stringtranslate.com

ряд Тейлора

По мере того, как степень полинома Тейлора возрастает, он приближается к правильной функции. На этом изображении показан sin x и его приближения Тейлора полиномами степени 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 и 13 при x = 0 .

В математике ряд Тейлора или разложение Тейлора функции представляет собой бесконечную сумму членов, которые выражаются через производные функции в одной точке. Для большинства общих функций функция и сумма ее ряда Тейлора равны вблизи этой точки. Ряды Тейлора названы в честь Брука Тейлора , который ввел их в 1715 году. Ряд Тейлора также называется рядом Маклорена , когда 0 — это точка, в которой рассматриваются производные, в честь Колина Маклорена , который широко использовал этот особый случай ряда Тейлора в 18 веке.

Частичная сумма , образованная первыми n + 1 членами ряда Тейлора, является многочленом степени n , который называется n-м многочленом Тейлора функции. Многочлены Тейлора являются приближениями функции, которые становятся, как правило, более точными с ростом n . Теорема Тейлора дает количественные оценки погрешности, вносимой использованием таких приближений. Если ряд Тейлора функции сходится , ее сумма является пределом бесконечной последовательности многочленов Тейлора. Функция может отличаться от суммы своего ряда Тейлора, даже если ее ряд Тейлора сходится. Функция является аналитической в ​​точке x , если она равна сумме своего ряда Тейлора в некотором открытом интервале (или открытом круге в комплексной плоскости ), содержащем x . Это означает, что функция является аналитической в ​​каждой точке интервала (или круга).

Определение

Ряд Тейлора действительной или комплекснозначной функции f  ( x ) , которая бесконечно дифференцируема при действительном или комплексном числе a , является степенным рядом Здесь n ! обозначает факториал n . Функция f ( n ) ( a ) обозначает n-ю производную f , вычисленную в точке a . Производная нулевого порядка от f определяется как сама f , а ( x a ) 0 и 0 ! оба определяются как 1 . Этот ряд можно записать с использованием сигма-обозначения , как в формуле с правой стороны. [1] При a = 0 ряд Маклорена принимает вид: [2]

Примеры

Ряд Тейлора любого многочлена — это сам многочлен.

Серия «Маклорен » ⁠1/1 − х геометрическая прогрессия

Итак, заменив x на 1 − x , получим ряд Тейлора 1/х при a = 1 есть

Интегрируя приведенный выше ряд Маклорена, мы находим ряд Маклорена ln(1 − x ) , где ln обозначает натуральный логарифм :

Соответствующий ряд Тейлора для ln x при a = 1 равен

и в более общем случае соответствующий ряд Тейлора для ln x в произвольной ненулевой точке a имеет вид:

Ряд Маклорена показательной функции e x равен

Вышеприведенное разложение справедливо, поскольку производная e x по x также равна e x , а e 0 равно 1. Это оставляет члены ( x − 0) n в числителе и n ! в знаменателе каждого члена бесконечной суммы.

История

Древнегреческий философ Зенон Элейский рассматривал проблему суммирования бесконечного ряда для достижения конечного результата, но отверг ее как невозможную; [3] результатом стал парадокс Зенона . Позже Аристотель предложил философское решение парадокса, но математическое содержание, по-видимому, оставалось нерешенным, пока его не принял Архимед , как это было до Аристотеля досократиком-атомистом Демокритом . Именно с помощью метода исчерпывания Архимеда можно было выполнить бесконечное число прогрессивных подразделений для достижения конечного результата. [4] Лю Хуэй независимо использовал аналогичный метод несколько столетий спустя. [5]

В XIV веке самые ранние примеры конкретных рядов Тейлора (но не общего метода) были даны индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы . [6] Хотя никаких записей о его работе не сохранилось, труды его последователей в керальской школе астрономии и математики предполагают, что он нашел ряд Тейлора для тригонометрических функций синуса , косинуса и арктангенса (см. ряд Мадхавы ). В течение следующих двух столетий его последователи разработали дальнейшие разложения рядов и рациональные приближения.

