежат на окружности, но в однократно транспонированном циклическом порядке [1324], и только в этих исключительных случаях происходит разложение на конформные блоки. не сходиться. ${\displaystyle g_{p}^{(s)}(u,v)}$ ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$ ${\displaystyle |x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Таким образом , конформная теория поля в плоском евклидовом пространстве определяется ее спектром и коэффициентами OPE (или трехточечными структурными константами) , удовлетворяющими ограничению, заключающемуся в том, что все четырехточечные функции перекрестно-симметричны. Из спектра и коэффициентов OPE (совместно называемых данными CFT ) можно вычислить корреляционные функции произвольного порядка. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \{(\Delta _{p},\rho _{p})\}}$ ${\displaystyle \{C_{pp'p''}\}}$

Особенности конформных теорий поля

Унитарность

Конформная теория поля унитарна , если ее пространство состояний имеет положительно определенное скалярное произведение такое, что оператор расширения самосопряженный. Тогда скалярное произведение наделяет пространство состояний структурой гильбертова пространства .

В евклидовых конформных теориях поля унитарность эквивалентна отражению положительности корреляционных функций: одна из аксиом Остервальдера-Шредера . ^[11]

Унитарность подразумевает, что конформные размерности первичных полей вещественны и ограничены снизу. Нижняя граница зависит от размерности пространства-времени и от представления вращения или группы Лоренца, в которой преобразуется первичное поле. Для скалярных полей граница унитарности равна ^[11] ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \Delta \geq {\frac {1}{2}}(d-2).}$

В унитарной теории трехточечные структурные константы должны быть действительными, что, в свою очередь, означает, что четырехточечные функции подчиняются определенным неравенствам. Мощные численные методы начальной загрузки основаны на использовании этих неравенств.

Компактность

Конформная теория поля компактна , если она удовлетворяет трем условиям: ^[14]

• Все конформные измерения действительны.
• Для любого существует конечное число состояний, размеры которых меньше . ${\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta }$
• Существует единственное состояние с размерностью , и это состояние вакуума , т.е. соответствующее поле является полем идентичности . ${\displaystyle \Delta =0}$

(Поле идентичности — это поле, вставка которого в корреляционные функции не изменяет их, т. е .) Название происходит от того факта, что если двумерная конформная теория поля также является сигма-моделью , она будет удовлетворять этим условиям тогда и только тогда, когда ее цель пространство компактное. ${\displaystyle \left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle }$

Считается, что все унитарные конформные теории поля компактны по размерности . С другой стороны, без унитарности можно найти КТМ в размерности четыре ^[15] и в размерности ^[16] , которые имеют непрерывный спектр. А во втором измерении теория Лиувилля унитарна, но не компактна. ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 4-\epsilon }$

Дополнительные симметрии

Конформная теория поля может иметь дополнительные симметрии помимо конформной симметрии. Например, модель Изинга обладает симметрией, а суперконформные теории поля — суперсимметрией. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Примеры

Теория среднего поля

Обобщенное свободное поле — это поле, корреляционные функции которого выводятся из его двухточечной функции по теореме Вика . Например, если скалярное первичное поле размерности , его четырехточечная функция имеет вид ^[17] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\phi (x_{i})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta }|x_{34}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{13}|^{2\Delta }|x_{24}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{14}|^{2\Delta }|x_{23}|^{2\Delta }}}.}$

Например, если два скалярных первичных поля такие, что (что, в частности, имеет место, если ), мы имеем четырехточечную функцию ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$ ${\displaystyle \langle \phi _{1}\phi _{2}\rangle =0}$ ${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}}$

${\displaystyle {\Big \langle }\phi _{1}(x_{1})\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2}(x_{4}){\Big \rangle }={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta _{1}}|x_{34}|^{2\Delta _{2}}}}.}$

Теория среднего поля — это общее название конформных теорий поля, построенных на основе обобщенных свободных полей. Например, теория среднего поля может быть построена на основе одного скалярного первичного поля . Тогда эта теория содержит поля-потомки и поля, которые появляются в OPE . Появляющиеся первичные поля можно определить путем разложения четырехточечной функции на конформные блоки: ^[17] их конформные размерности принадлежат : в теории среднего поля конформная размерность сохраняется по модулю целых чисел. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \phi }$ ${\displaystyle \phi \phi }$ ${\displaystyle \langle \phi \phi \phi \phi \rangle }$ ${\displaystyle 2\Delta +2\mathbb {N} }$

