Экспоненциальная функция — это математическая функция , обозначаемая или (где аргумент x записывается как показатель степени ). Если не указано иное, этот термин обычно относится к положительной функции действительной переменной , хотя его можно распространить на комплексные числа или обобщить на другие математические объекты, такие как матрицы или алгебры Ли . Показательная функция возникла из операции возведения числа в степень (многократного умножения), но различные современные определения позволяют ее строго распространить на все действительные аргументы , включая иррациональные числа . Ее повсеместное появление в чистой и прикладной математике побудило математика Вальтера Рудина считать показательную функцию «самой важной функцией в математике». [1]
Функции для положительных действительных чисел также известны как экспоненциальные функции и удовлетворяют тождеству возведения в степень : Это подразумевает (с множителями) для положительных целых чисел , где , связывая экспоненциальные функции с элементарным понятием возведения в степень. Естественная основа — это вездесущая математическая константа , называемая числом Эйлера . Чтобы отличить ее, ее называют экспоненциальной функцией или естественной экспоненциальной функцией : это уникальная функция действительной переменной с действительным знаком, производная которой равна самой себе и чье значение в точке 0 равно 1 :
для всех и
Отношение для и вещественный или комплексный позволяет выразить общие показательные функции через естественную показательную функцию.
В более общем смысле, особенно в прикладных настройках, любая функция, определяемая
также известна как экспоненциальная функция, поскольку она решает задачу начального значения , то есть скорость ее изменения в каждой точке пропорциональна значению функции в этой точке. Такое поведение моделирует различные явления в биологических, физических и социальных науках, например, неограниченный рост самовоспроизводящегося населения , распад радиоактивного элемента , сложные проценты , начисляемые на финансовый фонд, или растущий объем производственных знаний. .
Показательную функцию также можно определить как степенной ряд , который легко применить к действительным, комплексным числам и даже матрицам. Комплексная показательная функция принимает все комплексные значения, кроме 0, и тесно связана с комплексными тригонометрическими функциями формулой Эйлера :
Благодаря своим более абстрактным свойствам и характеристикам экспоненциальная функция может быть обобщена на гораздо более широкие контексты, такие как квадратные матрицы и группы Ли . Более того, определение дифференциального уравнения можно обобщить на риманово многообразие .
Показательная функция для действительных чисел является биекцией от к интервалу . [2] Его обратной функцией является натуральный логарифм , обозначаемый , [nb 1] , [nb 2] или . В некоторых старых текстах [3] показательная функция называется антилогарифмом .
График имеет восходящий наклон и увеличивается быстрее с увеличением x . [4] График всегда лежит выше оси x , но становится сколь угодно близким к ней при больших отрицательных x ; таким образом, ось x является горизонтальной асимптотой . Уравнение означает, что наклон касательной к графику в каждой точке равен ее координате y в этой точке.
Показательную функцию иногда называют естественной показательной функцией , чтобы отличить ее от других показательных функций. Изучение любой показательной функции легко свести к изучению естественной показательной функции, поскольку по определению для положительного b
Как функции действительной переменной показательные функции однозначно характеризуются тем, что производная такой функции прямо пропорциональна значению функции. Константа пропорциональности этого отношения представляет собой натуральный логарифм по основанию b :
При b > 1 функция возрастает (как показано для b = e и b = 2 ), поскольку делает производную всегда положительной; это часто называют экспоненциальным ростом . При положительном b < 1 функция убывает (как показано для b = 1/2 ); это часто называют экспоненциальным затуханием . Для b = 1 функция постоянна.
Число Эйлера e = 2,71828... [5] является единственной базой, для которой константа пропорциональности равна 1, поскольку , так что функция является собственной производной:
Эта функция, также обозначаемая как exp x , называется «естественной показательной функцией», [6] [7] или просто «показательной функцией». Поскольку любую экспоненциальную функцию, определенную как, можно записать в терминах натуральной экспоненты как , с вычислительной и концептуальной точки зрения удобно свести исследование экспоненциальных функций к этой конкретной функции. Таким образом, естественная экспонента обозначается или
Первое обозначение обычно используется для более простых показателей степени, тогда как второе предпочтительнее, когда показатель степени более сложный и его труднее читать, набранный мелким шрифтом.
