Индуцированное представление

В теории групп индуцированное представление — это представление группы $G$ , которое строится с использованием известного представления подгруппы H. $При$ наличии представления H индуцированное представление является, в некотором смысле, «наиболее общим» представлением $G$ , которое расширяет заданное. Поскольку часто легче найти представления меньшей группы $H,$ $чем$ G $,$ операция формирования индуцированных представлений является важным инструментом для построения новых представлений .

Индуцированные представления были первоначально определены Фробениусом для линейных представлений конечных групп . Идея никоим образом не ограничивается случаем конечных групп, но теория в этом случае ведет себя особенно хорошо.

Конструкции

Алгебраический

Пусть $G$ — конечная группа, а $H —$ любая подгруппа группы $G.$ Кроме того, пусть $(π, V)$ — представление группы $H.$ Пусть $n = [G : H]$ — индекс группы $H$ в $G$ , а $g 1, ..., g n$ — полный набор представителей в $G$ левых смежных классов в $G / H$ . Индуцированное представление $Ind Г Х π$ можно рассматривать как действующее в следующем пространстве:

W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.

Здесь каждый $g i V$ является изоморфной копией векторного пространства V, элементы которого записываются как $g i v$ с $v \in V$ . Для каждого g в $G$ и каждого g _i существует h _i в $H$ и j ( i ) в {1, ..., n } такие, что $g g i = g j (i) h i$ . (Это просто другой способ сказать, что $g 1, ..., g n$ является полным набором представителей.) Через индуцированное представление $G$ действует на $W$ следующим образом:

g\cdot \sum _{i=1}^{n}g_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}g_{j(i)}\pi (h_{i})v_{i}

где для каждого i . $v_{i}\in V$

В качестве альтернативы можно построить индуцированные представления путем расширения скаляров : любое K- линейное представление группы H можно рассматривать как модуль V над групповым кольцом K [ H ]. Затем мы можем определить $\пи$

\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.

Эту последнюю формулу можно также использовать для определения $Ind. Г Х π$ для любой группы $G$ и подгруппы $H$ , без требования какой-либо конечности.^[1]

Примеры

Для любой группы индуцированное представление тривиального представления тривиальной подгруппы является правильным регулярным представлением . В более общем случае индуцированное представление тривиального представления любой подгруппы является перестановочным представлением на смежных классах этой подгруппы.

Индуцированное представление одномерного представления называется мономиальным представлением , потому что его можно представить в виде мономиальных матриц . Некоторые группы обладают тем свойством, что все их неприводимые представления являются мономиальными, так называемые мономиальные группы .

Характеристики

Если $H$ является подгруппой группы $G$ , то каждое $K$ -линейное представление $ρ$ группы $G$ можно рассматривать как $K$ $-$ линейное представление $H$ ; это известно как ограничение ρ на $H$ и обозначается $Res(ρ)$ . В случае конечных групп и конечномерных представлений теорема Фробениуса о взаимности утверждает, что при заданных представлениях $σ$ группы $H$ и $ρ$ группы $G$ пространство $H$ - эквивариантных линейных отображений из $σ$ в $Res($ $ρ$ $)$ имеет ту же размерность над K, что и пространство $G$ -эквивариантных линейных отображений из $Ind($ $σ$ $)$ в $ρ$ . ^[2]

Универсальное свойство индуцированного представления, которое справедливо также для бесконечных групп, эквивалентно присоединению, утверждаемому в теореме взаимности. Если — представление H и — представление G , индуцированное , то существует $H$ -эквивариантное линейное отображение со следующим свойством: для любого представления $(ρ,$ $W$ $)$ группы $G$ и $H$ -эквивариантного линейного отображения существует единственное $G$ -эквивариантное линейное отображение с . Другими словами, — единственное отображение, делающее следующую диаграмму коммутативной : ^[3] $(\сигма ,V)$ $(\operatorname {Ind} (\sigma ),{\hat {V}})$ $\сигма$ $j:V\to {\hat {V}}$ $f:V\to W$ ${\hat {f}}: {\hat {V}}\to W$ ${\hat {f}}j=f$ ${\шляпа {ж}}$

Формула Фробениуса утверждает, что если $χ$ — характер представления $σ$ , заданный формулой $χ (h) = Tr σ (h)$ , то характер $ψ$ индуцированного представления задается формулой

\psi (g)=\sum _{x\in G/H}{\widehat {\chi }}\left(x^{-1}gx\right),

где сумма берется по системе представителей левых смежных классов $H$ в $G$ и

{\widehat {\chi }}(k)={\begin{cases}\chi (k)&{\text{if}}k\in H\\0&{\text{inotherwise}}\end{cases}}

Аналитический

Если $G$ — локально компактная топологическая группа (возможно, бесконечная), а $H$ — замкнутая подгруппа , то существует общая аналитическая конструкция индуцированного представления. Пусть $(π, V)$ — непрерывное унитарное представление $H$ в гильбертовом пространстве V. Тогда мы можем предположить:

\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ для всех }}h\in H,\;g\in G{\text{ и }}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\}.