Аналогично можно построить теории среднего поля, исходя из поля с нетривиальным лоренцевым спином. Например, 4d- теория Максвелла (в отсутствие полей заряженной материи) представляет собой теорию среднего поля, построенную на основе антисимметричного тензорного поля с масштабной размерностью . ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Delta =2}$

Теории среднего поля имеют лагранжево описание в терминах квадратичного действия, включающего лапласиан, возведенный в произвольную действительную степень (которая определяет масштабную размерность поля). Для общего масштабного измерения степень лапласиана нецелая. Соответствующая теория среднего поля в этом случае является нелокальной (например, она не имеет сохраняющегося оператора тензора напряжений). ^{[ нужна цитата ]}

Критическая модель Изинга

Критическая модель Изинга — это критическая точка модели Изинга на гиперкубической решетке в двух или трех измерениях. Он имеет глобальную симметрию, соответствующую переворачиванию всех спинов. Двумерная критическая модель Изинга включает минимальную модель Вирасоро , которую можно решить точно. В размерах нет Ising CFT . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(4,3)}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

Критическая модель Поттса

Критическая модель Поттса с цветами представляет собой унитарную КТП, инвариантную относительно группы перестановок . Это обобщение критической модели Изинга, соответствующей . Критическая модель Поттса существует в различных размерах в зависимости от . ${\displaystyle q=2,3,4,\cdots }$ ${\displaystyle S_{q}}$ ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle q}$

Критическая модель Поттса может быть построена как континуальный предел модели Поттса на d -мерной гиперкубической решетке. В переформулировке Фортуина-Кастеляна в терминах кластеров модель Поттса может быть определена для , но она не является унитарной, если не является целым числом. ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle q}$

Критическая модель O(N)

Критическая модель O(N) является инвариантом CFT относительно ортогональной группы . Для любого целого числа оно существует как взаимодействующая, унитарная и компактная КТП в измерениях (а также в двух измерениях). Это обобщение критической модели Изинга, которая соответствует O(N) CFT при . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N=1}$

O(N) CFT может быть построена как континуальный предел решеточной модели со спинами, которые являются N -векторами, обсуждаемыми здесь .

Альтернативно, критическая модель может быть построена как предел фиксированной точки Вильсона-Фишера в размерах. При фиксированная точка Вильсона-Фишера становится тензорным произведением свободных скаляров с размерностью . Ибо рассматриваемая модель не унитарна. ^[18] ${\displaystyle O(N)}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 1}$ ${\displaystyle d=4-\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta =1}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Когда N велико, модель O(N) можно решить пертурбативно в разложении 1/N с помощью преобразования Хаббарда – Стратоновича . В частности, хорошо понятен предел критической модели O(N). ${\displaystyle N\to \infty }$

Конформные калибровочные теории

Некоторые конформные теории поля в трех и четырех измерениях допускают лагранжево описание в форме калибровочной теории , как абелевой, так и неабелевой. Примерами таких КФТ являются конформная КЭД с достаточным количеством заряженных полей в или фиксированная точка Бэнкса-Закса в . ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle d=4}$

Приложения

Непрерывные фазовые переходы

Непрерывные фазовые переходы (критические точки) систем классической статистической физики с пространственными размерностями D часто описываются евклидовыми конформными теориями поля. Необходимым условием для этого является то, что критическая точка должна быть инвариантной относительно пространственных вращений и перемещений. Однако этого условия недостаточно: некоторые исключительные критические точки описываются масштабно-инвариантными, но не конформно-инвариантными теориями. Если система классической статистической физики является положительной по отражению, соответствующая евклидова КТФ, описывающая ее критическую точку, будет унитарной.