В конце 1670 года Джеймсу Грегори в письме от Джона Коллинза было показано несколько рядов Маклорена ( и ), полученных Исааком Ньютоном , и сказано, что Ньютон разработал общий метод разложения функций в ряды. Ньютон на самом деле использовал громоздкий метод, включающий длинное деление рядов и почленное интегрирование, но Грегори не знал об этом и решил открыть общий метод для себя. В начале 1671 года Грегори открыл что-то вроде общего ряда Маклорена и отправил письмо Коллинзу, включающее ряды для (интеграла ), ( интеграла sec , обратной функции Гудермана ) и (функции Гудермана). Однако, думая, что он просто переработал метод Ньютона, Грегори никогда не описывал, как он получил эти ряды, и можно только сделать вывод, что он понял общий метод, изучив черновики, которые он нацарапал на обороте другого письма от 1671 года. [7]

В 1691–1692 годах Исаак Ньютон записал явное изложение рядов Тейлора и Маклорена в неопубликованной версии своей работы De Quadratura Curvarum . Однако эта работа так и не была завершена, и соответствующие разделы были исключены из частей, опубликованных в 1704 году под названием Tractatus de Quadratura Curvarum .

Лишь в 1715 году Брук Тейлор [8] наконец опубликовал общий метод построения этих рядов для всех функций, для которых они существуют, в честь которого эти ряды теперь и названы.

Ряд Маклорена был назван в честь Колина Маклорена , шотландского математика, опубликовавшего частный случай результата Тейлора в середине XVIII века.

Аналитические функции

Функция e (−1/ x 2 ) не является аналитической при x = 0 : ряд Тейлора тождественно равен 0, хотя функция таковой не является.

Если f  ( x ) задана сходящимся степенным рядом в открытом круге с центром в точке b в комплексной плоскости (или интервале на действительной прямой), говорят, что она аналитична в этой области. Таким образом, для x в этой области f задана сходящимся степенным рядом

Дифференцируя по x приведенную выше формулу n раз, а затем полагая x = b, получаем:

и поэтому разложение в степенной ряд согласуется с рядом Тейлора. Таким образом, функция является аналитической в ​​открытом круге с центром в точке b тогда и только тогда, когда ее ряд Тейлора сходится к значению функции в каждой точке круга.

Если f  ( x ) равна сумме своего ряда Тейлора для всех x в комплексной плоскости, она называется целой . Многочлены, экспоненциальная функция e x и тригонометрические функции синус и косинус являются примерами целых функций. Примерами функций, которые не являются целыми, являются квадратный корень , логарифм , тригонометрическая функция тангенс и ее обратная функция arctan . Для этих функций ряды Тейлора не сходятся, если x далеко от b . То есть ряд Тейлора расходится в точке x , если расстояние между x и b больше радиуса сходимости . Ряд Тейлора можно использовать для вычисления значения целой функции в каждой точке, если значение функции и всех ее производных известны в одной точке.

Использование ряда Тейлора для аналитических функций включает:

  1. Частичные суммы ( полиномы Тейлора ) ряда могут быть использованы в качестве приближений функции. Эти приближения хороши, если включено достаточно много членов.
  2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов можно выполнять почленно, поэтому это особенно просто.
  3. Аналитическая функция однозначно продолжается до голоморфной функции на открытом круге в комплексной плоскости . Это делает аппарат комплексного анализа доступным.
  4. (Усеченный) ряд можно использовать для численного вычисления значений функции (часто путем преобразования полинома в форму Чебышева и его оценки с помощью алгоритма Кленшоу ).
  5. Алгебраические операции могут быть легко выполнены на представлении степенного ряда; например, формула Эйлера следует из разложений в ряд Тейлора для тригонометрических и показательных функций. Этот результат имеет фундаментальное значение в таких областях, как гармонический анализ .
  6. Приближения, использующие первые несколько членов ряда Тейлора, могут сделать возможными решения неразрешимых иным образом задач для ограниченной области; этот подход часто используется в физике.

Ошибка аппроксимации и сходимость

Функция синуса (синяя) хорошо аппроксимируется ее полиномом Тейлора степени 7 (розовая) для полного периода с центром в начале координат.
Полиномы Тейлора для ln(1 + x ) обеспечивают точные приближения только в диапазоне −1 < x ≤ 1. При x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени обеспечивают худшие приближения.
Приближения Тейлора для ln(1 + x ) (черные). При x > 1 приближения расходятся.

