Полуцелое число

Рациональное число, равное целому числу плюс 1/2.

В математике полуцелое число — это число вида

$${\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}},}$$

${\displaystyle n}$

$${\displaystyle 4{\tfrac {1}{2}},\quad 7/2,\quad -{\tfrac {13}{2}},\quad 8.5}$$

полуцелыми числами^{[ нужна цитата ]}

Обратите внимание, что разделение целого числа пополам не всегда дает полуцелое число; это верно только для нечетных целых чисел . По этой причине полуцелые числа также иногда называют полунечетными . Полуцелые числа — это подмножество двоично-рациональных чисел (числ, полученных путем деления целого числа на степень двойки ). ^[1]

Обозначения и алгебраическая структура

Множество всех полуцелых чисел часто обозначается

$${\displaystyle \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.}$$

группу^[2]

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$$

кольцо^[3]кольцо, содержащеедвоичных рациональных чисел ${\displaystyle ~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}\right]}$

Характеристики

• Сумма полуцелых чисел является полуцелым тогда и только тогда, когда она нечетна. Это включает в себя то, что пустая сумма 0 не является полуцелым числом. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$
• Отрицательное значение полуцелого числа — это полуцелое число.
• Мощность множества полуцелых чисел равна мощности целых чисел . Это связано с существованием биекции целых чисел в полуцелые: , где – целое число ${\displaystyle f:x\to x+0.5}$ ${\displaystyle x}$

Использование

Сферическая упаковка

Самая плотная решетчатая упаковка единичных сфер в четырех измерениях (называемая решеткой D 4 ) помещает сферу в каждую точку, координаты которой либо все целые, либо все полуцелые числа. Эта упаковка тесно связана с целыми числами Гурвица : кватернионами , действительные коэффициенты которых либо все целые, либо все полуцелые числа. ^[4]

Физика

В физике принцип исключения Паули возникает из определения фермионов как частиц, спины которых являются полуцелыми числами. ^[5]

Энергетические уровни квантового гармонического осциллятора имеют полуцелые числа, поэтому его самая низкая энергия не равна нулю. ^[6]

Объем сферы

Хотя функция факториала определена только для целочисленных аргументов, ее можно расширить до дробных аргументов с помощью гамма-функции . Гамма-функция для полуцелых чисел является важной частью формулы объёма n - мерного шара радиуса , ^[7] ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.}$$

пи

$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~}$$

двойной факториал ${\displaystyle n!!}$

Рекомендации

1. Сабин, Малькольм (2010). Анализ и проектирование одномерных схем подразделения. Геометрия и вычисления. Том. 6. Спрингер. п. 51. ИСБН 9783642136481.
2. Тураев, Владимир Г. (2010). Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий . Исследования Де Грюйтера по математике. Том. 18 (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п. 390. ИСБН 9783110221848.
3. Булос, Джордж; Берджесс, Джон П.; Джеффри, Ричард С. (2002). Вычислимость и логика. Издательство Кембриджского университета. п. 105. ИСБН 9780521007580.
4. Баэз, Джон К. (2005). «Обзор кватернионов и октонионов: их геометрия, арифметика и симметрия Джона Х. Конвея и Дерека А. Смита». Бюллетень Американского математического общества (рецензия на книгу). 42 : 229–243. дои : 10.1090/S0273-0979-05-01043-8 .
5. Месарош, Питер (2010). Вселенная высоких энергий: события сверхвысоких энергий в астрофизике и космологии. Издательство Кембриджского университета. п. 13. ISBN 9781139490726.
6. Фокс, Марк (2006). Квантовая оптика: Введение. Оксфордская магистерская серия по физике. Том. 6. Издательство Оксфордского университета. п. 131. ИСБН 9780191524257.
7. «Уравнение 5.19.4». Цифровая библиотека математических функций NIST . Национальный институт стандартов и технологий США . 6 мая 2013 г. Выпуск 1.0.6.