Теорема о спин-статистике

Теорема квантовой механики

Теорема о статистике спина доказывает, что наблюдаемая связь между собственным спином частицы ( угловым моментом , не связанным с орбитальным движением) и статистикой квантовых частиц в совокупности таких частиц является следствием математики квантовой механики . В единицах приведенной постоянной Планка ħ все частицы , которые движутся в трех измерениях , имеют либо целочисленный спин и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна , либо полуцелый спин и подчиняются статистике Ферми-Дирака . ^{[1] [2]}

Связь спин-статистики

Все известные частицы подчиняются либо статистике Ферми-Дирака, либо статистике Бозе-Эйнштейна. Собственный спин частицы всегда предсказывает статистику набора таких частиц и наоборот: ^[3]

• Частицы с целым спином - это бозоны со статистикой Бозе-Эйнштейна.
• Частица с полуцелым спином представляет собой фермионы со статистикой Ферми-Дирака.

Теорема спин-статистики показывает, что математическая логика квантовой механики предсказывает или объясняет этот физический результат. ^[4]

Последствия

Фермионные поля

Теорема о статистике спина подразумевает, что на частицы с полуцелым спином распространяется принцип исключения Паули , а на частицы с целым спином - нет. В любой момент времени только один фермион может занимать данное квантовое состояние , при этом число бозонов, которые могут занимать квантовое состояние, не ограничено. Основными строительными блоками материи, такими как протоны , нейтроны и электроны , являются фермионы. Частицы, такие как фотон , которые передают силы между частицами материи, являются бозонами.

Распределение Ферми -Дирака , описывающее фермионы, приводит к интересным свойствам. Поскольку только один фермион может занимать данное квантовое состояние, самый низкий одночастичный энергетический уровень для фермионов со спином 1/2 содержит не более двух частиц со спинами частиц, ориентированными противоположно. Таким образом, даже при абсолютном нуле система из более чем двух фермионов в этом случае все еще обладает значительным количеством энергии. В результате такая фермионная система оказывает внешнее давление . Даже при ненулевых температурах такое давление может существовать. Это давление вырождения удерживает некоторые массивные звезды от коллапса под действием гравитации. Посмотрите на белого карлика , нейтронную звезду и черную дыру .

Бозонные поля

Есть несколько интересных явлений, вытекающих из этих двух типов статистики. Распределение Бозе -Эйнштейна , описывающее бозоны, приводит к конденсации Бозе-Эйнштейна . Ниже определенной температуры большинство частиц в бозонной системе будут занимать основное состояние (состояние с наименьшей энергией). Могут возникнуть необычные свойства, такие как сверхтекучесть .

Фон

Наивно, спин, свойство углового момента, присущее частице, не было бы связано с фундаментальными свойствами совокупности таких частиц. Однако это неразличимые частицы: любое физическое предсказание, касающееся множества неразличимых частиц, не должно меняться при обмене частицами.

Квантовые состояния и неразличимые частицы

В квантовой системе физическое состояние описывается вектором состояния . Пара различных векторов состояния физически эквивалентна, если они отличаются только общим фазовым коэффициентом, игнорируя другие взаимодействия. Пара таких неразличимых частиц, как эта, имеет только одно состояние. Это означает, что если позиции частиц меняются местами (т. е. они подвергаются перестановке), это идентифицирует не новое физическое состояние, а скорее состояние, соответствующее исходному физическому состоянию. Фактически невозможно сказать, какая частица в каком положении находится.

Хотя физическое состояние при обмене положениями частиц не меняется, вектор состояния может изменить знак в результате обмена. Поскольку эта смена знака является лишь общей фазой, на физическое состояние это не влияет.

Важным ингредиентом в доказательстве связи спин-статистика является теория относительности, согласно которой физические законы не меняются при преобразованиях Лоренца . Операторы поля по определению преобразуются при преобразованиях Лоренца в соответствии со спином создаваемой ими частицы.

Кроме того, предположение (известное как микропричинность) о том, что разделенные в пространстве поля либо коммутируют, либо антикоммутируют, может быть сделано только для релятивистских теорий с временным направлением. В противном случае идея пространственного подобия бессмысленна. Однако доказательство предполагает рассмотрение евклидовой версии пространства-времени, в которой направление времени рассматривается как пространственное, как сейчас будет объяснено.