Для действительных чисел c и d функция вида также является показательной функцией, поскольку ее можно переписать как
Показательную функцию можно охарактеризовать множеством эквивалентных способов. Обычно его определяют следующим степенным рядом : [1] [8]
Поскольку радиус сходимости этого степенного ряда бесконечен, это определение применимо ко всем комплексным числам; см. § Комплексная плоскость.
Почленное дифференцирование этого степенного ряда показывает, что для всех x , что приводит к другой общей характеристике как единственному решению дифференциального уравнения , которое удовлетворяет начальному условию
Решение обыкновенного дифференциального уравнения с начальным условием с использованием метода Эйлера дает еще одну общую характеристику - формулу предела произведения: [9] [8]
С помощью любого из этих эквивалентных определений можно определить число Эйлера . Затем можно показать, что возведение в степень и показательная функция эквивалентны.
Можно показать, что каждое непрерывное ненулевое решение функционального уравнения для является экспоненциальной функцией в более общем смысле, причем
Показательная функция возникает всякий раз, когда величина растет или убывает со скоростью, пропорциональной ее текущему значению. Одной из таких ситуаций является постоянное начисление процентов , и фактически именно это наблюдение привело Якоба Бернулли в 1683 году [10] к числу, ныне известному как е . Позже, в 1697 году, Иоганн Бернулли изучал исчисление показательной функции. [10]
Если основная сумма в размере 1 приносит проценты по годовой ставке x , начисляемой ежемесячно, то проценты, получаемые каждый месяц, равны Икс/12 раз превышает текущее значение, поэтому каждый месяц общая стоимость умножается на (1 + Икс/12 ) , а значение на конец года равно (1 + Икс/12 ) 12 . Если вместо этого проценты начисляются ежедневно, это становится (1 + Икс/365 ) 365 . Если позволить количеству временных интервалов в году неограниченно расти, это приведет к предельному определению показательной функции, впервые данному Леонардом Эйлером . [9] Это одна из многих характеристик показательной функции ; другие включают ряды или дифференциальные уравнения .
Из любого из этих определений можно показать, что e − x является обратной величиной e x . Например, из определения дифференциального уравнения e x e - x = 1 , когда x = 0 , а его производная с использованием правила произведения равна e x e - x - e x e - x = 0 для всех x , поэтому e x e - x = 1 для всех x .
Из любого из этих определений можно показать, что показательная функция подчиняется основному тождеству возведения в степень . Например, из определения степенного ряда: Это оправдывает обозначение ex для exp x .
Производная ( скорость изменения) показательной функции является самой показательной функцией. В более общем смысле, функция со скоростью изменения, пропорциональной самой функции (а не равной ей), выражается через экспоненциальную функцию. Это свойство функции приводит к экспоненциальному росту или экспоненциальному затуханию .
Показательная функция расширяется до целой функции на комплексной плоскости . Формула Эйлера связывает свои значения при чисто мнимых аргументах с тригонометрическими функциями . Показательная функция также имеет аналоги, у которых аргументом является матрица или даже элемент банаховой алгебры или алгебры Ли .
Важность показательной функции в математике и естественных науках проистекает главным образом из ее свойства как единственной функции, которая равна своей производной и равна 1, когда x = 0 . То есть,
Функции вида ce x для константы c — единственные функции, равные своей производной (по теореме Пикара–Линделёфа ). Другие способы сказать то же самое включают в себя:
Если скорость роста или распада переменной пропорциональна ее размеру — как в случае неограниченного роста населения (см. Мальтузианскую катастрофу ), непрерывно начисляемых процентов или радиоактивного распада — тогда переменную можно записать как константу, умноженную на экспоненциальную функцию времени. . Явно для любой действительной константы k функция f : R → R удовлетворяет условию f ′ = kf тогда и только тогда, когда f ( x ) = ce kx для некоторой константы c . Константу k называют константой распада , константой распада , [11] константой скорости , [12] или константой превращения . [13]
Кроме того, для любой дифференцируемой функции f по цепному правилу находим :
Цепную дробь для ex можно получить с помощью тождества Эйлера :
Следующая обобщенная цепная дробь для e z сходится быстрее: [14]
или, применив замену z = Икс/й : с особым случаем для z = 2 :
Эта формула также сходится, хотя и медленнее, при z > 2 . Например:
Как и в реальном случае, показательная функция может быть определена на комплексной плоскости в нескольких эквивалентных формах.