На рисунке изображена точная аппроксимация sin x вокруг точки x = 0. Розовая кривая — это полином седьмой степени:

Погрешность этого приближения не превышает | x | 9  / 9! . Для полного цикла с центром в начале координат ( −π < x < π ) погрешность меньше 0,08215. В частности, для −1 < x < 1 погрешность меньше 0,000003.

Напротив, также показано изображение функции натурального логарифма ln(1 + x ) и некоторых ее полиномов Тейлора около a = 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1 ; за пределами этой области полиномы Тейлора более высокой степени являются худшими приближениями для функции.

Ошибка , возникающая при аппроксимации функции ее полиномом Тейлора n -й степени, называется остатком или невязкой и обозначается функцией R n ( x ) . Теорему Тейлора можно использовать для получения границы размера остатка .

В общем случае ряды Тейлора не обязательно должны сходиться . Фактически, множество функций со сходящимся рядом Тейлора является скудным множеством в пространстве Фреше гладких функций . Даже если ряд Тейлора функции f сходится, его предел не обязательно должен быть равен значению функции f  ( x ) . Например, функция

бесконечно дифференцируема при x = 0 и имеет там все производные, равные нулю. Следовательно, ряд Тейлора функции f  ( x ) около x = 0 тождественно равен нулю. Однако f  ( x ) не является нулевой функцией, поэтому не равна своему ряду Тейлора около начала координат. Таким образом, f  ( x ) является примером неаналитической гладкой функции .

В реальном анализе этот пример показывает, что существуют бесконечно дифференцируемые функции f  ( x ) , ряды Тейлора которых не равны f  ( x ), даже если они сходятся. Напротив, голоморфные функции, изучаемые в комплексном анализе, всегда обладают сходящимся рядом Тейлора, и даже ряд Тейлора мероморфных функций , которые могут иметь особенности, никогда не сходятся к значению, отличному от самой функции. Однако комплексная функция e −1/ z 2 не стремится к 0, когда z стремится к 0 вдоль мнимой оси, поэтому она не является непрерывной в комплексной плоскости, и ее ряд Тейлора не определен в точке 0.

В более общем смысле, любая последовательность действительных или комплексных чисел может появляться как коэффициенты в ряде Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, определенной на действительной прямой, следствие леммы Бореля . В результате радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю. Существуют даже бесконечно дифференцируемые функции, определенные на действительной прямой, ряды Тейлора которых имеют радиус сходимости 0 всюду. [9]

Функция не может быть записана в виде ряда Тейлора с центром в сингулярности ; в этих случаях часто все еще можно добиться разложения в ряд, если допустить также отрицательные степени переменной x ; см. ряд Лорана . Например, f  ( x ) = e −1/ x 2 можно записать в виде ряда Лорана.

Обобщение

Обобщение ряда Тейлора сходится к значению самой функции для любой ограниченной непрерывной функции на (0,∞) , и это можно сделать, используя исчисление конечных разностей . В частности, следующая теорема, принадлежащая Эйнару Хилле , что для любого t > 0 , [10]

Здесь Δн
ч
является n- м оператором конечной разности с шагом h . Ряд является в точности рядом Тейлора, за исключением того, что вместо дифференцирования появляются разделенные разности: ряд формально похож на ряд Ньютона . Когда функция f аналитична в точке a , члены ряда сходятся к членам ряда Тейлора и в этом смысле обобщают обычный ряд Тейлора.

В общем случае для любой бесконечной последовательности a i справедливо следующее тождество степенного ряда:

Так, в частности,

Ряд справа представляет собой ожидаемое значение f  ( a + X ) , где Xслучайная величина, распределенная по закону Пуассона , которая принимает значение jh с вероятностью e t / h · ( т / ч ) дж/дж ! . Следовательно,

Закон больших чисел подразумевает, что тождество выполняется. [11]

Список рядов Маклорена некоторых общих функций

Далее следует несколько важных расширений ряда Маклорена. Все эти расширения справедливы для комплексных аргументов x .

Экспоненциальная функция

Показательная функция e x (синего цвета) и сумма первых n + 1 членов ее ряда Тейлора в точке 0 (красного цвета).

Экспоненциальная функция (с основанием e ) имеет ряд Маклорена [12]

Он сходится для всех x .