Преобразования Лоренца включают трехмерные вращения и повышения . Ускорение переходит в систему отсчета с другой скоростью и математически похоже на вращение во времени. Путем аналитического продолжения корреляционных функций квантовой теории поля временная координата может стать мнимой , а затем ускорения станут вращениями. Новое «пространство-время» имеет только пространственные направления и называется евклидовым .

Обменная симметрия или симметрия перестановок

Бозоны — это частицы, волновая функция которых симметрична при таком обмене или перестановке, поэтому, если мы поменяем частицы местами, волновая функция не изменится. Фермионы — это частицы, волновая функция которых антисимметрична, поэтому при такой замене волновая функция получает знак минус, а это означает, что амплитуда двух одинаковых фермионов, чтобы занять одно и то же состояние, должна быть равна нулю. Это принцип Паули : два одинаковых фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Это правило не справедливо для бозонов.

В квантовой теории поля состояние или волновая функция описывается операторами поля , действующими в некотором базовом состоянии, называемом вакуумом . Чтобы операторы могли проецировать симметричную или антисимметричную составляющую создающей волновой функции, они должны иметь соответствующий закон коммутации. Оператор

${\displaystyle \iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy}$

(с оператором и числовой функцией с комплексными значениями) создает двухчастичное состояние с волновой функцией и в зависимости от коммутационных свойств полей имеют значение либо только антисимметричные части, либо симметричные части. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \psi (x,y)}$

Предположим, что и два оператора имеют место одновременно; в более общем смысле, они могут иметь пространствоподобное разделение, как поясняется ниже. ${\displaystyle x\neq y}$

Если поля коммутируют , это означает, что выполняется следующее:

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x),}$

тогда вклад вносит только симметричная часть , так что , и поле будет создавать бозонные частицы. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}$

С другой стороны, если поля антикоммутируют , это означает, что они обладают свойством, которое ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),}$

тогда вклад вносит только антисимметричная часть , так что , и частицы будут фермионными. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x,y)=-\psi (y,x)}$

Доказательства

Элементарное объяснение теоремы спин-статистики не может быть дано, несмотря на то, что эту теорему так просто сформулировать. В «Фейнмановских лекциях по физике» Ричард Фейнман сказал, что это, вероятно, означает, что у нас нет полного понимания лежащего в основе этого фундаментального принципа. ^[3]

Первое доказательство было сформулировано в 1939 году Маркусом Фирцем ^[5] и более систематически переработано Вольфгангом Паули . ^[6] Фирц и Паули аргументировали свой результат, перечисляя все теории свободного поля, на которые распространяется требование наличия квадратичных форм для локально коммутирующих ^{[ необходимо пояснение ]} наблюдаемых, включая положительно определенную плотность энергии. Более концептуальный аргумент был предоставлен Джулианом Швингером в 1950 году. Ричард Фейнман продемонстрировал это, потребовав унитарности рассеяния при изменении внешнего потенциала ^[7] , что при переводе на язык поля является условием для квадратичного оператора, который связан с потенциалом. . ^[8]

Доказательство Швингера

Этот аргумент принадлежит Джулиану Швингеру . ^[9]

Поворот на π в евклидовой плоскости xt можно использовать для вращения значений вакуумного ожидания полевого продукта из предыдущего раздела. Вращение во времени превращает аргументы предыдущего раздела в теорему спин-статистики.

Доказательство требует следующих предположений:

1. Теория имеет лоренц-инвариантный лагранжиан.
2. Вакуум лоренц-инвариантен.
3. Частица представляет собой локализованное возбуждение. Микроскопически он не прикреплен к струне или доменной стенке.
4. Частица распространяется, а это означает, что она имеет конечную, а не бесконечную массу.
5. Частица является реальным возбуждением, то есть состояния, содержащие эту частицу, имеют положительно определенную норму.

Эти предположения по большей части необходимы, как показывают следующие примеры:

1. Бесспиновое антикоммутационное поле показывает, что бесспиновые фермионы нерелятивистски согласованы. Точно так же теория спинорного коммутирующего поля показывает, что и вращающиеся бозоны тоже.
2. Это предположение может быть ослаблено.
3. В измерениях 2+1 источники теории Черна – Саймонса могут иметь экзотические спины, несмотря на то, что трехмерная группа вращений имеет только целочисленные и полуцелые спиновые представления.
4. Ультралокальное поле может иметь любую статистику независимо от своего спина. Это связано с лоренц-инвариантностью, поскольку бесконечно массивная частица всегда нерелятивистская, а спин не связан с динамикой. Хотя цветные кварки прикреплены к струне КХД и имеют бесконечную массу, соотношение спина и статистики для кварков можно доказать в пределе малых расстояний.
5. Калибровочные призраки представляют собой бесспиновые фермионы, но они включают состояния с отрицательной нормой.