Наиболее распространенное определение комплексной показательной функции аналогично определению степенного ряда для действительных аргументов, где действительная переменная заменяется комплексной:
Альтернативно, комплексная экспоненциальная функция может быть определена путем моделирования определения предела для реальных аргументов, но с заменой реальной переменной на комплексную:
Что касается определения степенного ряда, почленное умножение двух копий этого степенного ряда в смысле Коши , разрешенное теоремой Мертенса , показывает, что определяющее мультипликативное свойство экспоненциальных функций продолжает сохраняться для всех комплексных аргументов:
Определение комплексной показательной функции, в свою очередь, приводит к соответствующим определениям, расширяющим тригонометрические функции на комплексные аргументы.
В частности, когда z = it ( treal ), определение ряда дает разложение
В этом разложении перестановка членов на действительную и мнимую части оправдана абсолютной сходимостью ряда. Действительная и мнимая части приведенного выше выражения фактически соответствуют разложению в ряды стоимости t и sin t соответственно.
Это соответствие дает мотивацию для определения косинуса и синуса для всех комплексных аргументов в терминах эквивалентного степенного ряда: [15]
для всех
Определенные таким образом функции exp , cos и sin имеют бесконечные радиусы сходимости по критерию отношения и, следовательно, являются целыми функциями (то есть голоморфными на ). Диапазон экспоненциальной функции равен , в то время как диапазоны комплексных функций синуса и косинуса находятся целиком в соответствии с теоремой Пикара , которая утверждает, что диапазон непостоянной целой функции либо весь из , либо исключая одно лакунарное значение. .
Эти определения показательных и тригонометрических функций тривиально приводят к формуле Эйлера :
Альтернативно мы могли бы определить сложную показательную функцию, основанную на этом отношении. Если z = x + iy , где x и y действительны, то мы могли бы определить его экспоненту как где exp , cos и sin в правой части знака определения должны интерпретироваться как функции действительной переменной, ранее определенные другими способами. [16]
Для соотношение сохраняется, так что для вещественного и отображает действительную линию (mod 2 π ) в единичный круг на комплексной плоскости. Более того, при переходе от к кривая, определяемая отслеживает отрезок единичной окружности длины, начиная с z = 1 в комплексной плоскости и идя против часовой стрелки. Основываясь на этих наблюдениях и на том факте, что мерой угла в радианах является длина дуги единичной окружности, опирающейся на угол, легко увидеть, что, если ограничиться действительными аргументами, функции синуса и косинуса, определенные выше, совпадают с функции синуса и косинуса, введенные в элементарную математику через геометрические понятия.
Комплексная показательная функция является периодической с периодом 2 πi и выполняется для всех .
При продолжении области определения от действительной прямой к комплексной плоскости показательная функция сохраняет следующие свойства:
для всех
Распространение натурального логарифма на комплексные аргументы дает комплексный логарифм log z , который является многозначной функцией .
Затем мы можем определить более общее возведение в степень: для всех комплексных чисел z и w . Это также многозначная функция, даже если z действительно. Это различие проблематично, поскольку многозначные функции log z и z w легко спутать с их однозначными эквивалентами при замене z действительным числом . Правило умножения показателей степени для случая положительных действительных чисел должно быть изменено в многозначном контексте:
Дополнительную информацию о проблемах с объединением степеней см . в разделе «Неисправность тождества степеней и логарифмов» .
Экспоненциальная функция отображает любую линию на комплексной плоскости в логарифмическую спираль на комплексной плоскости с центром в начале координат . Существуют два особых случая: когда исходная линия параллельна действительной оси, результирующая спираль никогда не замыкается сама на себя; когда исходная линия параллельна воображаемой оси, результирующая спираль представляет собой круг некоторого радиуса.
Если рассматривать комплексную показательную функцию как функцию, включающую четыре действительные переменные: график показательной функции представляет собой двумерную поверхность, изгибающуюся в четырех измерениях.
Начиная с части домена с цветовой кодировкой , ниже приведены изображения графа, по-разному проецированные в двух или трех измерениях.
На втором изображении показано, как комплексная плоскость домена отображается в комплексную плоскость диапазона:
Третье и четвертое изображения показывают, как график на втором изображении расширяется в одно из двух других измерений, не показанных на втором изображении.