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла является экспоненциальной функцией предшественника экспоненциальной функции:

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм (с основанием e ) имеет ряд Маклорена [13]

Последняя серия известна как серия Меркатора , названная в честь Николаса Меркатора (так как она была опубликована в его трактате 1668 года Logarithmotechnia ). [14] Оба эти ряда сходятся при . (Кроме того, ряд для ln(1 − x ) сходится при x = −1 , а ряд для ln(1 + x ) сходится при x = 1 .) [13]

Геометрический ряд

Геометрическая прогрессия и ее производные имеют ряды Маклорена

Все они сходятся для . Это частные случаи биномиального ряда, приведенные в следующем разделе.

Биномиальный ряд

Биномиальный ряд — это степенной ряд

коэффициенты которого являются обобщенными биномиальными коэффициентами [15]

(Если n = 0 , это произведение является пустым произведением и имеет значение 1.) Оно сходится для любого действительного или комплексного числа α .

Когда α = −1 , это по сути бесконечная геометрическая прогрессия, упомянутая в предыдущем разделе. Особые случаи α = 1/2 и α = − 1/2 дать функцию квадратного корня и ее обратную функцию : [16]

Если оставить только линейный член , то это упрощается до биномиального приближения .

Тригонометрические функции

Обычные тригонометрические функции и их обратные функции имеют следующий ряд Маклорена: [17]

Все углы выражены в радианах . Числа B k , появляющиеся в разложениях tan x, являются числами Бернулли . E k в разложении sec x являются числами Эйлера . [18]

Гиперболические функции

Гиперболические функции имеют ряды Маклорена, тесно связанные с рядами для соответствующих тригонометрических функций: [19]

Числа B k , появляющиеся в ряду для tanh x, являются числами Бернулли . [19]

Полилогарифмические функции

Полилогарифмы имеют следующие определяющие тождества :

Хи-функции Лежандра определяются следующим образом:

А формулы, представленные ниже, называются обратными тангенсами интегралов :

В статистической термодинамике эти формулы имеют большое значение.

Эллиптические функции

Полные эллиптические интегралы первого рода K и второго рода E можно определить следующим образом:

Тета -функции Якоби описывают мир эллиптических модулярных функций и имеют следующие ряды Тейлора:

Регулярная последовательность чисел раздела P(n) имеет следующую производящую функцию:

Строгая последовательность чисел разбиения Q(n) имеет следующую производящую функцию:

Расчет ряда Тейлора

Существует несколько методов вычисления ряда Тейлора большого числа функций. Можно попытаться использовать определение ряда Тейлора, хотя это часто требует обобщения формы коэффициентов в соответствии с легко очевидным шаблоном. В качестве альтернативы можно использовать такие манипуляции, как подстановка, умножение или деление, сложение или вычитание стандартных рядов Тейлора, чтобы построить ряд Тейлора функции, в силу того, что ряд Тейлора является степенным рядом. В некоторых случаях можно также вывести ряд Тейлора, многократно применяя интегрирование по частям . Особенно удобно использовать системы компьютерной алгебры для вычисления ряда Тейлора.

Первый пример

Чтобы вычислить полином Маклорена 7-й степени для функции

можно сначала переписать функцию как

композиция двух функций и ряд Тейлора для натурального логарифма (используя обозначение O большое )

и для функции косинуса

Первые несколько членов второй серии можно подставить в каждый член первой серии. Поскольку первый член второй серии имеет степень 2, трех членов первой серии достаточно, чтобы получить полином 7-й степени:

Так как косинус — четная функция , то коэффициенты при всех нечетных степенях равны нулю.

Второй пример

Предположим, что нам нужен ряд Тейлора в точке 0 функции

Ряд Тейлора для показательной функции имеет вид

и ряд для косинуса:

Предположим, что ряд для их частного равен

Умножая обе части на знаменатель и затем разлагая в ряд, получаем

Сравнивая коэффициенты с коэффициентами

Коэффициенты ряда для можно, таким образом, вычислять по одному, что равносильно делению ряда для и :

Третий пример

Здесь мы используем метод, называемый "косвенным расширением", чтобы разложить заданную функцию. Этот метод использует известное разложение Тейлора показательной функции. Чтобы разложить (1 + x ) e x в ряд Тейлора по x , мы используем известный ряд Тейлора функции e x :

Таким образом,

Ряды Тейлора как определения

Классически алгебраические функции определяются алгебраическим уравнением, а трансцендентные функции (включая рассмотренные выше) определяются некоторым свойством, которое для них выполняется, например, дифференциальным уравнением . Например, показательная функция — это функция, которая равна своей собственной производной всюду и принимает значение 1 в начале координат. Однако можно с таким же успехом определить аналитическую функцию ее рядом Тейлора.