Непрерывные квантовые фазовые переходы в системах конденсированного вещества с D пространственными измерениями могут быть описаны лоренцевыми D+1- мерными конформными теориями поля (связанными вращением Вика с евклидовыми КТМ в D+1 измерениях). Помимо трансляционной и вращательной инвариантности, дополнительным необходимым условием для этого является то, что динамический критический показатель z должен быть равен 1. КТП, описывающие такие квантовые фазовые переходы (в отсутствие закаленного беспорядка), всегда унитарны.

Струнная теория

Мировое описание теории струн включает двумерную CFT, связанную с динамической двумерной квантовой гравитацией (или супергравитацией, в случае теории суперструн). Согласованность моделей теории струн накладывает ограничения на центральный заряд этой CFT, который должен составлять c = 26 в теории бозонных струн и c = 10 в теории суперструн. Координаты пространства-времени, в котором живет теория струн, соответствуют бозонным полям этой КТМ.

Переписка AdS/CFT

Конформные теории поля играют заметную роль в соответствии AdS/CFT , в котором теория гравитации в антидеситтеровском пространстве (AdS) эквивалентна конформной теории поля на границе AdS. Яркими примерами являются суперсимметричная теория Янга–Миллса с d  = 4, N = 4 , которая двойственна теории струн типа IIB на AdS ₅  × S ⁵ , и супертеория d  = 3, N  = 6 , двойственная теории струн Черна – Саймонса с d = 3, N = 6. М-теория на AdS ₄  × S ⁷ . (Приставка «супер» обозначает суперсимметрию , N обозначает степень расширенной суперсимметрии, которой обладает теория, а d — количество измерений пространства-времени на границе.)

Смотрите также

• Логарифмическая конформная теория поля
• Переписка AdS/CFT
• Расширение продукта оператора
• Критическая точка
• Граничная конформная теория поля
• Основное поле
• Суперконформная алгебра
• Конформная алгебра
• Конформный бутстрап
• История конформной теории поля