Предположения 1 и 2 подразумевают, что теория описывается интегралом по траекториям, а предположение 3 подразумевает, что существует локальное поле, создающее частицу.

Плоскость вращения включает в себя время, а вращение в плоскости, включающей время в теории Евклида, определяет преобразование CPT в теории Минковского. Если теория описывается интегралом по путям, преобразование CPT переводит состояния в сопряженные состояния, так что корреляционная функция

$${\displaystyle \langle 0|R\phi (x)\phi (-x)|0\rangle }$$

$${\displaystyle \langle 0|RR\phi (x)R\phi (-x)|0\rangle =\pm \langle 0|\phi (-x)R\phi (x)|0\rangle }$$

Где знак зависит от спина, как и раньше. CPT-инвариантность или евклидова вращательная инвариантность корреляционной функции гарантирует, что она равна G ( x ). Так

$${\displaystyle \langle 0|(R\phi (x)\phi (y)-\phi (y)R\phi (x))|0\rangle =0}$$

$${\displaystyle \langle 0|R\phi (x)\phi (y)+\phi (y)R\phi (x)|0\rangle =0}$$

Поскольку операторы разделены пространственно, другой порядок может создавать только состояния, отличающиеся фазой. Аргумент фиксирует фазу как -1 или 1 в зависимости от спина. Поскольку пространственно-подобные разделенные поляризации можно вращать независимо за счет локальных возмущений, фаза не должна зависеть от поляризации в соответствующим образом выбранных координатах поля.

Экспериментальные испытания

В 1987 году Гринберг и Мохапарра предположили, что теорема спиновой статистики может иметь небольшие нарушения. ^{[10] [11]} С помощью очень точных расчетов состояний атома He, которые нарушают принцип запрета Паули , ^[12] Дейламиан, Гилласпи и Келлехер ^[13] искали 1s2s ¹ S ₀ He, используя атомный пучок. спектрометр. Поиск не увенчался успехом с верхним пределом 5×10 ⁻⁶ .

Связь с теорией представлений группы Лоренца

Группа Лоренца не имеет нетривиальных унитарных представлений конечной размерности. Таким образом, кажется невозможным построить гильбертово пространство, в котором все состояния имеют конечный ненулевой спин и положительную лоренц-инвариантную норму. Эта проблема решается разными способами в зависимости от статистики спина частицы.

Для состояния целого спина состояния с отрицательной нормой (известные как «нефизическая поляризация») устанавливаются равными нулю, что делает необходимым использование калибровочной симметрии .

Для состояния полуцелого спина этот аргумент можно обойти, имея фермионную статистику. ^[14]

Квазичастицы анионы в 2 измерениях

В 1982 году физик Фрэнк Вильчек опубликовал исследовательскую работу о возможностях возможных частиц с дробным спином, которые он назвал анионами из-за их способности принимать «любой» спин. ^[15] Он писал, что теоретически было предсказано, что они возникнут в низкоразмерных системах, где движение ограничено менее чем тремя пространственными измерениями. Вильчек описал их статистику вращения как «непрерывную интерполяцию между обычными бозонными и фермионными случаями». ^[15] Эффект стал основой для понимания дробного квантового эффекта Холла . ^{[16] [17]}