Здесь $φ\in L 2 (G / H)$ означает: пространство G / H несет подходящую инвариантную меру, и поскольку норма $φ(g)$ постоянна на каждом левом смежном классе H , мы можем проинтегрировать квадрат этих норм по G / H и получить конечный результат. Группа $G$ действует на индуцированном пространстве представления посредством трансляции, то есть, $(g .φ)(x)=φ(g -1 x)$ для g,x ∈ G и $φ\inInd Г Х π$ .

Эта конструкция часто модифицируется различными способами, чтобы соответствовать необходимым приложениям. Распространенная версия называется нормализованной индукцией и обычно использует те же обозначения. Определение пространства представления следующее:

\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G}^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\text{ и }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}.

Здесь $Δ G, Δ H$ — модулярные функции от $G$ и $H$ соответственно. С добавлением нормализующих множителей этот функтор индукции переводит унитарные представления в унитарные представления.

Еще одна вариация индукции называется компактной индукцией . Это просто стандартная индукция, ограниченная функциями с компактным носителем . Формально она обозначается как ind и определяется как:

\operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi {\text{ has compact support mod }}H\right\}.

Обратите внимание, что если $G / H$ компактно, то Ind и ind являются одним и тем же функтором.

Геометрический

Предположим, что $G$ $—$ топологическая группа , а $H$ — замкнутая подгруппа G. Также предположим, что $π$ — представление $H$ над векторным пространством $V.$ Тогда $G$ действует на произведение $G$ $\times$ $V$ следующим образом:

g.(g',x)=(gg',x)

где $g$ и $g'$ являются элементами $G$ , а $x$ является элементом $V$ .

Определим на $G \times V$ отношение эквивалентности

(g,x)\sim (gh,\pi (h^{-1})(x)){\text{ for all }}h\in H.

Обозначим класс эквивалентности через . Заметим, что это отношение эквивалентности инвариантно относительно действия $G$ ; следовательно, $G$ действует на $($ $G$ $\times$ $V$ $)/~$ . Последнее является векторным расслоением над факторпространством $G$ $/$ $H$ с $H$ в качестве структурной группы и $V$ в качестве слоя. Пусть $W$ будет пространством сечений этого векторного расслоения. Это векторное пространство, лежащее в основе индуцированного представления $Ind$ $(g,x)$ $[g,x]$ $\phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim$ $Г Х π$ . Группа $G$ действует на сечении,заданномследующим образом: $\phi :G/H\to {\mathcal {L}}_{W}$ $gH\mapsto [g,\phi _{g}]$

(g\cdot \phi )(g'H)=[g',\phi _{g^{-1}g'}]\ {\text{ for }}g,g'\in G.

Системы импримитивности

В случае унитарных представлений локально компактных групп индукционную конструкцию можно сформулировать в терминах систем импримитивности .

Теория лжи

В теории Ли чрезвычайно важным примером является параболическая индукция : индуцирование представлений редуктивной группы из представлений ее параболических подгрупп . Это приводит, через философию касповых форм , к программе Ленглендса .

Смотрите также

Примечания

^ Браун, Когомологии групп, III.5
^ Серр, Жан-Пьер (1926–1977). Линейные представления конечных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. OCLC 2202385.
^ Теория 2.1 от Миллер, Элисон. "Математика 221: заметки по алгебре от 20 ноября". Архивировано из оригинала 01.08.2018 . Получено 01.08.2018 .

Ссылки

Альперин, JL ; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Спрингер-Верлаг . стр. 164–177. ISBN 0-387-94526-1.
Фолланд, ГБ (1995). Курс абстрактного гармонического анализа . CRC Press . С. 151–200. ISBN 0-8493-8490-7.
Каниут, Э.; Тейлор, К. (2013). Индуцированные представления локально компактных групп . Cambridge University Press . ISBN 9780521762267.
Mackey, GW (1951), «Об индуцированных представлениях групп», American Journal of Mathematics , 73 (3): 576–592, doi :10.2307/2372309, JSTOR 2372309
Mackey, GW (1952), «Индуцированные представления локально компактных групп I», Annals of Mathematics , 55 (1): 101–139, doi :10.2307/1969423, JSTOR 1969423
Mackey, GW (1953), «Индуцированные представления локально компактных групп II: теорема взаимности Фробениуса», Annals of Mathematics , 58 (2): 193–220, doi :10.2307/1969786, JSTOR 1969786
Сенгупта, Амбар Н. (2012). "Глава 8: Индуцированные представления". Представление конечных групп, полупростое введение. Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC 875741967.
Варадараджан, ВС (2007). "Глава VI: Системы импритивности". Геометрия квантовой теории. Springer. ISBN 978-0-387-49385-5.