Рекомендации

1. Пол Гинспарг (1989), Прикладная конформная теория поля . arXiv : hep-th/9108028. Опубликовано в Ecole d'Eté de Physique Théorique: Champs, cordes et phénomènes critiques/Поля, струны и критические явления (Les Houches), изд. Э. Брезин и Дж. Зинн-Джастин , Elsevier Science Publishers BV
2. Полчински, Джозеф (1988). «Масштаб и конформная инвариантность в квантовой теории поля». Ядерная физика Б . Эльзевир Б.В. 303 (2): 226–236. Бибкод : 1988NuPhB.303..226P. дои : 10.1016/0550-3213(88)90179-4. ISSN  0550-3213.
3. Одним из физических примеров является теория упругости в двух и трех измерениях (также известная как теория векторного поля без калибровочной инвариантности). См. Рива В., Карди Дж. (2005). «Масштаб и конформная инвариантность в теории поля: физический контрпример». Физ. Летт. Б. _ 622 (3–4): 339–342. arXiv : hep-th/0504197 . Бибкод : 2005PhLB..622..339R. doi :10.1016/j.physletb.2005.07.010. S2CID  119175109.
4. Белавин, А.А.; Поляков А.М.; Замолодчиков, А.Б. (1984). «Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля» (PDF) . Ядерная физика Б . 241 (2): 333–380. Бибкод : 1984NuPhB.241..333B. дои : 10.1016/0550-3213(84)90052-X. ISSN  0550-3213.
5. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , 1997, ISBN 0-387-94785-X 
6. М. А. Раджабпур (2011). «Конформная симметрия в нелокальных теориях поля». JHEP . 06 (76): 76. arXiv : 1103.3625 . Бибкод : 2011JHEP...06..076R. doi : 10.1007/JHEP06(2011)076. S2CID  118397215.
7. Замолодчиков, А.Б. (1986). ««Необратимость» потока ренормгруппы в двумерной теории поля» (PDF) . Письмо в ЖЭТФ . 43 : 730–732. Бибкод : 1986JETPL..43..730Z. Архивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2015 г. Проверено 03 мая 2021 г.
8. Люшер, М.; Мак, Г. (1975). «Глобальная конформная инвариантность в квантовой теории поля». Связь в математической физике . 41 (3): 203–234. Бибкод : 1975CMaPh..41..203L. дои : 10.1007/BF01608988. ISSN  0010-3616. S2CID  120910626.
9. Пенедонес, Жуан; Тревизани, Эмилио; Ямадзаки, Масахито (2016). «Рекурсивные отношения для конформных блоков». Журнал физики высоких энергий . 2016 (9): 70. arXiv : 1509.00428 . Бибкод : 2016JHEP...09..070P. дои : 10.1007/JHEP09(2016)070 . ISSN  1029-8479.
10. Франческо, Филипп (1997). Конформная теория поля. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 104. ИСБН 978-1-4612-2256-9.
11. Польша, Дэвид; Рычков, Слава; Вичи, Алессандро (2019). «Конформный бутстрап: теория, численные методы и приложения». Обзоры современной физики . 91 (1): 15002. arXiv : 1805.04405 . Бибкод : 2019RvMP...91a5002P. doi : 10.1103/RevModPhys.91.015002. ISSN  0034-6861. S2CID  119317682.
12. Паппадопуло, Дуччио; Рычков, Слава; Эспин, Джонни; Раттацци, Риккардо (31 августа 2012 г.). «Сходимость разложения операторного произведения в конформной теории поля». Физический обзор D . 86 (10): 105043. arXiv : 1208.6449v3 . Бибкод : 2012PhRvD..86j5043P. doi : 10.1103/PhysRevD.86.105043. S2CID  119155687.
13. Исаченков, Михаил; Шомерус, Волкер (2018). «Интегрируемость конформных блоков. Часть I. Теория рассеяния Калоджеро-Сазерленда». Журнал физики высоких энергий . 2018 (7): 180. arXiv : 1711.06609 . Бибкод : 2018JHEP...07..180I. дои : 10.1007/JHEP07(2018)180 . ISSN  1029-8479.
14. Биндер, Дэймон; Рычков, Слава (2020), «Разработка категорий в решеточных моделях и квантовой теории поля, или понимание симметрии O (N) с нецелым N», Журнал физики высоких энергий , 2020 (4): 117, arXiv : 1911.07895 , Бибкод : 2020JHEP...04..117B, номер doi : 10.1007/JHEP04(2020)117, S2CID  208158396
15. Леви, Т.; Оз, Ю. (2018). «Конформные теории поля Лиувилля в высших измерениях». JHEP . 1806 (6): 119. arXiv : 1804.02283 . Бибкод : 2018JHEP...06..119L. дои : 10.1007/JHEP06(2018)119. S2CID  119441506.
16. Цзи, Яо; Манашов, Александр Н (2018). «О операторном смешивании в фермионных КТМ в нецелочисленном измерении». Физический обзор . D98 (10): 105001. arXiv : 1809.00021 . Бибкод : 2018PhRvD..98j5001J. doi : 10.1103/PhysRevD.98.105001. S2CID  59401427.
17. Фитцпатрик, А. Лиам; Каплан, Джаред; Польша, Дэвид; Симмонс-Даффин, Дэвид (2013). «Аналитический бутстрап и локальность супергоризонта AdS». Журнал физики высоких энергий . 2013 (12): 004. arXiv : 1212.3616 . Бибкод : 2013JHEP...12..004F. дои : 10.1007/jhep12(2013)004. ISSN  1029-8479. S2CID  45739036.
18. Хогерворст, Маттейс; Рычков, Слава; ван Рис, Балт К. (20 июня 2016 г.). «Нарушение унитарности в неподвижной точке Вильсона-Фишера в измерениях 4 - ε». Физический обзор D . 93 (12): 125025. arXiv : 1512.00013 . Бибкод : 2016PhRvD..93l5025H. doi : 10.1103/PhysRevD.93.125025. ISSN  2470-0010. S2CID  55817425.

дальнейшее чтение

• Рычков, Слава (2016). «Лекции EPFL по конформной теории поля в D ≥ 3 измерениях». SpringerBriefs по физике . arXiv : 1601.05000 . дои : 10.1007/978-3-319-43626-5. ISBN 978-3-319-43625-8. S2CID  119192484.
• Мартин Шоттенлохер, Математическое введение в конформную теорию поля , Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 1997. ISBN 3-540-61753-1 , 2-е издание 2008 г., ISBN 978-3-540-68625-5 .  

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с конформной теорией поля, на Викискладе?