Смотрите также

• Парастатистика
• Любая статистика
• Статистика кос

Рекомендации

1. Дирак, Поль Адриен Морис (1 января 1981). Принципы квантовой механики. Кларендон Пресс. п. 149. ИСБН 9780198520115.
2. Паули, Вольфганг (1 января 1980 г.). Общие принципы квантовой механики. Спрингер-Верлаг. ISBN 9783540098423.
3. Фейнман, Ричард П.; Роберт Б. Лейтон; Мэтью Сэндс (1965). Фейнмановские лекции по физике, Vol. 3. Аддисон-Уэсли. п. 4.1. ISBN 978-0-201-02118-9.
4. Сударшан, ЭКГ (май 1968 г.). «Фундаментальная теорема о связи между спином и статистикой». Труды Индийской академии наук - Раздел А. 67 (5): 284–293. дои : 10.1007/BF03049366. ISSN  0370-0089.
5. Маркус Фирц (1939). «Über die relativistische Theorie kräftefreier Teilchen mit beliebigem Spin». Гельветика Физика Акта . 12 (1): 3–37. Бибкод : 1939AcHPh..12....3F. doi : 10.5169/seals-110930.
6. Вольфганг Паули (15 октября 1940 г.). «Связь между вращением и статистикой» (PDF) . Физический обзор . 58 (8): 716–722. Бибкод : 1940PhRv...58..716P. doi : 10.1103/PhysRev.58.716.
7. Ричард Фейнман (1961). Квантовая электродинамика . Основные книги . ISBN 978-0-201-36075-2.
8. Вольфганг Паули (1950). «О связи спина и статистики». Успехи теоретической физики . 5 (4): 526–543. Бибкод : 1950PThPh...5..526P. дои : 10.1143/ptp/5.4.526 .
9. Джулиан Швингер (15 июня 1951 г.). «Квантовая теория полей I». Физический обзор . 82 (6): 914–917. Бибкод : 1951PhRv...82..914S. doi : 10.1103/PhysRev.82.914. S2CID  121971249.. Единственное различие между аргументом в этой статье и аргументом, представленным здесь, состоит в том, что оператор «R» в статье Швингера представляет собой чистое обращение времени, а не операцию CPT, но это то же самое для CP-инвариантных теорий свободного поля, которые все были что Швингер считал.
10. Гринберг, Огайо; Мохапатра, Р.Н. (30 ноября 1987 г.). «Локальная квантовая теория поля о возможном нарушении принципа Паули». Письма о физических отзывах . 59 (22): 2507–2510. doi : 10.1103/PhysRevLett.59.2507. ISSN  0031-9007.
11. Хилборн, Роберт С. (1 апреля 1995 г.). «Ответ на вопрос ♯7 [Теорема о спиновой статистике, Дуайт Э. Нойеншвандер, Am. J. Phys. 62 (11), 972 (1994)]». Американский журнал физики . 63 (4): 298–299. дои : 10.1119/1.17953. ISSN  0002-9505.
12. Дрейк, GWF (1989). «Предсказанные сдвиги энергии для «паронического» гелия». Физ. Преподобный А. 39 (2): 897–899. Бибкод : 1989PhRvA..39..897D. doi : 10.1103/PhysRevA.39.897. PMID  9901315. S2CID  35775478.
13. Деиламиан, К.; и другие. (1995). «Поиск малых нарушений постулата симметризации в возбужденном состоянии гелия». Физ. Преподобный Летт . 74 (24): 4787–4790. Бибкод : 1995PhRvL..74.4787D. doi : 10.1103/PhysRevLett.74.4787. ПМИД  10058599.
14. Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Аддисон-Уэсли . ISBN 0-201-50397-2.
15. Вильчек, Франк (4 октября 1982 г.). «Квантовая механика частиц с дробным спином» (PDF) . Письма о физических отзывах . 49 (14): 957–959. Бибкод : 1982PhRvL..49..957W. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.957.
16. Лафлин, РБ (1 июля 1999 г.). «Нобелевская лекция: дробное квантование». Обзоры современной физики . 71 (4): 863–874. doi : 10.1103/RevModPhys.71.863. ISSN  0034-6861.
17. Мурти, Ганпати; Шанкар, Р. (3 октября 2003 г.). «Гамильтоновы теории дробного квантового эффекта Холла». Обзоры современной физики . 75 (4): 1101–1158. doi : 10.1103/RevModPhys.75.1101. ISSN  0034-6861.

дальнейшее чтение

• Дак, Ян; Сударшан, ЭКГ (1998). «На пути к пониманию теоремы спин-статистики». Американский журнал физики . 66 (4): 284–303. Бибкод : 1998AmJPh..66..284D. дои : 10.1119/1.18860 .
• Стритер, Рэй Ф.; Вайтман, Артур С. (2000). PCT, Spin & Статистика и все такое (5-е изд.). Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-07062-8.
• Джабс, Артур (2010). «Соединение спина и статистики в квантовой механике». Основы физики . 40 (7): 776–792. arXiv : 0810.2399 . Бибкод : 2010FoPh...40..776J. дои : 10.1007/s10701-009-9351-4. S2CID  122488238.

Внешние ссылки

• Хорошее почти доказательство на домашней странице Джона Баэза.
• Анимация трюка с поясом Дирака с двойным поясом, показывающая, что пояса ведут себя как частицы со спином 1/2.
• Анимация варианта трюка с поясом Дирака, показывающая, что частицы со спином 1/2 являются фермионами.