На третьем изображении показан график, вытянутый вдоль действительной оси. Он показывает, что график представляет собой поверхность вращения вокруг оси графика действительной показательной функции, образующую форму рога или воронки.
Четвертое изображение показывает график, вытянутый вдоль мнимой оси. Это показывает, что поверхность графика для положительных и отрицательных значений на самом деле не пересекается вдоль отрицательной вещественной оси, а вместо этого образует спиральную поверхность вокруг этой оси. Поскольку его значения были расширены до ±2 π , это изображение также лучше отображает периодичность 2π в мнимом значении.
Комплексное возведение в степень a b можно определить путем преобразования a в полярные координаты и использования тождества ( e ln a )б
= а б :
Однако, когда b не является целым числом, эта функция является многозначной , поскольку θ не уникальна (см. Возведение в степень § Несостоятельность степенных и логарифмических тождеств ).
Определение показательной функции степенным рядом имеет смысл для квадратных матриц (для которых функция называется матричной экспонентой ) и, в более общем смысле , в любой банаховой алгебре с единицей B. В этом случае e 0 = 1 и e x обратимо с обратным e − x для любого x в B . Если xy = yx , то e x + y = e x e y , но это тождество может оказаться неверным для некоммутирующих x и y .
Некоторые альтернативные определения приводят к той же функции. Например, ex можно определить как
Или e x можно определить как f x (1) , где f x : R → B — решение дифференциального уравнения дф х/DT ( т ) знак равно Икс ж Икс ( т ) , с начальным условием ж Икс (0) знак равно 1 ; отсюда следует, чтоf x ( t ) = e tx для каждого t в R.
Учитывая группу Ли G и связанную с ней алгебру Ли , экспоненциальное отображение — это отображение ↦ G , удовлетворяющее аналогичным свойствам. Фактически, поскольку R является алгеброй Ли группы Ли всех положительных действительных чисел при умножении, обычная показательная функция для вещественных аргументов является частным случаем ситуации алгебры Ли. Аналогично, поскольку группа Ли GL( n , R ) обратимых матриц размера n × n имеет в качестве алгебры Ли M( n , R ) пространство всех матриц размера n × n , показательная функция для квадратных матриц является частным случаем Экспоненциальное отображение алгебры Ли.
Тождество может оказаться неверным для элементов алгебры Ли x и y , которые не коммутируют; формула Бейкера -Кэмпбелла-Хаусдорфа дает необходимые корректирующие члены.
Функция e z не входит в кольцо рациональных функций : она не является частным двух многочленов с комплексными коэффициентами.
Если a 1 , ..., an - различные комплексные числа, то e a 1 z , ..., e a n z линейно независимы над , и, следовательно , e z трансцендентно над .
При вычислении (аппроксимации) показательной функции вблизи аргумента 0 результат будет близок к 1, а вычисление значения разности с помощью арифметики с плавающей запятой может привести к потере (возможно, всех) значащих цифр , что приведет к большая ошибка расчета, возможно даже бессмысленный результат.
Следуя предложению Уильяма Кахана , может оказаться полезным иметь специальную процедуру, часто называемую expm1
, для непосредственного вычисления e x − 1 , минуя вычисление e x . Например, если экспонента вычисляется с использованием ряда Тейлора,
можно использовать ряд Тейлора :
Впервые это было реализовано в 1979 году в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C и реализовано в нескольких калькуляторах, [17] [18] операционных системах (например, Berkeley UNIX 4.3BSD [19] ), системах компьютерной алгебры и языках программирования ( например С99 ). [20]
В дополнение к базе e стандарт IEEE 754-2008 определяет аналогичные показательные функции вблизи 0 для базы 2 и 10: и .
Аналогичный подход использовался для логарифма (см. lnp1 ). [номер 3]
Тождество в терминах гиперболического тангенса дает значение высокой точности для малых значений x в системах, которые не реализуют expm1( x ) .
Обратное использование таблицы логарифмов; то есть по данному логарифму найти соответствующее ему число (называемое его антилогарифмом)...[1]
Эта естественная показательная функция идентична своей производной. Это действительно источник всех свойств показательной функции и основная причина ее важности в приложениях…
Berkeley UNIX 4.3BSD представила функцию expm1() в 1987 году.