Ряды Тейлора используются для определения функций и « операторов » в различных областях математики. В частности, это справедливо в областях, где классические определения функций не работают. Например, с помощью рядов Тейлора можно расширить аналитические функции до наборов матриц и операторов, таких как матричная экспонента или матричный логарифм .

В других областях, таких как формальный анализ, удобнее работать непосредственно с самими степенными рядами . Таким образом, можно определить решение дифференциального уравнения как степенной ряд, который, как можно надеяться доказать, является рядом Тейлора искомого решения.

Ряд Тейлора с несколькими переменными

Ряд Тейлора также может быть обобщен на функции более чем одной переменной с помощью [20]

Например, для функции , которая зависит от двух переменных x и y , ряд Тейлора второго порядка относительно точки ( a , b ) имеет вид

где нижние индексы обозначают соответствующие частные производные .

Ряд Тейлора второго порядка по нескольким переменным

Разложение в ряд Тейлора второго порядка скалярной функции более чем одной переменной можно записать компактно как

где D f  ( a )градиент f, вычисленный при x = a , а D 2 f  ( a )матрица Гессе . Применяя многоиндексную запись, ряд Тейлора для нескольких переменных становится

что следует понимать как еще более сокращенную многоиндексную версию первого уравнения этого параграфа, имеющую полную аналогию со случаем с одной переменной.

Пример

Аппроксимация ряда Тейлора второго порядка (оранжевый цвет) функции f  ( x , y ) = e x ln(1 + y ) вокруг начала координат.

Чтобы вычислить разложение в ряд Тейлора второго порядка вокруг точки ( a , b ) = (0, 0) функции

сначала вычисляются все необходимые частные производные:

Оценка этих производных в начале координат дает коэффициенты Тейлора

Подставим эти значения в общую формулу

производит

Поскольку ln(1 + y ) аналитичен по | y | < 1 , то имеем

Сравнение с рядом Фурье

Тригонометрический ряд Фурье позволяет выразить периодическую функцию (или функцию, определенную на замкнутом интервале [ a , b ] ) как бесконечную сумму тригонометрических функций ( синусов и косинусов ). В этом смысле ряд Фурье аналогичен ряду Тейлора, поскольку последний позволяет выразить функцию как бесконечную сумму степеней . Тем не менее, эти два ряда отличаются друг от друга в нескольких важных вопросах:

Смотрите также

Примечания

  1. Баннер 2007, стр. 530.
  2. ^ Томас и Финни 1996, см. §8.9.
  3. ^ Линдберг 2007, стр. 33.
  4. ^ Клайн 1990, стр. 35–37.
  5. ^ Бойер и Мерцбах 1991, стр. 202–203.
  6. ^ Дэни 2012.
  7. ^
    • Тернбулл 1939, стр. 168–174
    • Рой 1990
    • Малет 1993
  8. ^
    • Taylor 1715, стр. 21–23, см. Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2. См. Struik 1969, стр. 329–332 для английского перевода и Bruce 2007 для повторного перевода.
    • Фейгенбаум 1985
  9. ^ Рудин 1980, стр. 418, см. Упражнение 13.
  10. ^
    • Феллер 2003, стр. 230–232
    • Хилле и Филлипс 1957, стр. 300–327.
  11. ^ Феллер 2003, стр. 231.
  12. ^ Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 69.
  13. ^ аб
    • Билодо, Ти и Кео 2010, стр. 252
    • Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 15
  14. Хофманн 1939.
  15. ^ Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 14.
  16. ^ Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 15.
  17. ^ Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 75, 81.
  18. ^ Абрамовиц и Стигун 1970, стр. 75.
  19. ^ аб Абрамовиц и Стегун 1970, стр. 85.
  20. ^
    • Хёрмандер 2002, см. формулу. 1.1.7 и 1.1.7'
    • Колк и Дуистермаат 2010, с. 59–63

Ссылки

Внешние ссылки