Конформное векторное поле Киллинга

Вектор поля в конформной геометрии

В конформной геометрии конформное векторное поле Киллинга на многообразии размерности n с (псевдо)римановой метрикой (также называемое конформным вектором Киллинга, CKV или конформной колинеацией) — это векторное поле, поток которого (локально определенный) определяет конформные преобразования , то есть сохраняет с точностью до масштаба и сохраняет конформную структуру. Несколько эквивалентных формулировок, называемых конформным уравнением Киллинга , существуют в терминах производной Ли потока, например, для некоторой функции на многообразии. Поскольку существует конечное число решений, задающих конформную симметрию этого пространства, но в двух измерениях существует бесконечность решений . Имя Киллинга относится к Вильгельму Киллингу , который первым исследовал векторные поля Киллинга . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n\neq 2}$

Плотный метрический тензор и конформные векторы Киллинга

Вектор является векторным полем Киллинга тогда и только тогда, когда его поток сохраняет метрический тензор (строго говоря, для каждого компактного подмножества многообразия поток должен быть определен только для конечного времени). Формулируя это математически, является Киллингом тогда и только тогда, когда он удовлетворяет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0.}$

где — производная Ли. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

В более общем смысле, определим w -векторное поле Киллинга как векторное поле, (локальный) поток которого сохраняет уплотненную метрику , где — объемная плотность, определяемая (т.е. локально ), а — ее вес. Обратите внимание, что векторное поле Киллинга сохраняет и, таким образом, автоматически удовлетворяет этому более общему уравнению. Также обратите внимание, что — уникальный вес, который делает комбинацию инвариантной при масштабировании метрики. Следовательно, в этом случае условие зависит только от конформной структуры . Теперь является w -векторным полем Киллинга тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\mu _{g}^{w}}$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle w=-2/n}$ ${\displaystyle g\mu _{g}^{w}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\left(g\mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w-1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.}$

Так как это эквивалентно ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g.}$

Взяв следы обеих сторон, мы заключаем . Следовательно, для , обязательно и w -векторное поле Киллинга является просто обычным векторным полем Киллинга, поток которого сохраняет метрику. Однако для , поток должен сохранять только конформную структуру и является, по определению, конформным векторным полем Киллинга . ${\displaystyle 2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)}$ ${\displaystyle w\neq -2/n}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (X)=0}$ ${\displaystyle w=-2/n}$ ${\displaystyle X}$

Эквивалентные формулировки

Следующие значения эквивалентны

1. ${\displaystyle X}$— конформное векторное поле Киллинга,
2. (Локально определенный) поток сохраняет конформную структуру, ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatorname {div} (X)g,}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$для некоторой функции ${\displaystyle \lambda .}$

Обсуждение выше доказывает эквивалентность всех, кроме, казалось бы, более общей последней формы. Однако, последние две формы также эквивалентны: взятие следов показывает, что обязательно . ${\displaystyle \lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)}$

Последняя форма ясно показывает, что любой вектор Киллинга также является конформным вектором Киллинга, причем ${\displaystyle \lambda \cong 0.}$

Конформное уравнение Киллинга

Используя это , где — производная Леви-Чивита (она же ковариантная производная), а — двойственная 1-форма (она же ассоциированный ковариантный вектор, он же вектор с пониженными индексами), а — проекция на симметричную часть, можно записать конформное уравнение Киллинга в абстрактной индексной нотации как ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm {symm} }}$

${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c}.}$

Другая индексная нотация для записи конформных уравнений Киллинга:

${\displaystyle X_{a;b}+X_{b;a}={\frac {2}{n}}g_{ab}X^{c}{}_{;c}.}$

Примеры

Плоское пространство

В -мерном плоском пространстве, то есть евклидовом пространстве или псевдоевклидовом пространстве , существуют глобально плоские координаты, в которых у нас есть постоянная метрика, где в пространстве с сигнатурой у нас есть компоненты . В этих координатах компоненты связности обращаются в нуль, поэтому ковариантная производная является производной координат. Конформное уравнение Киллинга в плоском пространстве — это Решения конформного уравнения Киллинга для плоского пространства включают решения уравнения Киллинга для плоского пространства, обсуждаемые в статье о векторных полях Киллинга. Они порождают группу Пуанкаре изометрий плоского пространства. Рассматривая анзац , мы удаляем антисимметричную часть из , поскольку это соответствует известным решениям, и мы ищем новые решения. Тогда симметрично. Из этого следует, что это дилатация , с для вещественного числа , и соответствующим вектором Киллинга . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$ $${\displaystyle \partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }={\frac {2}{n}}\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }X^{\rho }.}$$ ${\displaystyle X^{\mu }=M^{\mu \nu }x_{\nu },}$ ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M_{\nu }^{\mu }=\lambda \delta _{\nu }^{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X^{\mu }=\lambda x^{\mu }}$

Из общего решения вытекают дополнительные генераторы, известные как специальные конформные преобразования , заданные формулой ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X_{\mu }=c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho },}$

где бесследовая часть обращается в нуль , следовательно, может быть параметризована как . ${\displaystyle c_{\mu \nu \rho }}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle c^{\mu }{}_{\mu \nu }=b_{\nu }}$

Вместе трансляции, преобразования Лоренца, дилатации и специальные конформные преобразования составляют конформную алгебру, которая порождает конформную группу псевдоевклидова пространства. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Аффинное векторное поле
• Конформный тензор Киллинга
• Коллинеация кривизны
• многообразие Эйнштейна
• Гомотетическое векторное поле
• Инвариантный дифференциальный оператор
• Уничтожение векторного поля
• Коллинеация материи
• Симметрии пространства-времени

Ссылки

1. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , 1997, ISBN  0-387-94785-X

Дальнейшее чтение

• Уолд, Р. М. (1984). Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета.